4.3 平 面
?平面的方程
?利用平面方程研究平面
§ 4.3 平 面
一、平面的方程
1,平面的点法式方程
法线向量 (法向量 )n,垂直于平面 ?
设 ?上点 M0(x0,y0,z0)
法向量 n = (A,B,C)
则点 M(x,y,z)在平面 ?上
M0 M
n
?
00 ??? nMM
即平面的点法式方程
2、平面的一般方程
由点法式方程，令
化为平面的一般方程
其中 A,B,C不全为零,
即平面方程是一个三元一次方程。
? ? ? ? ? ? 0000 ?????? zzCyyBxxA
0???? DCzByAx
? ?000 CzByAxD ????
反之，任何一个三元一次方程，只要一次项
系数不全为零，它的图形就是一个平面,
证 设三元一次方程
找出一组解 x0,y0,z0，即
0???? DCzByAx
0000 ???? DCzByAx
两式相减得
即点 M(x,y,z)在过点 M0(x0,y0,z0)且与向量
n = (A,B,C)垂直的平面上,因此一次方程
表示过 M0且垂直于向量 n的平面,
? ? ? ? ? ? 0000 ?????? zzCyyBxxA
0),,(),,( 000 ?????? zzyyxxCBA
0???? DCzByAx
例 1 求过点 (1,2,1) 且与向量 n = (1,2,1)
垂直的平面,
解 由点法式方程，有
即
? ? ? ? ? ? 0211211 ?????? zyx
052 ???? zyx
例 2 求通过 x轴与点 (4,-3,-1)的平面方程,
解 所求平面通过 x 轴,法向量 n=(0,B,C)
平面的方程为
因为点 (4,-3,-1)在平面上，因此有
所求的平面方程为
0?? CzBy
)0(303 ????? BBCCB 或
03 ?? zy
例 3 平面过三点 M1(1,1,1),M2(-2,1,2),
M3(-3,3,1),求这平面的方程,
解一 设平面方程为
那么 M1,M2,M3三点的坐标满足方程, 有
0???? DCzByAx
?
?
?
?
?
?????
?????
????
033
022
0
DCBA
DCBA
DCBA
解得
由于 A,B,C不能同时为零，因此 A≠0,
于是平面方程为
即
ADACAB 632 ????
0632 ???? AAzAyAx
0632 ???? zyx
解二 设 M(x,y,z)为空间的任意一点,
那么 共面，即
化简得所求的平面方程为
1 1 2 1 3M M M M M M、、
0
111313
121112
111
?
????
????
??? zyx
0632 ???? zyx
3、平面的截距式方程
设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点,
三交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)
其中 a, b, c均不为零,
设平面的一般方程为
o
x
y
z
P(a,0,0)
Q(0,b,0)
R(0,0,c)
0???? DCzByAx
将三点坐标代入得方程组
解得
代入平面的一般方程得 平面的截距式方程
其中 a,b,c 称为平面在三坐标轴上的截距 。
?
?
?
?
?
??
??
??
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
c
D
D
b
D
B
a
D
A ??????
1???
c
z
b
y
a
x
例 4 写出平面 3x-4y+z-5 = 0的截距式方程,
解 所求的平面截距式方程为
1
5
4
5
3
5
??
?
?
zyx
二、利用平面方程研究平面
1、平面的位置
设平面的一般方程为
（ 1） A≠0,B≠0,C≠0,D≠0
平面不过原点，在 x轴,y轴,z轴、上的截距分
别为 -D/A,-D/B,-D/C,
0???? DCzByAx
（ 2） A≠0,B≠0,
C≠0,D = 0
平面过原点
（ 3） A,B,C中有一个为零
A = 0,平面方程为
By+Cz+D = 0
平面平行于 x轴
o
x
y
z
o
x
y
z
B = 0,平面方程为
Ax+Cz+D = 0
平面平行于 y 轴
C = 0,平面方程为
Ax+By+D = 0
平面平行于 z 轴
o
x
y
z
o
x
y
z
（ 4） A,B,C中有两个为零
A = 0,B = 0,平面方程为
Cz+D = 0
平面与 z 轴垂直
B = 0,C = 0,平面方程为
Ax+D = 0
平面与 x 轴垂直
o
x
y
z
o
x
y
z
A = 0,C = 0,平面方程为
By+D = 0
平面与 y 轴垂直
(5) z = 0,xOy平面；
x = 0,yOz平面；
y = 0,xOz平面 。
o
x
y
z
2、点到平面的距离
求点 P0(x0,y0,z0)到平面 ?,Ax+By+Cz
+D=0的距离,
在平面 ?上任取一点
P1(x1,y1,z1),过 P0作平
面的法向量 n = (A,B,C)，那么
?
P1
d
n
P0
因为在 P1平面上，有 -Ax1-By1-Cz1 = D,
所以有 点到平面的距离公式,
222
101010
01
01
))()((
Pr
CBA
zzyyxxA
n
PPn
PPjd
n
??
???
?
?
??
222
000
CBA
DCzByAx
d
??
???
?
3、两平面间的位置关系
（ 1）两平面的夹角
两平面的法向量之间的夹角 (锐角 )
?1,
?2,
法向量
01111 ???? DzCyBxA
02222 ???? DzCyBxA
? ?1111,,CBA?n
? ?2222,,CBA?n
n1
n2
θ
θ
两平面间夹角的公式
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
????
??
?
21
21
21 ),(c o sc o s
nn
nn
nn
?
????
（ 2）特殊关系的判别
两平面 ?1与 ?2
? 平行（但不重合）
Ⅱ 重合
Ⅲ 垂直
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
????
0212121 ???? CCBBAA
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
????
例 5 求两平面 2x-y+z-6 = 0 与 x+y+2z-5 = 0
间的夹角 θ。
解
2
1
2111)1(2
211)1(12
c os
222222
?
?????
??????
??
3
?
? ?
例 6 求与平面 3x-2y+z-2 = 0 平行并通过坐
标原点的平面,
解 与平面 3x-2y+z-2 = 0平行的平面方程可
设为
因平面通过坐标原点，因此有 D = 0，故所求平
面为,
023 ???? Dzyx
023 ??? zyx
例 7 求通过点 M1(1,1,1) 与 M2(0,1,-1) 且
垂直于平面 x+y+z = 0 的平面方程,
解一 设过点 (1,1,1)的平面方程为
因平面还通过有点 (0,1,-1),故有
即
? ? ? ? ? ? 0111 ?????? zCyBxA
? ? ? ? ? ? 0111110 ??????? CBA
02 ?? CA
所求平面与已知平面 x+y+z = 0垂直，所以又有
联立解得
即有
因为 A,B,C不全为零，故 D≠0 。
所求的平面方程为
0??? CBA
CBCA ???,2
0)1()1()1(2 ??????? zCyCxC
02 ??? zyx
解二 设 M(x,y,z) 是空间的任一点,由于
所求平面垂直于已知平面 x+y+z = 0,故法向量
平行于所求的平面．所以
,,n = (1,1,1)共面，即有
所求平面方程为
)1,1,1(1 ???? zyxMM
)2,0,1(21 ?MM
0
111
201
111
?
??? zyx
02 ??? zyx