§ 1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念及性质
二、特征值与特征向量的计算
一、特征值与特征向量的概念及性质
定义 6.1 设 A 是 n 阶矩阵,如果存在数 ? 和 n 维非
零列向量 x,使得
xx ??A,（ 6.1）
那么数 ? 称为矩阵 A 的特征值，非零列向量 x
称为矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量,
由此可见，特征向量与特征值的概念相关联，不同
的特征值对应的特征向量不同，且特征向量一定是非零
列向量,
根据矩阵的运算，容易得出特征值与特征向量的
下列一些基本性质,
性质 1 设 x 是矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量,
对于任意的非零常数 k,则 xk 也是矩阵 A 的属于特征值
? 的特征向量,
这是因为,由 xx ??A,可得
)()( xxxx kkkAkA ?? ???
性质 2 设 21 x,x 都是矩阵 A 的属于 ? 的特征向量，那么
当 0xx 21 ?? 时,21 xx ? 也是矩阵 A 的属于 ? 的特征向量,
因为
2211 xxxx ?? ?? AA,
，所以
)()()( 212121 21 xxxxxxxx ??????? ???AAA
综合上述两性质可知，矩阵 A 的属于同一特征值 ?
的有限个特征向量 lx,,x,x 21 ? 的任意一个非零线性组合
llkkk xxxx ???? ?2211 也是矩阵 A 的属于特征值 ?
的特征
向量 。
定理 6.1 设
m???,,2,1 ? 是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同
的特征值,
m21 x,,x,x ? 分别是 A 的属于 m???,,2,1 ? 的特征向量,
那么向量组 m21 x,,x,x ? 线性无关,
证 设存在一组数
m???,,2,1 ?
使得
0x ??
?
m
i
iik
1
,(6.2)
用 A 左乘 (6.2)式的两端,得
0xx ?? ??
??
ii
m
i
i
m
i
ii kAk
11
?,(6.3)
又用 A 左乘 (6.3)式的两端,得
0x ??
?
ii
m
i
i k
1
2?
用类似的方法,可得
0x ??
?
?
m
i
ii
m
i k
1
2?
0x ??
?
?
m
i
ii
m
i k
1
1?
把以上各式合写成矩阵形式，得
? ? 0xxx ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
kkk
??
??
??
?
????
?
?
?
由于
m???,,2,1 ?
互不相同，根据范德蒙行列式的
计算公式，有
0)(
1
1
1
1
1
1
22
1
11
?? ??
??
?
?
?
mij
ji
m
mm
m
m
?
?
????
?
?
??
??
??
??
于是
? ? 0xxx ?mmkkk,,,2211 ?
但 ),,2,1( mi
i ??? 0x
，所以只能有 0
21 ???? mkkk ?
因此向量组 m21 x,,x,x ? 线性无关,
二、特征值与特征向量的计算
由（ 6.1）式可得,0x ?? )( AI?
即
0
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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???
???
nnnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
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????
?
?
?
?
?
,（ 6.4）
由定义 6.1知，齐次线性方程组（ 6.4）有非零解
所以 0
21
22221
11211
?
???
???
???
??
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AI
?
?
?
?
????
?
?
,（ 6.5）
AI ?? 的展开式是一个关于 ? 的 n 次多项式，称为
矩阵 A 的特征多项式，方程（ 6,5）称为矩阵 A 的特征
方程．显然,? 是矩阵 A 的特征值的充分必要条件是
0?? AI?,所以由方程 0?? AI? 求出的它的全部根（称为
A 的特征根），就是矩阵 A 的全部特征值．特征方程在
复数范围内总是有解的,其解的个数恰为方程的次数 (重根
按重数计算 ),因此 nn 阶矩阵有 个特征值,利用行列式及多
项式的性质,我们不难证明关于矩阵特征值的下列重要
性质, n n阶矩阵的 个特征值之和等于矩阵的主对角线上
元素之和 ; 矩阵的 n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值,
对于每一个特征值 ?,矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征
向量 x 是方程组（６．４）的非零解向量,
综上所述，求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步
骤是,
第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程
0|| ?? AI? 的全部根；
第二步 求 A 的特征向量,
对于每一个特征值
i?
，求出齐次线性方程组
? ? 0x ?? AIi? 的一个基础解系 s1,ξξξ,,2 ?,那么 ?
?
?
s
i
iik
1
ξx
就是 A 的属于
i?
