§ 2 向量组的线性相关
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关
nm? ? ?
ijaA ? n m
? ? ? ?njaaa mjjjj,，，，，,?? 2121 ?? ?a
n21 a,,a,a ? A
§ 2 向量组的线性相关性
矩阵 有 个 维列向量
它们组成的向量组 称为矩阵 的列向量组,
有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成
,
的集合称为一个向量组,
例如一个
nm? A m n
? ? ? ?mibbb iniii,，，，，，,?? 2121 ???b
矩阵 又有 个 维行向量
???
mbbb,,,21 ?
A
m n m21 a,,a,a ?
mn?
? ?m21 aaa,,,??A
m n ΤmΤ2Τ1 bbb,，,?
nm?
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Τ
m
Τ
2
Τ
1
b
b
b
?
B
它们组成的向量组 称为矩阵
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个
个 维列向量所组成的向量组
构成一个 矩阵；
个 维行向量所组成的向量组
构成一个 矩阵
,
的行向量组,
矩阵,
例如
A B
n m
bx ?A
? ?b?AB ?
B
B
B baaa,，
n,，21 ?
baaa ???? nnxxx ?2211
注意这里的矩阵 与 可以看作是分块矩阵,
个未知量的
个方程组成的线性方程组写成矩阵形式
从而线性方程组可以与它的增广矩阵
这种对应如果看成一个方程对应
的一个行向量，那么方程组就与
可以知道方程组与 的列向量组
之间也有一一对应关系,
在第二章中，我们把含有
,
的行向量组对应,
把线性方程组写成向量形式
一一对应,
如果利用分块矩阵的乘法
b
n21 aaa,，,?
那么，当方程组有解时，向量 可以由向量组
如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性
通过线性运算得到,
运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为
向量组的线性关系,
在本章中，我们将讨论向量组的线性关系,
3R,?ba
0b? a b ?
ba ??
1e 2e 3e
3R
3R?a
332211 eeea aaa ???
根据第四章定理 1我们知道，如果向量 且
，那么 与 平行的充分必要条件是存在实数
使
,
、, 是
那么由第四章 § 1的方法，可以得到任意 的分解式
上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合
一、向量组的线性组合
,
又如，设 的单位坐标向量,
的概念,
m21 a,,a,a ?:A
mkkk,,,21 ? mmkkk aaa ??? ?2211 A
mkkk,,,21 ?
b m21 a,,a,a ?:A
m???,,,21 ? mm
aaab ??? ???? ?2211 b
A b
A
定义 4 设向量组,对于任何一组实数
，向量
称为向量组
的一个线性组合,称为这个线性组合的组合
与向量组,如果存在一组数
，使
，那么向量
是向量组 的线性组合，这时称向量组 能由向量组
线性表示,
设向量
系数,
b A向量 能由向量组 线性表示，也就是方程组
baaa ???? mmxxx ?2211
mA a,,a,a ?21,b
b;a,,a,a m21 ?
n )
? ?m21 aaa,,,??A ? ???
mxxx,,,21 ?x )( b?AB ?
A
有解
根据第二章 § 1第四目关于线性方程组解的不同
与向
量
都是 维向量,记矩阵
，,
那么下列三个命题等价,
能由向量组 线性表示；
情况的讨论以及第三章 § 4矩阵的秩的求法，可以得到,
定理 1 设向量组
（ 1）向量
（ 2）线性方程组 bx ?A 有解；
b
(
bx ?A
? ? ? ?BRAR ?
b mA a,,a,a ?21:
b A
)( m21 a,,a,a ??A ? ?b?AB ? B
1B
（ 3）线性方程组
等于其系数矩阵的秩，即
借助于定理 1，我们可以直接使用矩阵的初等
能否由向量组
线性
能由向量组 线性表示时求相关的
,．对矩阵
施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵
,
变换来判断向量
表示，并且在
组合系数,
记
的增广矩阵的秩
? ?AR ? ?BR ? ? ? ?ARBR ? b
A ? ? ? ?BRAR ? b
A 1B
2B 2
B
b A
比较 与,如果,那么向量
不能由向量组 线性表示；如果,那么向量
能由向量组 线性表示．继续对
使它变成行最简形矩阵,此时，矩阵
列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的
关于向量组 的组合系数,
施行初等行变换
的最后一个
组合系数就是向量
n nR E例 4 设 维向量空间
的向量组,
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0
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,,
0
1
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2
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n
ee
，,
nR ? ???
naaa,,,21 ?a
E nnaaa eeea ???? ?2211 E
n
? ???? 5,1,1b
? ? ? ?,4,1,0,3,2,1 21 ?? ?? aa
? ??? 6,3,23a
那么 的任意向量 都能由向量组
线性表示．这因为
．向量组
称为 维单位坐标向量组,
能由向量组
线性表示，并求出相应的组合系数,
例 5 证明向量
解 记
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5643
1312
1201
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B
,
B
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3110
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8040
3110
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3
3
23
12
13 ?
