一、向量组的秩与极大无关组
§ 3 向量组的秩
二、向量组极大无关组的性质
三、向量空间的基、维数与向量的坐标
四、过渡矩阵与坐标变换
21 a,a
321 a,a,a 32 a,a
13 a,a
321 a,a,a
一、向量组的秩与极大无关组
线性无关，但是向
却线性相关．类似地，部分向量组
及 也具有这样的性质：它们本身是线性无关的,
的部分向量组，所包含的向量个数最多；并且这 3个部分
§ 3 向量组的秩
在 § 2例 8中，部分向量组
量组
但是如果添加一个向量进去，它们就变成线性相关的了,
可见它们在 向量组 中作为一个线性无关
向量组所含的向量个数相等．一 般地，我们有
rARA m ?? )(),,,,( 21 aaa ? 1A
A m,,a,aa ?21 s
1A
A
1?s rs ?
1A
1A s
rs ? A 1?s
引理 设矩阵,向量组
是向量组, 的部分组且包含
向量．如果向量组 线性无关，且向量组 的任意
个向量线性相关，那么
证 因向量组 线性无关，故由定理２知，由
为列构成的矩阵中有一个 阶子式不为零,
．又因向量组 的任意 个向量
个
量组
向
从而
A 1?s
sr ? rs ?
A r
rA a,a,a ?210,
0A
A 1?r
线性相关，故也由定理２知，矩阵 中任意
子式都为零，从而,所以,
定义 7 设向量组 的一个包含 个向量的部分组
（ 1）向量组
（ 2）向量组 中任意 个向量
阶
证毕
下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念,
，满足
线性无关；
A 1?r
0A
A
r
A
（如果 中有
那么向量组 称为向量组
（简称极大无关组）；极大无关组所含向量个数
向量组
，规定它的秩
个向量的话） 组成的向量组都线性相关,
的一个极大线性无关向量组
称为
只含零向量的向量组没有极大无关组
的秩,
21 a,a 32 a,a
在 § ２例 8中，部分组 ； 及 13 a,a
321 a,a,a
都是
的极大无关 组,
为 0,
向量组 这说明向量组的极大
321 a,a,a
nR n n n
nR
1?n n
n
无关组一般不是唯一的；
的秩,
的秩为 任意 个线性无关的
维向量都是
事实上，因为任意 个
线性相关,个线
这 3个极大无关组含有的
这就是 向量组
又如,
的一个极大 无关组,
维向量一定
n
nR
性无关的 维向量都是
的一个极 大无关组,特别地,n 维单位坐标 向量组
线性无关的向量的个数都是 2,
但是
所以任意
nR A
A A
rARA m ?? )(),,( 21 a,a,a ?
是
矩
阵 的列向量组的秩称为
的列秩，它的行向量组的秩称为
定理 7 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩,
，并设某一
的一个极大无关组,
的行秩,利用 § 2定
理 2及矩阵的秩的定义，我们可以建立矩阵的秩,列秩及
行秩之间的如下联系,
证 设
r 0?rD 0?rD rD r
r r
A 1?r
A 1?r
rD r A
A r
)()( ARAR ?? ?A A
?A A
阶子式
由,知 所在的
列构成的矩阵的秩为 定理 2知这
线性无关；又由 中所有 阶子式均为零，也由
中任意
因此 所在的 列是
一个极大无关组，所以 的列秩等于
且 的列向量组就是 的行向量组，即
的列秩就是 的行秩．所以，由上面已经证明的
，由
个列向量
的列向量组的
,由于
个列向量
定理 2知 都线性相关,
rD
A rD r A
A
ma,,a ?1 (R ma,,a ?1 )
指出，定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理而
是矩阵
的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是
结果，就可以知道矩阵
以后，向量组 的秩也记作
应该
简化，但是从现在的证明中可以知道：如果
的列 的秩也等于它的行秩,
证毕
定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理 指出,
而简 化，但是从现在的证明中可以知 道：如果
rD
是矩
A
rD r
A rD r A
阵 的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是
的列向量组的一个极大无关组； 所在的 行就是
即用矩阵
的行向量组的一个极大无关组．这为我们提供了一种通过
矩阵的最高阶非零子式来求其列向量组的极大无关组的
方法,下面我们介绍求向量组的极大无关组的另一种方法,
初等变换来求向量组极大无关组的方法．为此,
我们需要如下的简 单的定理,
定理 8 矩阵的初等行变换 不改变（部分或全部）
A
B A k
kA kA
证 设 为一个矩阵，它经过有限次初等行变换
．任取 的 列构成矩阵,此时
变
列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变 （部分
或全部）行向量之间的线性关系,
变成矩阵
kB kB
B kA
kA k
B
成矩阵,显然 的列向量就是 中与
列向量位置对应的列向量．由 § 2知道 与
列向量之
的各
的各
间的线性关系分别由齐次线性方 程组 0?xA
k
0?xBk
?? ),,(
1 kxxx ?
kA
kB
?A
A
A ?A
与 决定，其中
知道，这两个齐次线性方程组同解．所以
与 的列向量之间有相同的线性关系,
就是 的行向量，所以定理的两部分结论是等价的,
的转置矩阵
可以得到另一部分的结论,
．但是,由第二
章 的列向
由于 的列向 量
对矩阵 使用定理的前半部分,就
证毕
A
?