的全部特征向量，其中
skkk,,,21 ? 为不全
为零的任意数,
例１ 求下列矩阵的特征值与特征向量,
(1)
???
?
???
??
25
43
A
(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
163
053
064
A
(3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
010
100
001
A
解 （ 1） 第一步 求特征值,
因为 ? ?? ? 027
25
43
????
??
??
?? ??
?
?
? AI
所以 A 的特征值为 7,2
21 ??? ??
第二步 求特征向量,
对于 2
1 ???
，对应的齐次线性方程组为
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
???
???
0
0
225
432
2
1
x
x
解得
21 5
4 xx ??,取 52 ??x,得 41 ?x,从而得到它的一
个基础解系
???
?
???
?
?? 5
4ξ,故 A 的属于 2
1 ??? 的全部特征向量为
???
?
???
?
?
?
k
k
k
5
4
ξ,其中 k 为非零的任意数,
对于 7
2 ??
，对应的齐次线性方程组为
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
??
0
0
275
437
2
1
x
x
解得 21 xx ?,取 12 ?x,得 11 ?x,从而得到它的一
个基础解系 ??
?
?
???
??
1
1
ξ
故 A 的属于 72 ?? 的全部特征向量为
???
?
???
??
k
k
kξ,其中 k 为非零的任意数,
（ 2） 第一步 求特征值,
因为 0)1)(2(
163
053
064
|| 2 ????
?
?
??
?? ??
?
?
?
? AI
所以 A 的特征值为 1,2
321 ???? ???
第二步 求特征向量,
对于,2
1 ???
对应的齐次线性方程组为
0
1263
0523
0642
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
??
??
???
x
x
x
解得 32,31 xxxx ???,取 1
3 ?x
，得它的一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
1
1
ξ,故 A 的属于 2
1 ???
的全部特征向量为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
k
k
k
kξ,其中 k 为非零的任意数,
对于 1
32 ?? ??
,对应的齐次线性方程组为
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
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?
?
??
0
0
0
1163
0513
0641
3
2
1
x
x
x
解得 21 2xx ??,取
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
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???
?
?
??
?
?
1
0
,
0
1
3
2
x
x 方程组的一个基础解系
,
0
1
2
1
?
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??
?ξ
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
1
0
0
2ξ 它们是 A 的属于 132 ?? ?? 的线性无
关的特征向量．故对应于 1
32 ?? ??
的全部特征向量为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
2
1
1
2211
2
k
k
k
kk ξξ,其中 21,kk 为不全为零的任意数,
（ 3） 第一步 求特征值,
因为 ? ?? ? 011
10
10
001
2 ????
?
?
?? ??
?
?
?
? AI,所以 A 的特征值为
,11 ??,2 i??,3 i???
第二步 求特征向量,
对于,11 ?? 对应的齐次线性方程组为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
?
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?
?
? 0
0
0
110
110
000
3
2
1
x
x
x
解得 0,0
32 ?? xx
取 11 ?x 得它的一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1ξ 所以,A 的对应于,11 ?? 的全部特征向量为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
k
kξ,其中 k 为非零的任意数,
对于,2 i?? 对应的齐次线性方程组为
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
0
0
0
10
10
001
3
2
1
x
x
x
i
i
i
解得
321,0 ixxx ??,取 13 ?x 得它的一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
iξ
所以 A 的属于 i?2? 的全部特征向量为
k
k
ikk,
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ξ 为非零的任意数,
对于,3 i??? 对应的齐次线性方程组为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
0
0
0
10
10
001
3
2
1
x
x
x
i
i
i
解得 321,0 ixxx ???,取 13 ?x 得一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
0
iξ
所以 A 的属于,3 i??? 的全部特征向量为
k
k
ik
k
k 其中,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??ξ 为非零的任意常数,
例 2 设 ? 是可逆阵 A 的一个特征值,x 为对应的
特征向量．证明 0?? 且 1?? 是 1?A 的一个特征值,x 为对应
的特征向量,
证 如果 0??,由 0xx ?? ?A 且 A 可逆,故 00xx ??? ?? 11 )( AAA
与 0x? 矛盾．所以,0??
由 IAAA ?
* 及,||||,** xxxxxx AIAAAAA ???? ?? 得
两边同除 A?,得
?? x1?,1 *xA
A
即,11 xx ?? ? ?A
所以 1?? 是 1?A 的一个特征值,x 是 1?A 的属于特征值 1??