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r
rr
rr
rr
B
? ? ? ? 3?? BRAR b 321 a,a,a
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1001
1100
3110
1201
31
32
2
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rr
rr
321 2 aaaa ???
对矩阵 施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵,
,
故向量 能由向量组
线性表示,
因此,
再对上述最后一个矩阵施行初等行变换，使它变成
行最简形矩阵,
所以,
mA a,,a,a ?21,sB b,,b,b ?21:
B A
B A
A B
A B
B A
设有两个向量组 及
如果向量组 中的每个向量都能由向量组
那么称向量组 能由向量组 线性表示．如果向量组
与向量组
容易证明，向量组间的等价关系满足下列性质,
与向量组 等价，那么
也与向量组 等价；
线性表示,
能相互线性表示，那么称这两个向量组等价．
（ 1）反身性 每一个向量组都与它自身等价；
（ 2）对称性 如果向量组
向量组
定义 5
A B
B C A C
如果向量组 与向量组 等价，向量组
与向量组 等价，那么向量组 与向量组 等价,
( 3 ) 传递性
A B ? ?mA aaa,,,21 ??
? ?bbb,,,21 ??B B A
? ?sjj ?,2,1?b mjjj kkk,,,21 ?
? ?
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?????
mj
j
j
mmmjjjj
k
k
k
kkk
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2
1
212211
a,,a,aaaab
? ? ? ?
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msmm
s
s
ms
kkk
kkk
kkk
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??
21
22221
11211
2121
a,,a,ab,,b,b
? ? nmijKK ??
AKB ?
与 所构成的矩阵分别记作
与,向量组 能由向量组 线性表示，即对
存在数,使
从而
这里矩阵 称为这一线性表示的系数矩阵,
把向量组
每个向量
此时，有
nssmnm BAC ??? ? C
A B
? ? ? ?
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snss
n
n
sn
bbb
bbb
bbb
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????
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??
21
22221
11211
2121
,a,,aac,,c,c
C B
A
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Τ
s
Τ
2
Τ
1
Τ
m
Τ
2
Τ
1
b
b
b
d
d
d
?
?
????
?
?
?
msmm
s
s
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
由此可知，如果,那么矩阵
的列向量组能由矩阵 的列向量组线性表示,
为这一线性表示的系数矩阵,
同时 的行向量组能由 的行向量组线性表示,
为这一线性表示的系数矩阵,
A B B
A B
A
B
A A B
A B
A B
A B
设矩阵 经过初等行变换变成矩阵,那么
的每个行向量都是 的行向量组的线性组合，即
的行向量组能由 的行向量组的线性表示．由于初等
也可以经过初等行变换变成
，从而 的行向量组也能由 的行向量组线性表示,
的行向量组与 的行向量组等价,
经初等列变换变成,那么
的列向量组与 的列向量组等价,
行变换是可逆的，因此矩阵
于是
类似地，如果矩阵
321 e,e,e
0eee 321 ??? 321 kkk
0321 ??? kkk
?? ),,( 321 aaaa 3R
321,,aaa 321 eeea 321 aaa ???
321 eeea,,,321 eee,,
n
二、向量组的线性相关性
具有
成立的充分必要条件是
设 是 的任意向量，那么由例 4知道,
，使得
．所以向量组
与向量组 有不同的线性关系．一般地,
维向量组的线性相关性的定义
在第四章 § ２例 5中，单位坐标向量
向量等式
下列性质,
存在数
我们有如下的
n m21 a,,a,a ?
mkkk,,,21 ?
0aaa m21 ???? mkkk ?21
m21 a,,a,a ?
m21 a,,a,a ?
021 ???? mkkk ? m21 a,,a,a ?
3?m m21 a,,a,a ?
1?m a
0a? 21 a,a
定义 6 维向量组,如果存在一组
，使得向量等式
成立，那么称向量组 线性相关；
线性无关,即如果由向量等式（ 5.9）成立可以
线性无关,
时，向量组 线性相关，有特殊的
时，即一个向量 线性相关的充分必要
．对于两个向量 组成的向量组它线性
不全为零的数
（ 5.9）
推导出
当
几何意义,
条件是
设
否则称向量组
，那么称向量组
21 a,a
21 a,a
的分量对应成比例，其几何
三个向量组成的向量组线性相关的
相关的充分必要条件是
意义是 共线,
几何意义是这三个向量共面,
:A m21 a,,a,a ? )( m21 a,,a,a ??A
A
0aaa m21 ???? mxxx ?21
0x ?A
设向量组 构成矩阵,那么向量组
线性相关的充分必要条件是齐线性方程组
即
根据第二章 § 1第四目关于线性方程组解的不同情况的
有非零解,
讨论以及第三章 § 4矩阵的秩的求法，可以得到
n m21 a,,a,a ? )( m21 a,,a,a ??A
?? ),,,( 21 mxxx ?x
m21 a,,a,a ?
