§ 1 向量与向量空间
一、三维向量空间
三,向量空间及其子空间
二, n维向量
§ 1 向量与向量空间
任取一个空间直角坐标系,321 eee,,是它的单位坐标向量,
任意向量 a 关于单位坐标向量的分解式为
332211 eeea aaa ???
其中 321 aaa,,分别是向量
此时，向量 a 的坐标表示式为
? ?321,,aaa?a
a 在 x 轴,y 轴,z 轴上的投影,
像
? ?321,,aaa?a 这样的由三个数组成的有序数组,
ia 称为向量 a 的第
称为三维向量,
i 个分量,
一、三维向量空间
我们还定义了向量的加法及数乘,它们的坐标表示式分别为
? ? ? ? ? ?332211321321,,,,,,babababbbaaa ??????? ba
? ? ? ?321321,,,,aaaaaa ????? ??a
其中向量 ? ?
321,,bbb?b
我们知道向量的加法及数乘应满足下列八条运算规律,
（ 1） abba ???
（ 2） ? ? ? ?cbacba ?????
（ 3） 存在三维零向量
0,使对任意向量 a,都有
a0a ??
（ 4） 对任意向量 a,都存在它的负向量 a?,使得
? ? 0aa ???
（ 5） aa ?1
（ 6） ? ? ? ?aa ???? ?
（ 7） ? ?
baba ??? ???
（ 8） ? ?
aaa ???? ???
其中 ?,
? 是任意实数,a b c 是任意 n 维向量．,,
对于由所有三维向量 ? ?zyx,,组成的（非空）集合,
按我们所定义的 加法与数乘满足上述八条运算规律,
我们称这个集合对于所定义的加法与数乘
记作 3R
构成一个
三维向量空间,
分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量
称为复向量,本书中只讨论实向量,
n 维向量可以写成一行,也可以写成一列,
分别
称为行向量与列向量,也就是行矩阵与列矩阵,因此,
二, n 维向量
现在我们把三维向量空间推广到 n 维向量空间,
定义 1 n 个数 naaa,,,21 ? 组成的有序数组称为 n
维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数
ia
称为它的 i 个分量,
从现在开始，列向量用黑体小写字母 βα,b,a,
等表示,行向量则用 ???? β,α,b,a 等表示,所讨论的
向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量,
与 n 维行向量 ? ?
naaa,,,21 ???a
总看成是两个不同的向量 （按定义 1, a
同一向量）,
应是
n 维列向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
?
2
1
a
与 ?a
设两个 维向量 n ? ???
naaa,,,21 ?a
与 ? ???
nbbb,,,21 ?b
如果它们对应的分量都相等，即 ? ?niba
ii,,2,1 ???
a 与 b 相等, 记作 ba?
定义零向量 ? ??? 0,,0,0 ?0 a 的负向量
? ??????? naaa,,,21 ?a
，向量
,那么
称向量
记 nR 为由所有 n 维实向量组成的集合,并按下列
规则在 nR 中定义 向量的加法与数乘 （统称向量的
线性运算）,
? ? ? ? ? ? ??? ??????? nnnn babababbbaaa,,,,,,,,,22112121 ???ba
? ? ? ? ?? ?? nn aaaaaa ?????,,,,,,2121 ??a
其中 ? ??? naaa ?,,21a, ? ??? nbbb,,21 ?b, ? 为实数,
容易看出，向量的加法与数乘运算实质上
按矩阵的加法与数乘运算的定义进行的,而矩阵的
加法与数乘满足相关的运算规律,所以,向量的
加法与数乘应满足下列八条运算规律,
（ 1） abba ??? （ 5.1）
（ 2） ? ? ? ?cbacba ????? （ 5.2）
（ 3） 存在 n 维零向量 0 使对 nR
a,都有 a0a ?? （ 5.3）
（ 4） 对 nR 中的任意向量 a,在 nR
它的负向量 a?,使得 ? ? 0aa ??? （ 5.4）
（ 5） aa ?1 （ 5.5）
（ 6） ? ? ? ?aa ???? ? （ 5.6）
（ 7） ? ? baba ??? ??? （ 5.7）
中任意向量
中都存在
（ 8） ? ? aaa ???? ??? （ 5.8）
其中 ?, ? 是任意实数,a, b, c 是任意
维向量, n
非空集合 按我们定义的向量的加法与数乘 nR
满足上述的八条运算规律，我们称 nR 对于所定义的
向量加法与数乘构成一个 n 维向量 空间,
当 3?n 时,nR 有直观的几何意义,3R 可以看作
在空间直角坐标系中以坐标原点为起点的有向线段的全体；
2R 可以看作在平面直角坐标中以坐标原点为起点有向
线段的全体； 1R 可以看作在某一数轴上以原点为起点的
有向线段的全体,不过当 3?n 时,nR 没有直观的
几何意义,
三,向量空间及其子空间
定义 2 设 V 是 nR 非空子集合,如果集合 V
对于向量加法与数乘两种运算都封闭,那么就称集合
V 对于 nR 的向量加法与数乘构成 一个向量空间,
所谓集合 V 中可以进行加法与数乘这两种运算,
即满足：如果 VV ?? ba,，那么 V?? ba ；若 RV ?? ?,a
，那么 V?a?,
容易验证，如果 V 是一个向量空间，那么 V
对向量的加法与数乘满足与运算规律（ 5.1） — （ 5.8）
类似的八条运算规律,V
0 V?a V??a
注意这里要求 中存在零向量
，并且如果,那么,
显然 nR 本身是一个向量空间,
例 1 集合
? ?RxxxxV nn ??? ?,,|),,,0( 22 ??x
是一个向量空间,因为如果
? ? ? ? VbbVaa nn ???? ??,,,0,,,,0 22 ?? ba,那么
? ? Vbaba nn ????? ?,,,0 22 ?ba ? ? Vaa n ?? ????,,,0 2 ?a,,
? ?? ?1,,,|,,,212121 ??????? ? nnn xxxRxxxxxxV ??? 且满足x
? ? Vaaa n ?? ?,,,21 ?a
121 ???? naaa ?