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?
9
4
4
2
,
7
2
1
1
,
9
2
2
1
,
6
6
1
1
,
3
4
1
2
54321
aaaaa
A
A
A
向量组的秩与极大无关组的具体做法,
,
（ 1）求向量组 的一个极大无关组，并由此得到
的秩；
定理 8及其证明过程为我们提供了利用矩阵初等变换 求
例 10 设向量组
下面我们举例说明,
向量组
（ 2）把向量组 中不属于所求得的极大无关组
的向量用该极大无关组线性表示,
)54321 a,a,a,a,(a?A
B
B
A
解 （ 1）对矩阵
行变换使它变成行阶梯形矩阵,就可以看出矩阵
的列向量之间的线性关系．根据定理 8，这就是矩阵
列向量之间的线性关系,
施行初等
BA ?
?
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?
??
?
??
?
00000
31000
01110
41211
97963
42264
41211
21112
~
初等行变换
B
421 a,a,a
3)()( ?? BRAR A
421 a,a,a A
3)54321 ?a,a,a,a,(aR
53 a,a 421
a,a,a
B C
由矩阵 有 3个非零行且非零行的第一个非零元素分别
且有
．由定理 7，向量组
线性相关．所以，向量组 是向量组
极大无关组，从而
（ 2）为了要把 用 线性表示，继续
施行初等行变换，使它变成行最简形矩阵,
在 1,2,4列，我们知道向量组 线性无关,
中任意 4个向量
的一个
对矩阵
CB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
31000
30110
40101
~
初等行变换
C
A
213 aaa ???
43a3a4aa 215 ???
由矩阵
得到矩阵 的列向量之间的如下线性关系,
,
,
,
的列向量之间的线性关系，利用定理 8可以
A
rA aaa,,,,210 ?
0A A A
A
1,?ra raaa,,,1 ?
raa,,1 ?
a raa,,1 ? A
0A
A 0A
由向量组的极大无关组的定义容易证明,
与它的极大无关组 是等价的,
作为向量组 的一个部分组，总能由向量组
线性表示；
任意向量 个向量组成的向量组
线性相关,线性无关，根据定理 5知
能由向量组 线性表示,能由向量
线性表示,与它的极大无关组 等价,
二、向量组极大无关组的性质
向量组
而由定义 7条件（ 2）可以知道，对于 中的
组
向量组
这是因为
而向量组
即向量组
所以向量组
raaa,,,21 ? sbbb,,,21 ?
sr? raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ?
sr ?
根据向量组等价关系的性质，一个向量组的任意两个极大
能由向量组
如果,那么向量组
等价地，如果向量组 线性无关，那么
,
无关组都是等价的,
为了讨论两个向量组的秩之间的关系，我们先证明
如下重要定理,
定理 9 设向量组
线性相关； 或者
证 只需要证明定理的前半部分的结论,
),,,,( 21 raaaA ??
),,( 21 sbb,bB ??
记
,
,
raaa,,,21 ? sbbb,,,21 ?
rs? K
BKA ? 0x ?K
0x ?A ?? ),,,( 21 rxxxx ? BKA ?
sr ?
raaa,,,21 ?
因向量组 能由向量组
所以根据 § 2第一目的讨论，存在 矩阵,使得
．考虑齐次线性方程组
及
（ 5.12）,由于
故方程组（ 5.11）的解都是方程组（ 5.12）的解．但是
即在齐次线性方程组（ 5.11）中方程的个数小于所含
线性相关,
线性表示,
（ 5.11）
其中
未知量的个数,
从而方程组（ 5.12）有非零解,
证毕
由第二章定理 1，方程组（ 5.11）有非零
由定理 2知向量组 解,
A
1r
B 2r
A B 21 rr ?
0A
A
1r 0B B
2r
0A 0B 0A
21 rr ?
推论 1 的秩为,向量组 的秩为
如果向量组 能由向量组 线性表示，那么
证 只需证明推论的前半部分
,
是向量组 的一个极大无关组，它恰含
个向量； 是向量组 的一个极大无关组,
个向量,
能由向量组 线性表示,
关，所以由定理 9有,
,；
从而，等价的向量组一定有相同的秩,
设向量组
它恰含
故向量组 线性无
证毕
设向量组
设向量组
由于向量组与它的极大无关组是等价的,
又向量组
B A B
A B
B A
B r r
A B A r?
A 1?r B
A
推论 2 （ 极大无关组的等价定义）
是向量组 的部分向量组,
线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示,
是向量组 的一个极大无关组,
含 个向量，那么它的秩为
向量组 能由向量组 线性表示，故向量组 的秩
从而向量组 中任意 个向量线性相关,
是向量组 的一个极大无关组,
设向量组
组
证 设向量组,因为
,
证毕
如果向量组
那么向量
所以向量组
nssmnm BAC ??? ?
)()(),()( BRCRARCR ??
C A
)(),( 2121 sn AC a,,a,ac,,c,c ?? ??
Bsn )()( 2121 a,,a,ac,,c,c ?? ?
C A
C A?