0x ?A
mAR ?)( A
m
mAR ?)(
定理 2 维向量组,记矩阵
，那么下列三个命题等价,
线性相关；
有非零解；
，即矩阵 的秩小于向量组所含向量的
等价地，下列三个命题等价,
设
(1) 向量组
(2) 齐次线性方程组
(3)
个数
m21 a,,a,a ? 线性 无 关； (1) 向量组
0x ?A 只有零解 ； (2) 齐次线性方程组
(3) A,即矩阵 的秩 等于 向量组所含向量的
m个数
nm ?
n na,,a,a 21 ? )( nA a,,a,a 21 ??
na,,a,a 21 ?
)0(0 ?? AA
定理 2为我们提供了一个利用矩阵初等变换来讨论
的特殊情况，我们容易得到下列两个推论,
维向量组,
那么下列三个命题等价,
线性相关（无关）；
向量组的线性相关性的方法．对于向量个数
设 推论 1
（ 1）向量组
（ 2）齐次线性方程组有非零解（只有零解）；
（ 3）
n,m21 a,,a,a ? nm?
m21 a,,a,a ?
3R
nR 1?n
n n
推论 2 维向量组
即向量组所含向量个数大于向量的维数，那么
一定线性相关,
中任意四个向量一定线性相关，而任意三
中任意 个向量都是线性相关的，因此，任意线性
维向量组最多含有 个向量,
设
例如在
个向量线性相关的充分必要条件是它们共面,
无关的
n
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1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
?
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??
n21
eee
例 6 证明 维单位坐标向量组
线性无关,
一般地，在
nkkk,,,21 ? 0eee 21 ???? nnkkk ?21
?? ? )0,,0,0(),,,( 21 ?? nkkk
021 ???? nkkk ? ne,,e,e ?21
E
)( 21 nE e,,e,e ?? E n nER ?)(
)(ER
E
证一 我们直接利用定义 6证明．如果存在一组数
，使得
,根据向量线性
，从而
．所以 是线性无关的,
构成的矩阵为
,
是 阶单位矩阵．显然有,即
等于向量组中向量的个数，所以由定理 2知道向量组
是线性无关的,
运算的定义可以得到
证二 我们利用定理 2，设向量组
例 7 ??? ????? )3,6,3(,)11,4,1()7,1,2(
321 aa,a
的线性相关性,
讨论向量组
)( 321 a,a,a
)( 321 a,a,a
?
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000
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641
39390
990
641
3117
641
312
)( ~~
9
39
7
2
321
2
23
12
13
2
r
rr
rr
rr
rr
a,a,a
R 32)( 321 ??a,a,a 321 a,a,a
321 a,a,a
133322211 aab,aab,aab ?????? 321 b,b,b
1x 2x 3x 0bbb ??? 332211 xxx
解 对矩阵 施行初等行变换使它变成行阶梯
的秩,
所以,故 线性相关,
线性无关,
．证明向量组
线性无关,
、,,使得
形矩阵，就可以看出矩阵
例 8 已知向量组
证 设有一组数
0)aa)aa)aa ?????? 133322211 ((( xxx
0)a)a)a ?????? 332221131 ((( xxxxxx
321 a,a,a
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
32
21
31
xx
xx
xx
0321 ??? xxx
321 b,b,b
即
从而
因为 线性无关，故有
解此方程组得唯一零解
所以向量组
线性相关性是向量组的一个重要性质，下面我们介绍
线性无关,
与它相关的一些简单结论，而它们的证明都依赖于定理
2的结论,
mA a,,a ?1:
mB a,,a,?1 1?ma B
A
? ?mA a,,a ?1? ? ?11,?? mmB aa,,a ?
1)()( ?? ARBR A
mAR ?)( 11)()( ???? mARBR
B
定理 3 线性相关，那么向量组
,也线性相关,
线性无关，则向量组
证 记,,显然有
,如果向量组 线性相关，那么由定理 2，有
，从而
．因此由定理 2知向量组
线性相关,
也线性无关,
证毕
定理 3是对向量组增加 1个向量而言的，增加多个向量的
结论也成立,即设向量组 A 是向量组 B 的一部分
如果向量组
等价地，如果向量组
A B
),2,1(,
,1
1
1
mj
a
a
a
a
a
jr
rj
j
j
rj
j
j
?
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? ?
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?
ba
ja
jb m21 a,,a,a ?:A
（这时称向量组 是向量组
那么定理 3可以推广为：如果一个向量组有线性相关
的部分组，那么该向量组线性相关,
即向量 在相同位置上都添上一个分量后得向量；如果向量组 线性无关，那么向量组
的部分组）
定理 4 设
特别地，含零向量
的向量组一定线性相关,等价地，如果一个向量组线性
无关，那么它的任意部分组都线性无关,
mB b,b,b,,21 ? B
A
)b,,(ba,a mm BA ?? 11 ),,( ??