? ? ? ? 122222,2,2,22 212121 ?????????? nnn aaaaaaaaa ???a
V?a2
ba,n
例 2 集合
不是一个向量空间．因为如果,
，考察
于是,
为两个已知的 维向量，那么集合
即有
,
例 3 设
? ? ? ?RL ???? ????,|baxba,
是一个向量空间．因为如果
R????? 1222111 ????? b,axb,ax
? ? ? ? ? ?ba,baxx L?????? 212121 ????
? ? ? ? ? ?ba,bax L??? ????? 1111
ba,
maaa,,,21 ?
? ? ? ?RL mmmn ?????? ??????,,,| 21221121 ??? aaaxa,,a,a
，那么
,
这个向量空间称为由向量
一般地由向量 所生成 的向量空间为
,
,
所生成的向量空间,
定义 3 设有向量空间
1V 2V
及, 如果
21 VV ?,
1V 2V
那么就称
是 的子空间,
n V
nRV ? V nR
例如对任何由 维向量所组成的向量空间
总有,所以这样的向量空间 总是
的子空间,
,
一、三维向量空间
三,向量空间及其子空间
二, n维向量
§ 1 向量与向量空间
任取一个空间直角坐标系,321 eee,,是它的单位坐标向量,
任意向量 a 关于单位坐标向量的分解式为
332211 eeea aaa ???
其中 321 aaa,,分别是向量
此时，向量 a 的坐标表示式为
? ?321,,aaa?a
a 在 x 轴,y 轴,z 轴上的投影,
像
? ?321,,aaa?a 这样的由三个数组成的有序数组,
ia 称为向量 a 的第
称为三维向量,
i 个分量,
一、三维向量空间
我们还定义了向量的加法及数乘,它们的坐标表示式分别为
? ? ? ? ? ?332211321321,,,,,,babababbbaaa ??????? ba
? ? ? ?321321,,,,aaaaaa ????? ??a
其中向量 ? ?
321,,bbb?b
我们知道向量的加法及数乘应满足下列八条运算规律,
（ 1） abba ???
（ 2） ? ? ? ?cbacba ?????
（ 3） 存在三维零向量
0,使对任意向量 a,都有
a0a ??
（ 4） 对任意向量 a,都存在它的负向量 a?,使得
? ? 0aa ???
（ 5） aa ?1
（ 6） ? ? ? ?aa ???? ?
（ 7） ? ?
baba ??? ???
（ 8） ? ?
aaa ???? ???
其中 ?,
? 是任意实数,a b c 是任意 n 维向量．,,
对于由所有三维向量 ? ?zyx,,组成的（非空）集合,
按我们所定义的 加法与数乘满足上述八条运算规律,
我们称这个集合对于所定义的加法与数乘
记作 3R
构成一个
三维向量空间,
分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量
称为复向量,本书中只讨论实向量,
n 维向量可以写成一行,也可以写成一列,
分别
称为行向量与列向量,也就是行矩阵与列矩阵,因此,
二, n 维向量
现在我们把三维向量空间推广到 n 维向量空间,
定义 1 n 个数 naaa,,,21 ? 组成的有序数组称为 n
维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数
ia
称为它的 i 个分量,
从现在开始，列向量用黑体小写字母 βα,b,a,
等表示,行向量则用 ???? β,α,b,a 等表示,所讨论的
向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量,
与 n 维行向量 ? ?
naaa,,,21 ???a
总看成是两个不同的向量 （按定义 1, a
同一向量）,
应是
n 维列向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
?