)()( ARCR ?
??? ? ABC
)()()()( BRBRCRCR ??? ??
例 11 设,那么
证 设矩阵 及 用它们的列向量表示为
由
知矩阵 的列向量组能由矩阵
表示，由推论 1知 的列秩 的列秩,
,
,由上面已证得的结果，即得
证毕
的列向量组线性
就得到
因
再利用定理 7,
三、向量空间的基、维数与向量的坐标
由 § 2例 4及例 5我们知道，在 n 维向量空间 nR 中,
n 维单位坐标向量组 nE eee,,,,21 ? 线性无关，并且 nR 的任意
向量能由向量组 E 线性表示．一般地，我们有
定义 8 设 V 为向量空间．如果 V 的向量组 raaa,,,21 ? 满足
（ 1） raaa,,,21 ? 线性无关；
（ 2） V 中任一向量都能由 raaa,,,21 ? 线性表示,
那么向量组 raaa,,,21 ? 称为向量空间
VV
V 的一个基,r 称为向量
空间 的维数，记作 Vr dim?,并称 为 r 维向量空间,
规定只含零向量的向量空间的维数为 0，显然这样的
向量空间没有基,
如果把向量空间
V
V
V
V
V V
看作向量组，那么根据定理 9推论 2
可知,的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量
组的秩,
如果 是 r
r
维向量空间，根据极大无关组的性质可知,
的任何 个线性无关的向量都是 的一个基．例如 n
n
n
维单
位坐标向量组 ne,,e,e ?21 就是
nR
nR
nR 的一个基，一般地，任何
个线性无关的
n
维向量组成的向量组都是 的基，由此可
知 nR n ?d im,这是我们称 为 维向量空间的原因,
设 raaa,,,21 ? 是向量组 V
V
的一个基，根据定义 8及 § 2定
理 5可知,的任一向量 a 能由 raaa,,,21 ? 线性表示，并且表
示式唯一，即有
rrxxx aaaa ???? ?2211
那么上式称为 a 在基
raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ?
a
下的坐标表示式,
?),,,( 21 rxxx ? 称为 在基 下的坐标．此时
V
V 可以表示为
? ?RLV rrrr ??????? ??????,,,|)( 21221121 ??? aaaxa,,a,a
这就可以清楚地给出向量空间 的构造,
现在考虑向量组 mA aaa,,,,21 ? 所生成的向量空间
),,,( 21 mL aaa ? 的基与维数,),,,( 21 mL aaa ? 与向量组
A 等价，所以向量组 A 的一个极大无关组就是 ),,,( 21 mL aaa ?
的一个基，向量组 A 的秩就是 V 的维数,
raaa,,,21 ? 与 s21 b,b,b,?,那么 )(),,,( 21 s21 b,,b,baaa ?? LL m ?的充分必
要条件是这两个向量组是等价的向量组,
显然向量空间
设有两个向量组
设向量 ;
2
2
1
2
1
2
1
2
2
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? 321 a,a,a
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2
3
4
4
0
1
21 b,b
（ 1）验证向量组 321 a,a,a 是 3R 一个基；
（ 2）求向量 21 b,b 在基 321 a,a,a 下的坐标,
解 （ 1）记
?
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24
30
41
,
221
212
122
BA
对矩阵 ? ?BA? 施行初等行变换．如果 A 能变成 E,那么
321 a,a,a 线性无关，从而 321 a,a,a 是 3R 的一个基,
例 12
? ??BA?
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??
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??
?
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??
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?
55330
32030
31111
24221
30212
41122
~
)(
2
3213
1
13
12
rrr
rr
rr
?
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??
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3
2
3
2
3
4
3
2
3
)3(
1100
1010
001
23300
32030
31111
~~
3
2
21
31
23 r
r
rr
rr
rr
因有 EA~,故 321 a,a,a 是 3R 一个基,
(2) 根据 § 2第一目中向量关于某一向量组的线性
组合的求法，我们知道上述最后一个矩阵的最后两列分
别是向量 21 b,b 321 a,a,a在基 下的坐标．即有
3212
3211
aaab
aaab
3
2
3
4
3
2
3
2
???
???
例 13 已知向量,
5
3
4
4
,
9
5
6
5;
1
1
2
3
,
3
1
0
2
2121
?
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?
? bbaa
(1) 证明 ;(( 2121 )b,b)a,a LL ?
(2) 求 )b,ba,a 2121,(L 的一个基及维数,
解 （ 1） )b,b)a,a 2121 (( LL ? 的充分必要条件是向量组 21 a,a
与向量组 21 b,b 等价．我们利用两种方法证明两个向量组等价,
证一 分别对矩阵 ??
?
?
???
?
?
?
2
1
a
a 及
???
?
???
?
?
?
2
1
b
b 施行初等行变换，使它
们变成行最简形矩阵,
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
??
?
???
?
???
?
??
??
???
?
???
? ???
?
?
?
4
11
4
5
2
3
2
1)2(
2
11
2
5
2
3
2
12
32
1
10
01
20
01
1123
3102 ~~ 21
12
rr
rra
a
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
??
??
???
?
???
?
??
???
???
?
???
? ??
?
?
?
?
