§ 2 相似矩阵与矩阵的对角化
一、矩阵相似的概念与性质
二、矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念与性质
定义 6.2 设 A, B 都是 n 阶矩阵．如果存在 n 阶可
逆矩阵 C,使 BACC ?? 1,那么称矩阵 A 与矩阵 B 相似,
可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵,
相似是矩阵之间的一种关系，容易验证矩阵的相似
关系是一种等价关系,
相似矩阵还具有下列性质,
性质１ 相似矩阵的行列式相等,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
两边同时取行列式，得
AAIACCACCCACACCB ?????? ???? |||||||||||||| 1111
证毕,
性质２ 如果两个可逆的矩阵相似，那么它们
的逆矩阵也相似,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
由此可得,1 ACCB ??
所以 11 ?? BA 与 相似且相似变换阵仍为,C 证毕,
性质３ 设 BA与 相似，那么 kBkA与 相似,mm BA 与
相似（其中 k 为任意数,m 为任意的正整数）,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
故得 ? ?,1 CkACkB ??
及 ? ? ? ?? ? ? ?,11111 CACACCACCACCACCB mmm ????? ??? ?
因此 kBkA与 相似, mm BA 与 相似, 证毕
性质 4 设 BA与 相似,? ?xf 为一多项式，则
? ? ? ?BfAf 与 相似,
证 设 ? ?,
10 mm xaxaaxf ???? ?
因 BA与 相似，那么存在可逆矩阵 C,使
.1 ACCB ??
因此 ? ? mm BaBaIaBf ???? ?10
? ? ? ?mm ACCaACCaIa 1110 ?? ???? ?
? ? ? ? ? ?CAaCCAaCCIaC mm11101 ??? ???? ?
? ?CAaAaIaC mm???? ? ?101
即 ? ? ? ?BfAf 与 相似, 证毕,
性质 5 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具
有相同的特征值,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
故 ACCIBI 1???? ??
? ?CAIC ?? ? ?1
CAIC ?? ? ?1
AI ?? ? 证毕,
注意：此性质的逆命题不成立，即具有相同特征
多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似,
例如,
13
01
???
?
???
??A
???
?
???
??
10
01B,它们的特征多项式相同，但不
存在可逆阵 C,使,1 BACC ??
二、矩阵的相似对角化
如果一个矩阵与对角矩阵相似，那么该矩阵称为可
对角化矩阵．本节讨论矩阵的对角化问题．首先得出矩
阵可对角化的充分必要条件；然后介绍当矩阵 A可对角
ACC 1?化时，如何求相似变换矩阵 为对角矩阵,
定理 6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是
矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,
证 设 n A阶矩阵 与对角矩阵
?
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??
n?
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2
1
相似,
那么存在可逆矩阵,C
C,使
使,
1
1
??
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n
ACC
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于是 ?? CAC,将阵 C 按列分块成 ? ?
nC xxx,,,21 ??
，便有
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1
2121
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n
nn
A
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?? xxxxxx
故 ? ? ? ?,,,,,,,221121 nnnAAA xxxxxx ??? ?? ?
于是 iiiA xx ?? ? ?.,2,1 ni ??
因为矩阵 C 可逆,故 ? ?nii ?,2,1?? 0x 且向量组 nxxx 21,,,?
线性无关，又由
iiiA xx ??
知,n???,,,21 ? 为 n
A
A
nnxxx 21,,,?
阶矩阵 的特
征值,分别为对应的特征向量．所以 有 个线
性无关的特征向量,
反之，设 nxxx 21,,,? 为 A 的线性无关的特征向量，其
对应特征值分别为
n???,,,21 ?
（可能有相同的），即有
iiiA xx ?? ? ?.,2,1 ni ??
构作矩阵 ? ?
n21 xxx,,,??C
? ?n21 xxx,,,?AAC ?
),,,( 2211 nAAA xxx ??
? ?nn xxx ???,,,2211 ??
? ?
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n?
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??
1
,,,n21 xxx
.
1
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n
C
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因为 nxxx 21,,,? 线性无关，故 C 可逆且
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??
n
ACC
?
?
?
1
1 证毕,
这里需要注意
n???,,,21 ?
的顺序与 nxxx 21,,,? 的顺序的
对应关系．由此定理可得下列重要的推论,
推论 如果 nn
A
A阶矩阵 有 个互不相同的特征值,
那么 一定可对角化；反之不一定成立,
例 4 设
?
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?
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??
???
142
252
001
A
（ 1）证明 A
A
可对角化；
（ 2）求相似变换阵 C,使 ACC 1? 为对角矩阵；
（ 3）求,kA
解 （ 1） 因 的特征多项式为
? ? ? ?,31
142
252
001
2
???
??
?
?
?? ??
?
?
?
? AI
A故 的特征值为,3,1 321 ??? ???
对于 121 ?? ??,对应的齐次线性方程组为
?
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0
0
0
242
242
000
3
2
1
x
x
x
它的基础解系,
0
1
2
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?1ξ
?