2
1
a
与 ?a
设两个 维向量 n ? ???
naaa,,,21 ?a
与 ? ???
nbbb,,,21 ?b
如果它们对应的分量都相等，即 ? ?niba
ii,,2,1 ???
a 与 b 相等, 记作 ba?
定义零向量 ? ??? 0,,0,0 ?0 a 的负向量
? ??????? naaa,,,21 ?a
，向量
,那么
称向量
记 nR 为由所有 n 维实向量组成的集合,并按下列
规则在 nR 中定义 向量的加法与数乘 （统称向量的
线性运算）,
? ? ? ? ? ? ??? ??????? nnnn babababbbaaa,,,,,,,,,22112121 ???ba
? ? ? ? ?? ?? nn aaaaaa ?????,,,,,,2121 ??a
其中 ? ??? naaa ?,,21a, ? ??? nbbb,,21 ?b, ? 为实数,
容易看出，向量的加法与数乘运算实质上
按矩阵的加法与数乘运算的定义进行的,而矩阵的
加法与数乘满足相关的运算规律,所以,向量的
加法与数乘应满足下列八条运算规律,
（ 1） abba ??? （ 5.1）
（ 2） ? ? ? ?cbacba ????? （ 5.2）
（ 3） 存在 n 维零向量 0 使对 nR
a,都有 a0a ?? （ 5.3）
（ 4） 对 nR 中的任意向量 a,在 nR
它的负向量 a?,使得 ? ? 0aa ??? （ 5.4）
（ 5） aa ?1 （ 5.5）
（ 6） ? ? ? ?aa ???? ? （ 5.6）
（ 7） ? ? baba ??? ??? （ 5.7）
中任意向量
中都存在
（ 8） ? ? aaa ???? ??? （ 5.8）
其中 ?, ? 是任意实数,a, b, c 是任意
维向量, n
非空集合 按我们定义的向量的加法与数乘 nR
满足上述的八条运算规律，我们称 nR 对于所定义的
向量加法与数乘构成一个 n 维向量 空间,
当 3?n 时,nR 有直观的几何意义,3R 可以看作
在空间直角坐标系中以坐标原点为起点的有向线段的全体；
2R 可以看作在平面直角坐标中以坐标原点为起点有向
线段的全体； 1R 可以看作在某一数轴上以原点为起点的
有向线段的全体,不过当 3?n 时,nR 没有直观的
几何意义,
三,向量空间及其子空间
定义 2 设 V 是 nR 非空子集合,如果集合 V
对于向量加法与数乘两种运算都封闭,那么就称集合
V 对于 nR 的向量加法与数乘构成 一个向量空间,
所谓集合 V 中可以进行加法与数乘这两种运算,
即满足：如果 VV ?? ba,，那么 V?? ba ；若 RV ?? ?,a
，那么 V?a?,
容易验证，如果 V 是一个向量空间，那么 V
对向量的加法与数乘满足与运算规律（ 5.1） — （ 5.8）
类似的八条运算规律,V
0 V?a V??a
注意这里要求 中存在零向量
，并且如果,那么,
显然 nR 本身是一个向量空间,
例 1 集合
? ?RxxxxV nn ??? ?,,|),,,0( 22 ??x
是一个向量空间,因为如果
? ? ? ? VbbVaa nn ???? ??,,,0,,,,0 22 ?? ba,那么
? ? Vbaba nn ????? ?,,,0 22 ?ba ? ? Vaa n ?? ????,,,0 2 ?a,,
? ?? ?1,,,|,,,212121 ??????? ? nnn xxxRxxxxxxV ??? 且满足x
? ? Vaaa n ?? ?,,,21 ?a
121 ???? naaa ?
? ? ? ? 122222,2,2,22 212121 ?????????? nnn aaaaaaaaa ???a
V?a2
ba,n
例 2 集合
不是一个向量空间．因为如果,
，考察
于是,
为两个已知的 维向量，那么集合
即有
,
例 3 设
? ? ? ?RL ???? ????,|baxba,
是一个向量空间．因为如果
R????? 1222111 ????? b,axb,ax
? ? ? ? ? ?ba,baxx L?????? 212121 ????
? ? ? ? ? ?ba,bax L??? ????? 1111
ba,
maaa,,,21 ?
? ? ? ?RL mmmn ?????? ??????,,,| 21221121 ??? aaaxa,,a,a
，那么
,
这个向量空间称为由向量
一般地由向量 所生成 的向量空间为
,
,
所生成的向量空间,
定义 3 设有向量空间
1V 2V
及, 如果
21 VV ?,
1V 2V
那么就称
是 的子空间,
n V
nRV ? V nR
例如对任何由 维向量所组成的向量空间
总有,所以这样的向量空间 总是
的子空间,
,