11540
4221
5344
4221
5344
9565 ~~ )1(
42
1 1
12
21 r
rr
rr
b
b
???
?
???
?
?
??
? 41145
2
3
2
14
2 10
01~2
2
r
rr
因矩阵 ??
?
?
???
?
?
?
2
1
a
a 及
???
?
???
?
?
?
2
1
b
b 有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过
有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的
行向量组等价，所以向量组 ?? 21 a,a 与向量组 ?? 21 b,b 等价,
量组 21 a,a 与向量组 21 b,b 等价,
即向
证二 对矩阵 ),( 2121 b,ba,a 施行初等行变换，使它变成
行阶梯形矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
0000
2310
3511
~),( 2121 b,ba,a
知 2),( 2121 ?b,ba,aR,又向量组 21 a,a 21 b,b线性无关，向量组
也线性无关，因此向量组
21 a,a
21 a,a
21 b,b
21 b,b与向量组 都是向量组
2121,b,ba,a 的极大无关组,与向量组 等价,
所以,)b,b)a,a 2121 (( LL ?
（ 2）由（ 1）可知，向量组 21 a,a 21 b,b或者向量组 都是向
量空间 ),( 2121 b,ba,aL 的一个基,.2),(d im 2121 ?b,ba,aL
从而向量组
所以
四、过渡矩阵与坐标变换
先看一个简单的例子,3R 中，向量 ?? )3,2,1(a 在基
321,,eee 下的坐标为,)3,2,1( ? 而在基 ??? )1,0,0(,)0,1,0(,)0,1,1( 下有不同
的坐标 ?)3,1,1(,由这个例子可知,在向量空间中，同一向量
在不同基下有不同的坐标．那么不同的基与不同的坐标
之间有怎样的关系呢？
设 n21 a,,a,a ? 及 n21 b,,b,b ? 是向量空间 nR 的两个基，并且
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
aaab
aaab
aaab
?
???????
?
?
2211
22221122
12211111
,（ 5.13）
在
由这两个基 ;n21 a,,a,a ? n21 b,,b,b ? 分别构作分块矩阵
)a,,a,(a n21 ? 及 )b,,b,(b n21 ?,利用分块矩阵的乘法,(5.13)式可
表示为
?)b,,b,(b n21 ? P)a,,a,(a n21 ?, （ 5.14）
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
n
pp
pp
P
?
?
?
1
111
（ 5.13）或（ 5.14）称为基变换公式，矩阵 P 称为由
基 n21 a,,a,a ?
n21 b,,b,b ?到基 的过渡矩阵．由于 n21 b,,b,b ? 线性无关
，故过渡矩阵 P 可逆,
下面我们讨论同一向量在不同基下的坐标之间的关系,
定理 10 nR 中的向量 a,在基 n21 a,,a,a ? 下的坐标为
Tnxxx ),,,( 21 ?,在基 n21 b,,b,b ? 下的坐标为 ),,,( //2/1 nxxx ?,且由基
n21 a,,a,a ? n21 b,,b,b ?到基 的过渡矩阵为 P,则有如下坐标变
换公式
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nn
x
x
x
P
x
x
x
?? 或
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nn
x
x
x
P
x
x
x
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2
1
1
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2
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1
,（ 5.15）
证 因为
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)(
nnn
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
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n21n21n21
a,,a,a)b,,b,(baa,,a,a
设
n21 a,,a,a ?
3R ? ?121 ??1a ? ?111 ??2a
? ?121??3a ? ?012?1b ? ?210?2b
? ?112??3b
P)()( 2 31321 a,a,ab,b,b ?
)b,b,(b)a,a,(a 3211311 ??P )( 321321 b,b,ba,a,a ?
又由于
这个定理的逆命题也成立．即如果任一向量在不同基
中由基,,
到基
,,
的过渡矩阵和基变换公式,
，所以过渡矩阵
．构作矩阵
并对它施行初等行变换，使左边的子块变成单位矩阵,
线性无关,故坐标变换公式（ 5.15）成立,
证毕
下的坐标满足公式（ 5.15）,
式（ 5.14）,
例 14 求
解 因为
那么这两个基满足基变换公
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8
7
10100
2
1
11010
8
5
01001
120111
111212
202111
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初等行变换
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8
7
10
2
1
11
8
5
01
P
P),,),,321321 aa(abb(b ?
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????
??
??
3213
322
211
a
8
7
a
2
1
a
8
5
b
aab
aab
所以,
于是基变换公式为
即
例 15 3R 中两个基,321321 b,b,ba,a,a 及 a 是 3R 的向量,
已知
332211 aaaa xxx ???
及,
3/32/21/1 bbba xxx ???
且
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??
???
3
/
3
32
/
2
321
/
1
xx
xxx
xxxx
．求相应的过渡矩阵与基变换公式,
解 因为
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3
2
1
/
3
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2
/
1
100
110
111
x
x
x
x
x
x
所以
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100
110
111
1
P
设
故由基,321321 b,b,ba,a,a 到基 的过渡矩阵 P 为
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?? ??
100
110
011
)( 11PP
从而得基变换公式为
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??
???
?
