4.4 空间直线
? 空间直线的方程
? 空间两直线间的位置关系
? 空间直线与平面间的位置关系
一、空间直线的方程
1、参数方程
直线 L过点 M0(x0,y0,z0),
且与非零向量 v 平行。
取 L上 M(x,y,z),有,
于是存在实数 t，使,
v
? M0
L
M
v//0 MM
vtMM ?0
),,(),,( 0000 nmlvzzyyxxMM ?????
即
因此有直线的 参数方程
其中 t 称为 参数,非零向量 v称为直线 L的
方向向量,
0
0
0
x x tl
y y tm
z z tn
???
?
???
?
???
0
0
0
x x tl
y y tm
z z tn
???
?
???
?
??
?
2、标准方程
由参数方程消去 t,得到直线的标准方程（或
对称式方程）
其中方向向量 v = (l,m,n),l,m,n不全为零。凡
与 l,m,n成比例的任何一组数都称为直线的一组
方向数,
n
zz
m
yy
l
xx 000 ?
?
?
?
?
如果 l,m,n 某一个或两个可以为
零,比如 l = 0,约定 x - x0 = 0。
直线的标准方程为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
zz
m
yy
xx
00
0
0
例 1 求过点 (1,2,3) 且分别以 v1 = (1,1,1)
,v2 = (1,0,1),v3 = (1,0,0)为方向向量的三条
直线的标准方程,
解 三条直线分别为
1
3
1
2
1
1 ?
?
?
?
? zyx
??
?
?
?
?
?
?
??
1
3
1
1
02
zx
y
?
?
?
??
??
03
02
z
y
例 2 求通过两点 M1(x1,y1,z1)与 M2(x2,y2,
z2)的直线 L的方程,
解 直线的方向向量可取为
故 L的方程为
),,( 12121221 zzyyxxMM ?????v
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
3、一般方程
两个相交的平面确定一条
直线，因此直线的一般方程为
其中 n1 = (A1,B1,C1) 与 n2 = (A2,B2,C2) 不平行,
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
o
x
y
z ?1
?2
L
例 3 将直线的一般方程
化为标准方程,
解 在已知方程组中令 z = 1，得
解得 x = -1,y = 0,
于是 M0(-1,0,1) 是直线上的一点,
?
?
?
????
????
01223
0534
zyx
zyx
?
?
?
???
???
323
434
yx
yx
两个已知平面的法向量分别是
由于 L与 n1,n2都垂直，故取
所以的标准方程为
)2,2,3()1,3,4( 21 ??? nn
321
321
118
223
134 eee
eee
nnv
21
???????
1
1
118
1
?
?
?
?
?
? zyx
二、空间两直线间的位置关系
已知过点 M1(x1,y1,z1)与 M2(x2,y2,z2) 的直线
方向向量
,:
1
1
1
1
1
1
1
n
zz
m
yy
l
xx
L
?
?
?
?
?
,:
2
2
2
2
2
2
2
n
zz
m
yy
l
xx
L
?
?
?
?
?
).,,(),,,( 22221111 nmlnml ?? vv
1,两直线的夹角
两条直线 L1与 L2的方向向量 v1 与 v2 的夹角
θ称为这两条直线的夹角,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21
c o s
nmlnml
nnmmll
????
??
?
?
?
|v||v|
vv
?
2、两直线 L1与 L2的位置关系
(1) 平行（但不重合）,但不平行于
(2) 重合
(3) 相交,且 v1不平行于 v2；
(4) 垂直 ；
(5)异面;21MM
21 // ???;//// 2121 MMvv?
0),,2121 ?? MMv(v
)0(0 21212121 ?????? nnmmllvv 即
.0),,( 2121 ?? MMvv
例 4 求下列两直线与的夹角。
L1:,L2,,
解 四个平面的法向量依次为 n1=(1,2,1),
n2=(1,-2,1 ), n3=(1,-1,-1),n4=(1,-1,2),
与直线 L1,L2方向向量的关系分别是,
v1// n1× n2
v2// n3× n4
?
?
?
????
????
012
012
zyx
zyx
?
?
?
????
????
012
01
zyx
zyx
n1× n2= (1,2,1) × (1,-2,1 ) = (4,0,-4)
n3× n4= (1,-1,-1) × (1,-1,2 ) = (-3,-3,0)
取 v1 = (1,0,-1),v2 = (-1,-1,0),
所以
于是
2
1
)(c o sc o s 21 ???? v,v?
??
3
2
?
例 5 求点 M1(x1,y1,z1) 到直线 L的距离,
解
n
zz
m
yy
l
xx
L 000:
?
?
?
?
? M1
?
M0 v
d
222
2
0101
2
0101
2
0101
||
||
nml
ml
yyxx
ln
xxzz
nm
zzyy
MM
d
??
??
?
??
?
??
?
?
?
v
v
三、空间直线与平面间的位置关系
1,直线与平面的夹角
直线 L与它在平面 ?上的投
影直线的夹角
称为直线与平面的夹角。
L的方向向量 v = (l,m,n)
? 的法向量 n = (A,B,C)
|)(
2
| nv,???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
2
0
?
??
即有 直线与平面的夹角公式
|)c o s|s i n n( v,???
? ?
222222
c oss i n
nmlCBA
CnBmAl
????
??
?
?? nv,?
2、直线 L与平面 ? 的位置关系
(1) 平行（但 L不在 ?上 )
(2) L在 ?上
(3) 相交
(4) 垂直;00 000 ??????? DCzByAxnv 但;00 000 ??????? DCzByAxnv 且;0??? nv
.// ?
?
?
?
?
?
???
n
C
m
B
l
A
即nv
例 6 判定直线 L,与平面
?,x+4y-z-1 = 0的位置关系，并在它们相交时
求 L与 ? 的夹角,
解 v = (1,-2,2),n = (1,4,-1),因为
v ? n = -9≠0，故 L与 ? 相交,
所以
22
2
1
1 zyx
?
?
?
?
?
2
2
s in ?
?
?
|n||v|
|nv|
?
4
?
? ?
3、平面束
直线 L的一般方程
除平面 ?2外,通过 L的平面的全体 称为通过直
线直线 L的 平面束 。方程
称为通过 L的平面束方程, 其中 λ 为某一待定系数,
?
?
?
????
????
22222
11111
0
0
?
?
DzCyBxA
DzCyBxA
? ? 022221111 ???????? DzCyBxADzCyBxA ?
例 7 求直线 L:,在平面
?, 2x+2y+z-11 = 0 上的投影直线的方程,
解 过 L作平面 ? ‘ ⊥ ?，则 ? ‘ 与 ? 的交线 L’
就
是所求的 L在 ?上的投影直线,
过 ?的平面束方程为
?
?
?
???
???
0173
0244
zy
yx
? ? 0173244 ?????? zyyx ?
即
由 ? ‘ ⊥ ? 可得
即得
于是 ? ‘ 的方程为
所以 L在 ?上的投影直线 L’为
? ? ? ? 0172434 ?????? ??? zyx
? ? 0134212 ??????? ??
7
10
???
021027 ???? zyx
?
?
?
????
????
01122
021027
zyx
zyx