的特征向量,
例 3 设 n 阶矩阵 A 满足 AA ?2,证明 A 的特征值只
能是,10或
证 设 ? 是 A 的任意特征值,x 为 A 的属于 ? 的特征向
量,那么 xx ??A, 其中,0x?
故,22 xxx ?? ?? AA
由于 AA ?2
故又有,22 xxx ??? AA
于是,xx 2?? ?
即 ? ?,02 ?? x??
因为,0x?
所以,02 ?? ??
于是,10或?? 证毕,
一、特征值与特征向量的概念及性质
二、特征值与特征向量的计算
一、特征值与特征向量的概念及性质
定义 6.1 设 A 是 n 阶矩阵,如果存在数 ? 和 n 维非
零列向量 x,使得
xx ??A,（ 6.1）
那么数 ? 称为矩阵 A 的特征值，非零列向量 x
称为矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量,
由此可见，特征向量与特征值的概念相关联，不同
的特征值对应的特征向量不同，且特征向量一定是非零
列向量,
根据矩阵的运算，容易得出特征值与特征向量的
下列一些基本性质,
性质 1 设 x 是矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量,
对于任意的非零常数 k,则 xk 也是矩阵 A 的属于特征值
? 的特征向量,
这是因为,由 xx ??A,可得
)()( xxxx kkkAkA ?? ???
性质 2 设 21 x,x 都是矩阵 A 的属于 ? 的特征向量，那么
当 0xx 21 ?? 时,21 xx ? 也是矩阵 A 的属于 ? 的特征向量,
因为
2211 xxxx ?? ?? AA,
，所以
)()()( 212121 21 xxxxxxxx ??????? ???AAA
综合上述两性质可知，矩阵 A 的属于同一特征值 ?
的有限个特征向量 lx,,x,x 21 ? 的任意一个非零线性组合
llkkk xxxx ???? ?2211 也是矩阵 A 的属于特征值 ?
的特征
向量 。
定理 6.1 设
m???,,2,1 ? 是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同
的特征值,
m21 x,,x,x ? 分别是 A 的属于 m???,,2,1 ? 的特征向量,
那么向量组 m21 x,,x,x ? 线性无关,
证 设存在一组数
m???,,2,1 ?
使得
0x ??
?
m
i
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1
,(6.2)
用 A 左乘 (6.2)式的两端,得
0xx ?? ??
??
ii
m
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11
?,(6.3)
又用 A 左乘 (6.3)式的两端,得
0x ??
?
ii
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1
2?
用类似的方法,可得
0x ??
?
?
m
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1
2?
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m
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1
1?
把以上各式合写成矩阵形式，得
? ? 0xxx ?
?
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?
?
?
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1
1
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m
mm
m
m
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由于
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互不相同，根据范德蒙行列式的
计算公式，有
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于是
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但 ),,2,1( mi
i ??? 0x
，所以只能有 0
21 ???? mkkk ?
因此向量组 m21 x,,x,x ? 线性无关,
二、特征值与特征向量的计算
由（ 6.1）式可得,0x ?? )( AI?
即
0
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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n
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x
x
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aaa
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,（ 6.4）
由定义 6.1知，齐次线性方程组（ 6.4）有非零解
所以 0
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11211
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???
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nnnn
n
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,（ 6.5）
AI ?? 的展开式是一个关于 ? 的 n 次多项式，称为
矩阵 A 的特征多项式，方程（ 6,5）称为矩阵 A 的特征
方程．显然,? 是矩阵 A 的特征值的充分必要条件是
0?? AI?,所以由方程 0?? AI? 求出的它的全部根（称为
A 的特征根），就是矩阵 A 的全部特征值．特征方程在
复数范围内总是有解的,其解的个数恰为方程的次数 (重根
按重数计算 ),因此 nn 阶矩阵有 个特征值,利用行列式及多
项式的性质,我们不难证明关于矩阵特征值的下列重要
性质, n n阶矩阵的 个特征值之和等于矩阵的主对角线上
元素之和 ; 矩阵的 n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值,
对于每一个特征值 ?,矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征
向量 x 是方程组（６．４）的非零解向量,
综上所述，求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步
骤是,
第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程
0|| ?? AI? 的全部根；
第二步 求 A 的特征向量,
对于每一个特征值
i?
，求出齐次线性方程组
? ? 0x ?? AIi? 的一个基础解系 s1,ξξξ,,2 ?,那么 ?
?
?
s
i
iik
1
ξx
就是 A 的属于
i?