)()( BRAR ?
A mAR ?)(
mBR ?)( mBR ?)( mBR ?)(
B
也线性无关；
线性相关，则向量组 也线性相关,
显然有
如果向量组 线性无关，那么,从而
．但,故,因此向量组
线性无关,
证 记
定理 4是对向量增加 1个分量而言的，如果在相同
位置增加多个分量，结论也成立,
证毕
等价地，如果向量组
m21 a,,a,a ?:A
ba,,a,a m21,,?B b
A
),( m1 a,,a ??A ),( ba,,a m1 ??B
)()( BRAR ?
A mAR ?)(
B 1)( ?? mBR
1)( ??? mBRm mBR ?)(
mBRAR ?? )()(
定理 5 线性无关，而向量组
线性相关,一定能由向量组
线性表示，而且表示式是唯一的,
显然有
因向量组 线性无关，有
因向量组 线性相关，有
所以,即有
由,根据第二章 § 1第四目关于线性
证一 记
方程组解的不同情况的讨论及矩阵的秩的求法知道,
设向量组
那么向量
线性方程组 bx ?A ?? ),,,(
21 mxxx ?x
b A
B
121,,,,?mm kkkk ?
0baaa ????? ? 12211 mmm kkkk ?
01 ??mk
0aaa ???? mmkkk ?2211 mkkk,,,21 ?
maa,,1 ? maa,,1 ?
（其中
有唯一解,能由向量组
证二 我们利用与第四章 § 2例 5类似的方法，即直接
线性相关，存在一组
，使得
如果,那么向量等式（ 5.10）变成
,且
不全为零，就得到 线性相关，与
）
并且表示式是唯一的,
利用定义 6来证明,
不全为零的数
（ 5.10）
线性表示,即向量
由于向量组
maa,,1 ? 01 ??mk
m
m
m
mm k
k
k
k
k
k
aaab ??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
??
??? 1
2
1
2
1
1
1 ?
b A
b A
mmlll aaab ???? ?2211 mmhhh aaab ???? ?2211
0aaa ??????? mmm hlhlhl )()()( 222111 ?
maa,,1 ? 0?? ii hl
),2,1( mihl ii ??? b
A
线性相关，与 线性无关矛盾,
从而可得
即向量 能由向量组 线性表示,
有两个关于向量组 的线性组合表示式,
及
两式相减并整理可得
但是 是线性无关的，故得
从而,所以向量 关于向量组
的线性组合表示式是唯一的,
,
设向量
所以
证毕
)2(,,,21 ?mmaaa ?
)2(,,,21 ?mmaaa ?
1?m
maaa,,,21 ?
mkkk,,,21 ? 0aaa ???? mmkkk ?2211
mkkk,,,21 ? 01 ?k
m
m
k
k
k
k
aaa ??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
??
1
2
1
2
1 ?
最后，我们介绍向量组
线性相关的一个充分必要条件,
充分必要条件是
个向量线性表示,
线性相关，那么存在一组不全为零
，使得
因为 不全为零，不妨设,于是有
定理 6 向量组 线性相关的
证 设
的数
该向量组中至少有一个向量能由其余
1a maa,,2 ?
maaa,,,21 ? 1a
1?m
mll,,2 ?
mmll aaa ??? ?221 0aaa ???? mmll ?221)1(
mll,,,1 2 ?? maaa,,,21 ?
?
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7
4
2
,
5
2
0
,
1
1
1
321
aaa
即 能由其余向量 线性表示,
中有一个向量（不妨设
能由其余 个向量线性表示，即有一组数
使得
,从而有
显然 不全为零,
例 9
反之，设 ）
所以 线性
相关,证毕
已知向量
321 a,a,a 21 a,a
3a 21 a,a
3a 21 a,a
)( 321 a,a,a
)( 321 a,a,a
21 a,a
?
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000
110
201
550
220
201
751
421
201
)( ~~
2
5
321
2
23
12
13
r
rr
rr
rr
a,a,a
32)( 321 ??a,a,aR 321 a,a,a
(1)讨论向量组 及向量组
(2)向量 能否由向量组
那么求向量 关于向量组
解 （ 1）对矩阵
变成行阶梯形矩阵,
及（ ）的秩,
，向量组 线性相关；
的线性相关性；
线性表示？如果能够,
的线性组合表示式,
施行初等行变换使它
可知
就可以同时看出矩阵
再利用定理 2就可以得出结论,
2)21 ?a,(aR 21 a,a
3a 21
a,a
213 2 aaa ??