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1
0
1
2ξ 是 A 的属于 121 ?? ??
的线性无关的特征向量,
对于 33 ??,对应的齐次线性方程组为
,
0
0
0
442
222
002
3
2
1
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x
x
x
它的基础解系
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1
1
0
3ξ 是 A 3
3 ??的属于 的特征向量,
又由定理 6.1知，属于不同特征值的特征向量线性
无关，故 321 ξ,ξ,ξ 线性无关．因此 A 可对角化,
（ 2）设 ? ?
?
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??
110
101
012
,,321 ξξξC
那么
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??
3
1
1
1 ACC 为对角矩阵,
（ 3）由（ 2）可得 1
3
1
1
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? CCA
于是 1
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? CCA
k
k
1
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? CC
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?????
??????
kkk
kkk
3232231
3132131
001
例 5 判断下列矩阵可否对角化,
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312
130
112
A
解 A 的特征多项式为
? ? ? ?,42
312
130
112
2
???
???
?
??
?? ??
?
?
?
? AI
A 的特征值为,4,2 321 ??? ???
对于 221 ?? ??,对应的齐次线性方程组为
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0
0
0
112
110
110
3
2
1
x
x
x
它的基础解系
?
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??
?
1
1
1
1ξ 是 A 的属于 221 ?? ?? 的特征向量,
对于 43 ??,对应的齐次线性方程组为
,
0
0
0
112
110
112
3
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x
x
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??
1
1
1
2ξ 是 A 的属于 4
3 ?? 的特征向量,
因此,3阶矩阵
A
A 只有两个线性无关的特征向量,
故 不能对角化,
一、矩阵相似的概念与性质
二、矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念与性质
定义 6.2 设 A, B 都是 n 阶矩阵．如果存在 n 阶可
逆矩阵 C,使 BACC ?? 1,那么称矩阵 A 与矩阵 B 相似,
可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵,
相似是矩阵之间的一种关系，容易验证矩阵的相似
关系是一种等价关系,
相似矩阵还具有下列性质,
性质１ 相似矩阵的行列式相等,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
两边同时取行列式，得
AAIACCACCCACACCB ?????? ???? |||||||||||||| 1111
证毕,
性质２ 如果两个可逆的矩阵相似，那么它们
的逆矩阵也相似,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
由此可得,1 ACCB ??
所以 11 ?? BA 与 相似且相似变换阵仍为,C 证毕,
性质３ 设 BA与 相似，那么 kBkA与 相似,mm BA 与
相似（其中 k 为任意数,m 为任意的正整数）,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
故得 ? ?,1 CkACkB ??
及 ? ? ? ?? ? ? ?,11111 CACACCACCACCACCB mmm ????? ??? ?
因此 kBkA与 相似, mm BA 与 相似, 证毕
性质 4 设 BA与 相似,? ?xf 为一多项式，则
? ? ? ?BfAf 与 相似,
证 设 ? ?,
10 mm xaxaaxf ???? ?
因 BA与 相似，那么存在可逆矩阵 C,使
.1 ACCB ??
因此 ? ? mm BaBaIaBf ???? ?10
? ? ? ?mm ACCaACCaIa 1110 ?? ???? ?
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? ?CAaAaIaC mm???? ? ?101
即 ? ? ? ?BfAf 与 相似, 证毕,
性质 5 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具
有相同的特征值,
证 设 BA与 相似，那么存在可逆阵 C,使
.1 ACCB ??
故 ACCIBI 1???? ??
? ?CAIC ?? ? ?1
CAIC ?? ? ?1
AI ?? ? 证毕,
注意：此性质的逆命题不成立，即具有相同特征
多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似,
例如,
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01
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??A
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存在可逆阵 C,使,1 BACC ??
二、矩阵的相似对角化
如果一个矩阵与对角矩阵相似，那么该矩阵称为可
对角化矩阵．本节讨论矩阵的对角化问题．首先得出矩
阵可对角化的充分必要条件；然后介绍当矩阵 A可对角
ACC 1?化时，如何求相似变换矩阵 为对角矩阵,
定理 6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是
矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,
证 设 n A阶矩阵 与对角矩阵
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反之，设 nxxx 21,,,? 为 A 的线性无关的特征向量，其
对应特征值分别为
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（可能有相同的），即有
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1
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对应关系．由此定理可得下列重要的推论,
推论 如果 nn
A
A阶矩阵 有 个互不相同的特征值,
那么 一定可对角化；反之不一定成立,
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001
A
（ 1）证明 A
A
可对角化；
（ 2）求相似变换阵 C,使 ACC 1? 为对角矩阵；
（ 3）求,kA
解 （ 1） 因 的特征多项式为
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3 ??的属于 的特征向量,
又由定理 6.1知，属于不同特征值的特征向量线性
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（ 2）设 ? ?
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例 5 判断下列矩阵可否对角化,
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A
解 A 的特征多项式为
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2
???
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对于 221 ?? ??,对应的齐次线性方程组为
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故 不能对角化,