323
212
11
aab
aab
ab
例 16 设 4R 中向量 a 在基 4321 a,a,a,a 下的坐标表示式为
4321 a3a2aaa ???? 且
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???
????
4
/
4
43
/
3
432
/
2
4321
/
1
aa
a2aa
a3a2aa
a7a5a3aa
求 a 在基 /4/3/2/1 a,a,a,a 下的坐标,
解 易知向量组
/4/3/2/1 a,a,a,a
/4/3/2/1 a,a,a,a 线性无关，故它也是 4R
的一个基,4321 a,a,a,a 到基 的过渡矩
阵为
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1237
0125
0013
0001
P
所以
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12738
01211
0013
0001
1
P
由题意知由基
设 /4/4/3/3/2/2/1/1 aaaaa xxxx ????,那么由坐标变换公式可得
.
59
18
5
1
1
3
2
1
12738
01211
0013
0001
4
3
2
1
1
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4
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3
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2
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1
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x
x
x
x
P
x
x
x
x
§ 3 向量组的秩
二、向量组极大无关组的性质
三、向量空间的基、维数与向量的坐标
四、过渡矩阵与坐标变换
21 a,a
321 a,a,a 32 a,a
13 a,a
321 a,a,a
一、向量组的秩与极大无关组
线性无关，但是向
却线性相关．类似地，部分向量组
及 也具有这样的性质：它们本身是线性无关的,
的部分向量组，所包含的向量个数最多；并且这 3个部分
§ 3 向量组的秩
在 § 2例 8中，部分向量组
量组
但是如果添加一个向量进去，它们就变成线性相关的了,
可见它们在 向量组 中作为一个线性无关
向量组所含的向量个数相等．一 般地，我们有
rARA m ?? )(),,,,( 21 aaa ? 1A
A m,,a,aa ?21 s
1A
A
1?s rs ?
1A
1A s
rs ? A 1?s
引理 设矩阵,向量组
是向量组, 的部分组且包含
向量．如果向量组 线性无关，且向量组 的任意
个向量线性相关，那么
证 因向量组 线性无关，故由定理２知，由
为列构成的矩阵中有一个 阶子式不为零,
．又因向量组 的任意 个向量
个
量组
向
从而
A 1?s
sr ? rs ?
A r
rA a,a,a ?210,
0A
A 1?r
线性相关，故也由定理２知，矩阵 中任意
子式都为零，从而,所以,
定义 7 设向量组 的一个包含 个向量的部分组
（ 1）向量组
（ 2）向量组 中任意 个向量
阶
证毕
下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念,
，满足
线性无关；
A 1?r
0A
A
r
A
（如果 中有
那么向量组 称为向量组
（简称极大无关组）；极大无关组所含向量个数
向量组
，规定它的秩
个向量的话） 组成的向量组都线性相关,
的一个极大线性无关向量组
称为
只含零向量的向量组没有极大无关组
的秩,
21 a,a 32 a,a
在 § ２例 8中，部分组 ； 及 13 a,a
321 a,a,a
都是
的极大无关 组,
为 0,
向量组 这说明向量组的极大
321 a,a,a
nR n n n
nR
1?n n
n
无关组一般不是唯一的；
的秩,
的秩为 任意 个线性无关的
维向量都是
事实上，因为任意 个
线性相关,个线
这 3个极大无关组含有的
这就是 向量组
又如,
的一个极大 无关组,
维向量一定
n
nR
性无关的 维向量都是
的一个极 大无关组,特别地,n 维单位坐标 向量组
线性无关的向量的个数都是 2,
但是
所以任意
nR A
A A
rARA m ?? )(),,( 21 a,a,a ?
是
矩
阵 的列向量组的秩称为
的列秩，它的行向量组的秩称为
定理 7 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩,
，并设某一
的一个极大无关组,
的行秩,利用 § 2定
理 2及矩阵的秩的定义，我们可以建立矩阵的秩,列秩及
行秩之间的如下联系,
证 设
r 0?rD 0?rD rD r
r r
A 1?r
A 1?r
rD r A
A r
)()( ARAR ?? ?A A
?A A
阶子式
由,知 所在的
列构成的矩阵的秩为 定理 2知这
线性无关；又由 中所有 阶子式均为零，也由
中任意
因此 所在的 列是
一个极大无关组，所以 的列秩等于
且 的列向量组就是 的行向量组，即
的列秩就是 的行秩．所以，由上面已经证明的
，由
个列向量
的列向量组的
,由于
个列向量
定理 2知 都线性相关,
rD
A rD r A
A
ma,,a ?1 (R ma,,a ?1 )
指出，定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理而
是矩阵
的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是
结果，就可以知道矩阵
以后，向量组 的秩也记作
应该
简化，但是从现在的证明中可以知道：如果
的列 的秩也等于它的行秩,
证毕
定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理 指出,
而简 化，但是从现在的证明中可以知 道：如果
rD
是矩
A
rD r
A rD r A
阵 的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是
的列向量组的一个极大无关组； 所在的 行就是
即用矩阵
的行向量组的一个极大无关组．这为我们提供了一种通过
矩阵的最高阶非零子式来求其列向量组的极大无关组的
方法,下面我们介绍求向量组的极大无关组的另一种方法,
初等变换来求向量组极大无关组的方法．为此,
我们需要如下的简 单的定理,
定理 8 矩阵的初等行变换 不改变（部分或全部）
A
B A k
kA kA
证 设 为一个矩阵，它经过有限次初等行变换
．任取 的 列构成矩阵,此时
变
列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变 （部分
或全部）行向量之间的线性关系,
变成矩阵
kB kB
B kA
kA k
B
成矩阵,显然 的列向量就是 中与
列向量位置对应的列向量．由 § 2知道 与
列向量之
的各
的各
间的线性关系分别由齐次线性方 程组 0?xA
k
0?xBk
?? ),,(
1 kxxx ?