，向量组 线性无关,
能由向量组
表示，它的表示式唯一,
系数即为上述最后一个矩阵的第 3列的前两个
（ 2）由定理 5，向量
,其中
元素,
线性
组合
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关
nm? ? ?
ijaA ? n m
? ? ? ?njaaa mjjjj,，，，，,?? 2121 ?? ?a
n21 a,,a,a ? A
§ 2 向量组的线性相关性
矩阵 有 个 维列向量
它们组成的向量组 称为矩阵 的列向量组,
有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成
,
的集合称为一个向量组,
例如一个
nm? A m n
? ? ? ?mibbb iniii,，，，，，,?? 2121 ???b
矩阵 又有 个 维行向量
???
mbbb,,,21 ?
A
m n m21 a,,a,a ?
mn?
? ?m21 aaa,,,??A
m n ΤmΤ2Τ1 bbb,，,?
nm?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Τ
m
Τ
2
Τ
1
b
b
b
?
B
它们组成的向量组 称为矩阵
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个
个 维列向量所组成的向量组
构成一个 矩阵；
个 维行向量所组成的向量组
构成一个 矩阵
,
的行向量组,
矩阵,
例如
A B
n m
bx ?A
? ?b?AB ?
B
B
B baaa,，
n,，21 ?
baaa ???? nnxxx ?2211
注意这里的矩阵 与 可以看作是分块矩阵,
个未知量的
个方程组成的线性方程组写成矩阵形式
从而线性方程组可以与它的增广矩阵
这种对应如果看成一个方程对应
的一个行向量，那么方程组就与
可以知道方程组与 的列向量组
之间也有一一对应关系,
在第二章中，我们把含有
,
的行向量组对应,
把线性方程组写成向量形式
一一对应,
如果利用分块矩阵的乘法
b
n21 aaa,，,?
那么，当方程组有解时，向量 可以由向量组
如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性
通过线性运算得到,
运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为
向量组的线性关系,
在本章中，我们将讨论向量组的线性关系,
3R,?ba
0b? a b ?
ba ??
1e 2e 3e
3R
3R?a
332211 eeea aaa ???
根据第四章定理 1我们知道，如果向量 且
，那么 与 平行的充分必要条件是存在实数
使
,
、, 是
那么由第四章 § 1的方法，可以得到任意 的分解式
上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合
一、向量组的线性组合
,
又如，设 的单位坐标向量,
的概念,
m21 a,,a,a ?:A
mkkk,,,21 ? mmkkk aaa ??? ?2211 A
mkkk,,,21 ?
b m21 a,,a,a ?:A
m???,,,21 ? mm
aaab ??? ???? ?2211 b
A b
A
定义 4 设向量组,对于任何一组实数
，向量
称为向量组
的一个线性组合,称为这个线性组合的组合
与向量组,如果存在一组数
，使
，那么向量
是向量组 的线性组合，这时称向量组 能由向量组
线性表示,
设向量
系数,
b A向量 能由向量组 线性表示，也就是方程组
baaa ???? mmxxx ?2211
mA a,,a,a ?21,b
b;a,,a,a m21 ?
n )
? ?m21 aaa,,,??A ? ???
mxxx,,,21 ?x )( b?AB ?
A
有解
根据第二章 § 1第四目关于线性方程组解的不同
与向
量
都是 维向量,记矩阵
，,
那么下列三个命题等价,
能由向量组 线性表示；
情况的讨论以及第三章 § 4矩阵的秩的求法，可以得到,
定理 1 设向量组
（ 1）向量
（ 2）线性方程组 bx ?A 有解；
b
(
bx ?A
? ? ? ?BRAR ?
b mA a,,a,a ?21:
b A
)( m21 a,,a,a ??A ? ?b?AB ? B
1B
（ 3）线性方程组
等于其系数矩阵的秩，即
借助于定理 1，我们可以直接使用矩阵的初等
能否由向量组
线性
能由向量组 线性表示时求相关的
,．对矩阵
施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵
,
变换来判断向量
表示，并且在
组合系数,
记
的增广矩阵的秩
? ?AR ? ?BR ? ? ? ?ARBR ? b
A ? ? ? ?BRAR ? b
A 1B
2B 2
B
b A
比较 与,如果,那么向量
不能由向量组 线性表示；如果,那么向量
能由向量组 线性表示．继续对
使它变成行最简形矩阵,此时，矩阵
列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的
关于向量组 的组合系数,
施行初等行变换
的最后一个
组合系数就是向量
n nR E例 4 设 维向量空间
的向量组,
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0
0
1
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0
0
,,
0
1
0
2
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n
ee
，,
nR ? ???
naaa,,,21 ?a
E nnaaa eeea ???? ?2211 E
n
? ???? 5,1,1b
? ? ? ?,4,1,0,3,2,1 21 ?? ?? aa
? ??? 6,3,23a
那么 的任意向量 都能由向量组
线性表示．这因为
．向量组
称为 维单位坐标向量组,
能由向量组
线性表示，并求出相应的组合系数,
例 5 证明向量
解 记
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5643
1312
1201
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B
,
B
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3110
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8040
3110
1201
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42
3
3
23
12
13 ?