的全部特征向量，其中
skkk,,,21 ? 为不全
为零的任意数,
例１ 求下列矩阵的特征值与特征向量,
(1)
???
?
???
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43
A
(2)
?
?
?
?
?
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解 （ 1） 第一步 求特征值,
因为 ? ?? ? 027
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?
?
? AI
所以 A 的特征值为 7,2
21 ??? ??
第二步 求特征向量,
对于 2
1 ???
，对应的齐次线性方程组为
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?
?
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???
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解得
21 5
4 xx ??,取 52 ??x,得 41 ?x,从而得到它的一
个基础解系
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1 ??? 的全部特征向量为
???
?
???
?
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k
k
k
5
4
ξ,其中 k 为非零的任意数,
对于 7
2 ??
，对应的齐次线性方程组为
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?
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???
?
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?
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x
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解得 21 xx ?,取 12 ?x,得 11 ?x,从而得到它的一
个基础解系 ??
?
?
???
??
1
1
ξ
故 A 的属于 72 ?? 的全部特征向量为
???
?
???
??
k
k
kξ,其中 k 为非零的任意数,
（ 2） 第一步 求特征值,
因为 0)1)(2(
163
053
064
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?
?
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?
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? AI
所以 A 的特征值为 1,2
321 ???? ???
第二步 求特征向量,
对于,2
1 ???
对应的齐次线性方程组为
0
1263
0523
0642
3
2
1
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?
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?
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解得 32,31 xxxx ???,取 1
3 ?x
，得它的一个基础解系
?
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1
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1 ???
的全部特征向量为
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k
k
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kξ,其中 k 为非零的任意数,
对于 1
32 ?? ??
,对应的齐次线性方程组为
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0
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?ξ
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1
0
0
2ξ 它们是 A 的属于 132 ?? ?? 的线性无
关的特征向量．故对应于 1
32 ?? ??
的全部特征向量为
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??
2
1
1
2211
2
k
k
k
kk ξξ,其中 21,kk 为不全为零的任意数,
（ 3） 第一步 求特征值,
因为 ? ?? ? 011
10
10
001
2 ????
?
?
?? ??
?
?
?
? AI,所以 A 的特征值为
,11 ??,2 i??,3 i???
第二步 求特征向量,
对于,11 ?? 对应的齐次线性方程组为
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? 0
0
0
110
110
000
3
2
1
x
x
x
解得 0,0
32 ?? xx
取 11 ?x 得它的一个基础解系
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?
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?
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?
0
0
1
1ξ 所以,A 的对应于,11 ?? 的全部特征向量为
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?
0
0
k
kξ,其中 k 为非零的任意数,
对于,2 i?? 对应的齐次线性方程组为
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0
0
0
10
10
001
3
2
1
x
x
x
i
i
i
解得
321,0 ixxx ??,取 13 ?x 得它的一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
iξ
所以 A 的属于 i?2? 的全部特征向量为
k
k
ikk,
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ξ 为非零的任意数,
对于,3 i??? 对应的齐次线性方程组为
?
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?
??
0
0
0
10
10
001
3
2
1
x
x
x
i
i
i
解得 321,0 ixxx ???,取 13 ?x 得一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
0
iξ
所以 A 的属于,3 i??? 的全部特征向量为
k
k
ik
k
k 其中,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??ξ 为非零的任意常数,
例 2 设 ? 是可逆阵 A 的一个特征值,x 为对应的
特征向量．证明 0?? 且 1?? 是 1?A 的一个特征值,x 为对应
的特征向量,
证 如果 0??,由 0xx ?? ?A 且 A 可逆,故 00xx ??? ?? 11 )( AAA
与 0x? 矛盾．所以,0??
由 IAAA ?
* 及,||||,** xxxxxx AIAAAAA ???? ?? 得
两边同除 A?,得
?? x1?,1 *xA
A
即,11 xx ?? ? ?A
所以 1?? 是 1?A 的一个特征值,x 是 1?A 的属于特征值 1??
的特征向量,
例 3 设 n 阶矩阵 A 满足 AA ?2,证明 A 的特征值只
能是,10或
证 设 ? 是 A 的任意特征值,x 为 A 的属于 ? 的特征向
量,那么 xx ??A, 其中,0x?
故,22 xxx ?? ?? AA
由于 AA ?2
故又有,22 xxx ??? AA
于是,xx 2?? ?
即 ? ?,02 ?? x??
因为,0x?
所以,02 ?? ??
于是,10或?? 证毕,