kA
kB
?A
A
A ?A
与 决定，其中
知道，这两个齐次线性方程组同解．所以
与 的列向量之间有相同的线性关系,
就是 的行向量，所以定理的两部分结论是等价的,
的转置矩阵
可以得到另一部分的结论,
．但是,由第二
章 的列向
由于 的列向 量
对矩阵 使用定理的前半部分,就
证毕
A
?
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9
4
4
2
,
7
2
1
1
,
9
2
2
1
,
6
6
1
1
,
3
4
1
2
54321
aaaaa
A
A
A
向量组的秩与极大无关组的具体做法,
,
（ 1）求向量组 的一个极大无关组，并由此得到
的秩；
定理 8及其证明过程为我们提供了利用矩阵初等变换 求
例 10 设向量组
下面我们举例说明,
向量组
（ 2）把向量组 中不属于所求得的极大无关组
的向量用该极大无关组线性表示,
)54321 a,a,a,a,(a?A
B
B
A
解 （ 1）对矩阵
行变换使它变成行阶梯形矩阵,就可以看出矩阵
的列向量之间的线性关系．根据定理 8，这就是矩阵
列向量之间的线性关系,
施行初等
BA ?
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??
?
??
?
00000
31000
01110
41211
97963
42264
41211
21112
~
初等行变换
B
421 a,a,a
3)()( ?? BRAR A
421 a,a,a A
3)54321 ?a,a,a,a,(aR
53 a,a 421
a,a,a
B C
由矩阵 有 3个非零行且非零行的第一个非零元素分别
且有
．由定理 7，向量组
线性相关．所以，向量组 是向量组
极大无关组，从而
（ 2）为了要把 用 线性表示，继续
施行初等行变换，使它变成行最简形矩阵,
在 1,2,4列，我们知道向量组 线性无关,
中任意 4个向量
的一个
对矩阵
CB ?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
00000
31000
30110
40101
~
初等行变换
C
A
213 aaa ???
43a3a4aa 215 ???
由矩阵
得到矩阵 的列向量之间的如下线性关系,
,
,
,
的列向量之间的线性关系，利用定理 8可以
A
rA aaa,,,,210 ?
0A A A
A
1,?ra raaa,,,1 ?
raa,,1 ?
a raa,,1 ? A
0A
A 0A
由向量组的极大无关组的定义容易证明,
与它的极大无关组 是等价的,
作为向量组 的一个部分组，总能由向量组
线性表示；
任意向量 个向量组成的向量组
线性相关,线性无关，根据定理 5知
能由向量组 线性表示,能由向量
线性表示,与它的极大无关组 等价,
二、向量组极大无关组的性质
向量组
而由定义 7条件（ 2）可以知道，对于 中的
组
向量组
这是因为
而向量组
即向量组
所以向量组
raaa,,,21 ? sbbb,,,21 ?
sr? raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ?
sr ?
根据向量组等价关系的性质，一个向量组的任意两个极大
能由向量组
如果,那么向量组
等价地，如果向量组 线性无关，那么
,
无关组都是等价的,
为了讨论两个向量组的秩之间的关系，我们先证明
如下重要定理,
定理 9 设向量组
线性相关； 或者
证 只需要证明定理的前半部分的结论,
),,,,( 21 raaaA ??
),,( 21 sbb,bB ??
记
,
,
raaa,,,21 ? sbbb,,,21 ?
rs? K
BKA ? 0x ?K
0x ?A ?? ),,,( 21 rxxxx ? BKA ?
sr ?
raaa,,,21 ?
因向量组 能由向量组
所以根据 § 2第一目的讨论，存在 矩阵,使得
．考虑齐次线性方程组
及
（ 5.12）,由于
故方程组（ 5.11）的解都是方程组（ 5.12）的解．但是
即在齐次线性方程组（ 5.11）中方程的个数小于所含
线性相关,
线性表示,
（ 5.11）
其中
未知量的个数,
从而方程组（ 5.12）有非零解,
证毕
由第二章定理 1，方程组（ 5.11）有非零
由定理 2知向量组 解,
A
1r
B 2r
A B 21 rr ?
0A
A
1r 0B B
2r
0A 0B 0A
21 rr ?
推论 1 的秩为,向量组 的秩为
如果向量组 能由向量组 线性表示，那么
证 只需证明推论的前半部分
,
是向量组 的一个极大无关组，它恰含
个向量； 是向量组 的一个极大无关组,
个向量,
能由向量组 线性表示,
关，所以由定理 9有,
,；
从而，等价的向量组一定有相同的秩,
设向量组
它恰含
故向量组 线性无
证毕
设向量组
设向量组
由于向量组与它的极大无关组是等价的,
又向量组
B A B
A B
B A
B r r
A B A r?