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r
rr
rr
rr
B
? ? ? ? 3?? BRAR b 321 a,a,a
?
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1001
1100
3110
1201
31
32
2
?
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?
rr
rr
321 2 aaaa ???
对矩阵 施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵,
,
故向量 能由向量组
线性表示,
因此,
再对上述最后一个矩阵施行初等行变换，使它变成
行最简形矩阵,
所以,
mA a,,a,a ?21,sB b,,b,b ?21:
B A
B A
A B
A B
B A
设有两个向量组 及
如果向量组 中的每个向量都能由向量组
那么称向量组 能由向量组 线性表示．如果向量组
与向量组
容易证明，向量组间的等价关系满足下列性质,
与向量组 等价，那么
也与向量组 等价；
线性表示,
能相互线性表示，那么称这两个向量组等价．
（ 1）反身性 每一个向量组都与它自身等价；
（ 2）对称性 如果向量组
向量组
定义 5
A B
B C A C
如果向量组 与向量组 等价，向量组
与向量组 等价，那么向量组 与向量组 等价,
( 3 ) 传递性
A B ? ?mA aaa,,,21 ??
? ?bbb,,,21 ??B B A
? ?sjj ?,2,1?b mjjj kkk,,,21 ?
? ?
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?????
mj
j
j
mmmjjjj
k
k
k
kkk
?
??
2
1
212211
a,,a,aaaab
? ? ? ?
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msmm
s
s
ms
kkk
kkk
kkk
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????
?
?
??
21
22221
11211
2121
a,,a,ab,,b,b
? ? nmijKK ??
AKB ?
与 所构成的矩阵分别记作
与,向量组 能由向量组 线性表示，即对
存在数,使
从而
这里矩阵 称为这一线性表示的系数矩阵,
把向量组
每个向量
此时，有
nssmnm BAC ??? ? C
A B
? ? ? ?
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?
snss
n
n
sn
bbb
bbb
bbb
?
????
?
?
??
21
22221
11211
2121
,a,,aac,,c,c
C B
A
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?
Τ
s
Τ
2
Τ
1
Τ
m
Τ
2
Τ
1
b
b
b
d
d
d
?
?
????
?
?
?
msmm
s
s
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
由此可知，如果,那么矩阵
的列向量组能由矩阵 的列向量组线性表示,
为这一线性表示的系数矩阵,
同时 的行向量组能由 的行向量组线性表示,
为这一线性表示的系数矩阵,
A B B
A B
A
B
A A B
A B
A B
A B
设矩阵 经过初等行变换变成矩阵,那么
的每个行向量都是 的行向量组的线性组合，即
的行向量组能由 的行向量组的线性表示．由于初等
也可以经过初等行变换变成
，从而 的行向量组也能由 的行向量组线性表示,
的行向量组与 的行向量组等价,
经初等列变换变成,那么
的列向量组与 的列向量组等价,
行变换是可逆的，因此矩阵
于是
类似地，如果矩阵
321 e,e,e
0eee 321 ??? 321 kkk
0321 ??? kkk
?? ),,( 321 aaaa 3R
321,,aaa 321 eeea 321 aaa ???
321 eeea,,,321 eee,,
n
二、向量组的线性相关性
具有
成立的充分必要条件是
设 是 的任意向量，那么由例 4知道,
，使得
．所以向量组
与向量组 有不同的线性关系．一般地,
维向量组的线性相关性的定义
在第四章 § ２例 5中，单位坐标向量
向量等式
下列性质,
存在数
我们有如下的
n m21 a,,a,a ?
mkkk,,,21 ?
0aaa m21 ???? mkkk ?21
m21 a,,a,a ?
m21 a,,a,a ?
021 ???? mkkk ? m21 a,,a,a ?
3?m m21 a,,a,a ?
1?m a
0a? 21 a,a
定义 6 维向量组,如果存在一组
，使得向量等式
成立，那么称向量组 线性相关；
线性无关,即如果由向量等式（ 5.9）成立可以
线性无关,
时，向量组 线性相关，有特殊的
时，即一个向量 线性相关的充分必要
．对于两个向量 组成的向量组它线性
不全为零的数
（ 5.9）
推导出
当
几何意义,
条件是
设
否则称向量组
，那么称向量组
21 a,a
21 a,a
的分量对应成比例，其几何
三个向量组成的向量组线性相关的
相关的充分必要条件是
意义是 共线,
几何意义是这三个向量共面,
:A m21 a,,a,a ? )( m21 a,,a,a ??A
A
0aaa m21 ???? mxxx ?21
0x ?A
设向量组 构成矩阵,那么向量组
线性相关的充分必要条件是齐线性方程组
即
根据第二章 § 1第四目关于线性方程组解的不同情况的
有非零解,
讨论以及第三章 § 4矩阵的秩的求法，可以得到
n m21 a,,a,a ? )( m21 a,,a,a ??A
?? ),,,( 21 mxxx ?x
m21 a,,a,a ?