A 1?r B
A
推论 2 （ 极大无关组的等价定义）
是向量组 的部分向量组,
线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示,
是向量组 的一个极大无关组,
含 个向量，那么它的秩为
向量组 能由向量组 线性表示，故向量组 的秩
从而向量组 中任意 个向量线性相关,
是向量组 的一个极大无关组,
设向量组
组
证 设向量组,因为
,
证毕
如果向量组
那么向量
所以向量组
nssmnm BAC ??? ?
)()(),()( BRCRARCR ??
C A
)(),( 2121 sn AC a,,a,ac,,c,c ?? ??
Bsn )()( 2121 a,,a,ac,,c,c ?? ?
C A
C A?
)()( ARCR ?
??? ? ABC
)()()()( BRBRCRCR ??? ??
例 11 设,那么
证 设矩阵 及 用它们的列向量表示为
由
知矩阵 的列向量组能由矩阵
表示，由推论 1知 的列秩 的列秩,
,
,由上面已证得的结果，即得
证毕
的列向量组线性
就得到
因
再利用定理 7,
三、向量空间的基、维数与向量的坐标
由 § 2例 4及例 5我们知道，在 n 维向量空间 nR 中,
n 维单位坐标向量组 nE eee,,,,21 ? 线性无关，并且 nR 的任意
向量能由向量组 E 线性表示．一般地，我们有
定义 8 设 V 为向量空间．如果 V 的向量组 raaa,,,21 ? 满足
（ 1） raaa,,,21 ? 线性无关；
（ 2） V 中任一向量都能由 raaa,,,21 ? 线性表示,
那么向量组 raaa,,,21 ? 称为向量空间
VV
V 的一个基,r 称为向量
空间 的维数，记作 Vr dim?,并称 为 r 维向量空间,
规定只含零向量的向量空间的维数为 0，显然这样的
向量空间没有基,
如果把向量空间
V
V
V
V
V V
看作向量组，那么根据定理 9推论 2
可知,的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量
组的秩,
如果 是 r
r
维向量空间，根据极大无关组的性质可知,
的任何 个线性无关的向量都是 的一个基．例如 n
n
n
维单
位坐标向量组 ne,,e,e ?21 就是
nR
nR
nR 的一个基，一般地，任何
个线性无关的
n
维向量组成的向量组都是 的基，由此可
知 nR n ?d im,这是我们称 为 维向量空间的原因,
设 raaa,,,21 ? 是向量组 V
V
的一个基，根据定义 8及 § 2定
理 5可知,的任一向量 a 能由 raaa,,,21 ? 线性表示，并且表
示式唯一，即有
rrxxx aaaa ???? ?2211
那么上式称为 a 在基
raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ?
a
下的坐标表示式,
?),,,( 21 rxxx ? 称为 在基 下的坐标．此时
V
V 可以表示为
? ?RLV rrrr ??????? ??????,,,|)( 21221121 ??? aaaxa,,a,a
这就可以清楚地给出向量空间 的构造,
现在考虑向量组 mA aaa,,,,21 ? 所生成的向量空间
),,,( 21 mL aaa ? 的基与维数,),,,( 21 mL aaa ? 与向量组
A 等价，所以向量组 A 的一个极大无关组就是 ),,,( 21 mL aaa ?
的一个基，向量组 A 的秩就是 V 的维数,
raaa,,,21 ? 与 s21 b,b,b,?,那么 )(),,,( 21 s21 b,,b,baaa ?? LL m ?的充分必
要条件是这两个向量组是等价的向量组,
显然向量空间
设有两个向量组
设向量 ;
2
2
1
2
1
2
1
2
2
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? 321 a,a,a
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2
3
4
4
0
1
21 b,b
（ 1）验证向量组 321 a,a,a 是 3R 一个基；
（ 2）求向量 21 b,b 在基 321 a,a,a 下的坐标,
解 （ 1）记
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24
30
41
,
221
212
122
BA
对矩阵 ? ?BA? 施行初等行变换．如果 A 能变成 E,那么
321 a,a,a 线性无关，从而 321 a,a,a 是 3R 的一个基,
例 12
? ??BA?
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55330
32030
31111
24221
30212
41122
~
)(
2
3213
1
13
12
rrr
rr
rr
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3
2
3
2
3
4
3
2
3
)3(
1100
1010
001
23300
32030
31111
~~
3
2
21
31
23 r
r
rr
rr
rr
因有 EA~,故 321 a,a,a 是 3R 一个基,
(2) 根据 § 2第一目中向量关于某一向量组的线性
组合的求法，我们知道上述最后一个矩阵的最后两列分
别是向量 21 b,b 321 a,a,a在基 下的坐标．即有
3212
3211
aaab
aaab
3
2
3
4
3
2
3
2
???
???
例 13 已知向量,
5
3
4
4
,
9
5
6
5;
1
1
2
3
,
3
1
0
2
2121
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? bbaa
(1) 证明 ;(( 2121 )b,b)a,a LL ?