0x ?A
mAR ?)( A
m
mAR ?)(
定理 2 维向量组,记矩阵
，那么下列三个命题等价,
线性相关；
有非零解；
，即矩阵 的秩小于向量组所含向量的
等价地，下列三个命题等价,
设
(1) 向量组
(2) 齐次线性方程组
(3)
个数
m21 a,,a,a ? 线性 无 关； (1) 向量组
0x ?A 只有零解 ； (2) 齐次线性方程组
(3) A,即矩阵 的秩 等于 向量组所含向量的
m个数
nm ?
n na,,a,a 21 ? )( nA a,,a,a 21 ??
na,,a,a 21 ?
)0(0 ?? AA
定理 2为我们提供了一个利用矩阵初等变换来讨论
的特殊情况，我们容易得到下列两个推论,
维向量组,
那么下列三个命题等价,
线性相关（无关）；
向量组的线性相关性的方法．对于向量个数
设 推论 1
（ 1）向量组
（ 2）齐次线性方程组有非零解（只有零解）；
（ 3）
n,m21 a,,a,a ? nm?
m21 a,,a,a ?
3R
nR 1?n
n n
推论 2 维向量组
即向量组所含向量个数大于向量的维数，那么
一定线性相关,
中任意四个向量一定线性相关，而任意三
中任意 个向量都是线性相关的，因此，任意线性
维向量组最多含有 个向量,
设
例如在
个向量线性相关的充分必要条件是它们共面,
无关的
n
?
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1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
?
?
??
n21
eee
例 6 证明 维单位坐标向量组
线性无关,
一般地，在
nkkk,,,21 ? 0eee 21 ???? nnkkk ?21
?? ? )0,,0,0(),,,( 21 ?? nkkk
021 ???? nkkk ? ne,,e,e ?21
E
)( 21 nE e,,e,e ?? E n nER ?)(
)(ER
E
证一 我们直接利用定义 6证明．如果存在一组数
，使得
,根据向量线性
，从而
．所以 是线性无关的,
构成的矩阵为
,
是 阶单位矩阵．显然有,即
等于向量组中向量的个数，所以由定理 2知道向量组
是线性无关的,
运算的定义可以得到
证二 我们利用定理 2，设向量组
例 7 ??? ????? )3,6,3(,)11,4,1()7,1,2(
321 aa,a
的线性相关性,
讨论向量组
)( 321 a,a,a
)( 321 a,a,a
?
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000
110
641
39390
990
641
3117
641
312
)( ~~
9
39
7
2
321
2
23
12
13
2
r
rr
rr
rr
rr
a,a,a
R 32)( 321 ??a,a,a 321 a,a,a
321 a,a,a
133322211 aab,aab,aab ?????? 321 b,b,b
1x 2x 3x 0bbb ??? 332211 xxx
解 对矩阵 施行初等行变换使它变成行阶梯
的秩,
所以,故 线性相关,
线性无关,
．证明向量组
线性无关,
、,,使得
形矩阵，就可以看出矩阵
例 8 已知向量组
证 设有一组数
0)aa)aa)aa ?????? 133322211 ((( xxx
0)a)a)a ?????? 332221131 ((( xxxxxx
321 a,a,a
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
32
21
31
xx
xx
xx
0321 ??? xxx
321 b,b,b
即
从而
因为 线性无关，故有
解此方程组得唯一零解
所以向量组
线性相关性是向量组的一个重要性质，下面我们介绍
线性无关,
与它相关的一些简单结论，而它们的证明都依赖于定理
2的结论,
mA a,,a ?1:
mB a,,a,?1 1?ma B
A
? ?mA a,,a ?1? ? ?11,?? mmB aa,,a ?
1)()( ?? ARBR A
mAR ?)( 11)()( ???? mARBR
B
定理 3 线性相关，那么向量组
,也线性相关,
线性无关，则向量组
证 记,,显然有
,如果向量组 线性相关，那么由定理 2，有
，从而
．因此由定理 2知向量组
线性相关,
也线性无关,
证毕
定理 3是对向量组增加 1个向量而言的，增加多个向量的
结论也成立,即设向量组 A 是向量组 B 的一部分
如果向量组
等价地，如果向量组
A B
),2,1(,
,1
1
1
mj
a
a
a
a
a
jr
rj
j
j
rj
j
j
?
?
? ?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
ba
ja
jb m21 a,,a,a ?:A
（这时称向量组 是向量组
那么定理 3可以推广为：如果一个向量组有线性相关
的部分组，那么该向量组线性相关,
即向量 在相同位置上都添上一个分量后得向量；如果向量组 线性无关，那么向量组
的部分组）
定理 4 设
特别地，含零向量
的向量组一定线性相关,等价地，如果一个向量组线性
无关，那么它的任意部分组都线性无关,
mB b,b,b,,21 ? B
A
)b,,(ba,a mm BA ?? 11 ),,( ??
)()( BRAR ?
A mAR ?)(
mBR ?)( mBR ?)( mBR ?)(
B
也线性无关；
线性相关，则向量组 也线性相关,
显然有
如果向量组 线性无关，那么,从而
．但,故,因此向量组
线性无关,
证 记
定理 4是对向量增加 1个分量而言的，如果在相同
位置增加多个分量，结论也成立,
证毕
等价地，如果向量组
m21 a,,a,a ?:A
ba,,a,a m21,,?B b
A
),( m1 a,,a ??A ),( ba,,a m1 ??B
)()( BRAR ?
A mAR ?)(
B 1)( ?? mBR
1)( ??? mBRm mBR ?)(
mBRAR ?? )()(
定理 5 线性无关，而向量组
线性相关,一定能由向量组
线性表示，而且表示式是唯一的,
显然有
因向量组 线性无关，有
因向量组 线性相关，有
所以,即有
由,根据第二章 § 1第四目关于线性
证一 记
方程组解的不同情况的讨论及矩阵的秩的求法知道,
设向量组
那么向量
线性方程组 bx ?A ?? ),,,(
21 mxxx ?x
b A
B
121,,,,?mm kkkk ?
0baaa ????? ? 12211 mmm kkkk ?
01 ??mk
0aaa ???? mmkkk ?2211 mkkk,,,21 ?
maa,,1 ? maa,,1 ?
（其中
有唯一解,能由向量组
证二 我们利用与第四章 § 2例 5类似的方法，即直接
线性相关，存在一组
，使得
如果,那么向量等式（ 5.10）变成
,且
不全为零，就得到 线性相关，与
）
并且表示式是唯一的,
利用定义 6来证明,
不全为零的数
（ 5.10）
线性表示,即向量
由于向量组
maa,,1 ? 01 ??mk
m
m
m
mm k
k
k
k
k
k
aaab ??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
??
??? 1
2
1
2
1
1
1 ?
b A
b A
mmlll aaab ???? ?2211 mmhhh aaab ???? ?2211
0aaa ??????? mmm hlhlhl )()()( 222111 ?
maa,,1 ? 0?? ii hl
),2,1( mihl ii ??? b
A
线性相关，与 线性无关矛盾,
从而可得
即向量 能由向量组 线性表示,
有两个关于向量组 的线性组合表示式,
及
两式相减并整理可得
但是 是线性无关的，故得
从而,所以向量 关于向量组
的线性组合表示式是唯一的,
,
设向量
所以
证毕
)2(,,,21 ?mmaaa ?
)2(,,,21 ?mmaaa ?
1?m
maaa,,,21 ?
mkkk,,,21 ? 0aaa ???? mmkkk ?2211
mkkk,,,21 ? 01 ?k
m
m
k
k
k
k
aaa ??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
??
1
2
1
2
1 ?
最后，我们介绍向量组
线性相关的一个充分必要条件,
充分必要条件是
个向量线性表示,
线性相关，那么存在一组不全为零
，使得
因为 不全为零，不妨设,于是有
定理 6 向量组 线性相关的
证 设
的数
该向量组中至少有一个向量能由其余
1a maa,,2 ?
maaa,,,21 ? 1a
1?m
mll,,2 ?
mmll aaa ??? ?221 0aaa ???? mmll ?221)1(
mll,,,1 2 ?? maaa,,,21 ?
?
?
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?
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?
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7
4
2
,
5
2
0
,
1
1
1
321
aaa
即 能由其余向量 线性表示,
中有一个向量（不妨设
能由其余 个向量线性表示，即有一组数
使得
,从而有
显然 不全为零,
例 9
反之，设 ）
所以 线性
相关,证毕
已知向量
321 a,a,a 21 a,a
3a 21 a,a
3a 21 a,a
)( 321 a,a,a
)( 321 a,a,a
21 a,a
?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
000
110
201
550
220
201
751
421
201
)( ~~
2
5
321
2
23
12
13
r
rr
rr
rr
a,a,a
32)( 321 ??a,a,aR 321 a,a,a
(1)讨论向量组 及向量组
(2)向量 能否由向量组
那么求向量 关于向量组
解 （ 1）对矩阵
变成行阶梯形矩阵,
及（ ）的秩,
，向量组 线性相关；
的线性相关性；
线性表示？如果能够,
的线性组合表示式,
施行初等行变换使它
可知
就可以同时看出矩阵
再利用定理 2就可以得出结论,
2)21 ?a,(aR 21 a,a
3a 21
a,a
213 2 aaa ??
，向量组 线性无关,
能由向量组
表示，它的表示式唯一,
系数即为上述最后一个矩阵的第 3列的前两个
（ 2）由定理 5，向量
,其中
元素,
线性
组合