(2) 求 )b,ba,a 2121,(L 的一个基及维数,
解 （ 1） )b,b)a,a 2121 (( LL ? 的充分必要条件是向量组 21 a,a
与向量组 21 b,b 等价．我们利用两种方法证明两个向量组等价,
证一 分别对矩阵 ??
?
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???
?
?
?
2
1
a
a 及
???
?
???
?
?
?
2
1
b
b 施行初等行变换，使它
们变成行最简形矩阵,
???
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???
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???
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???
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???
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???
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??
???
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? ???
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4
11
4
5
2
3
2
1)2(
2
11
2
5
2
3
2
12
32
1
10
01
20
01
1123
3102 ~~ 21
12
rr
rra
a
???
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???
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???
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???
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??
???
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???
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??
???
???
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???
? ??
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?
11540
4221
5344
4221
5344
9565 ~~ )1(
42
1 1
12
21 r
rr
rr
b
b
???
?
???
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??
? 41145
2
3
2
14
2 10
01~2
2
r
rr
因矩阵 ??
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???
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?
?
2
1
a
a 及
???
?
???
?
?
?
2
1
b
b 有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过
有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的
行向量组等价，所以向量组 ?? 21 a,a 与向量组 ?? 21 b,b 等价,
量组 21 a,a 与向量组 21 b,b 等价,
即向
证二 对矩阵 ),( 2121 b,ba,a 施行初等行变换，使它变成
行阶梯形矩阵,
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??
0000
0000
2310
3511
~),( 2121 b,ba,a
知 2),( 2121 ?b,ba,aR,又向量组 21 a,a 21 b,b线性无关，向量组
也线性无关，因此向量组
21 a,a
21 a,a
21 b,b
21 b,b与向量组 都是向量组
2121,b,ba,a 的极大无关组,与向量组 等价,
所以,)b,b)a,a 2121 (( LL ?
（ 2）由（ 1）可知，向量组 21 a,a 21 b,b或者向量组 都是向
量空间 ),( 2121 b,ba,aL 的一个基,.2),(d im 2121 ?b,ba,aL
从而向量组
所以
四、过渡矩阵与坐标变换
先看一个简单的例子,3R 中，向量 ?? )3,2,1(a 在基
321,,eee 下的坐标为,)3,2,1( ? 而在基 ??? )1,0,0(,)0,1,0(,)0,1,1( 下有不同
的坐标 ?)3,1,1(,由这个例子可知,在向量空间中，同一向量
在不同基下有不同的坐标．那么不同的基与不同的坐标
之间有怎样的关系呢？
设 n21 a,,a,a ? 及 n21 b,,b,b ? 是向量空间 nR 的两个基，并且
?
?
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????
????
????
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
aaab
aaab
aaab
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???????
?
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2211
22221122
12211111
,（ 5.13）
在
由这两个基 ;n21 a,,a,a ? n21 b,,b,b ? 分别构作分块矩阵
)a,,a,(a n21 ? 及 )b,,b,(b n21 ?,利用分块矩阵的乘法,(5.13)式可
表示为
?)b,,b,(b n21 ? P)a,,a,(a n21 ?, （ 5.14）
其中
?
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nnn
n
pp
pp
P
?
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1
111
（ 5.13）或（ 5.14）称为基变换公式，矩阵 P 称为由
基 n21 a,,a,a ?
n21 b,,b,b ?到基 的过渡矩阵．由于 n21 b,,b,b ? 线性无关
，故过渡矩阵 P 可逆,
下面我们讨论同一向量在不同基下的坐标之间的关系,
定理 10 nR 中的向量 a,在基 n21 a,,a,a ? 下的坐标为
Tnxxx ),,,( 21 ?,在基 n21 b,,b,b ? 下的坐标为 ),,,( //2/1 nxxx ?,且由基
n21 a,,a,a ? n21 b,,b,b ?到基 的过渡矩阵为 P,则有如下坐标变
换公式
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2
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1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
?? 或
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nn
x
x
x
P
x
x
x
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2
1
1
/
/
2
/
1
,（ 5.15）
证 因为
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2
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1
2
1
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nnn
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
?
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?
n21n21n21
a,,a,a)b,,b,(baa,,a,a
设
n21 a,,a,a ?
3R ? ?121 ??1a ? ?111 ??2a
? ?121??3a ? ?012?1b ? ?210?2b
? ?112??3b
P)()( 2 31321 a,a,ab,b,b ?
)b,b,(b)a,a,(a 3211311 ??P )( 321321 b,b,ba,a,a ?
又由于
这个定理的逆命题也成立．即如果任一向量在不同基
中由基,,
到基
,,
的过渡矩阵和基变换公式,
，所以过渡矩阵
．构作矩阵
并对它施行初等行变换，使左边的子块变成单位矩阵,
线性无关,故坐标变换公式（ 5.15）成立,
证毕
下的坐标满足公式（ 5.15）,
式（ 5.14）,
例 14 求
解 因为
那么这两个基满足基变换公
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8
7
10100
2
1
11010
8
5
01001
120111
111212
202111
?
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?
初等行变换
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8
7
10
2
1
11
8
5
01
P
P),,),,321321 aa(abb(b ?
?
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????
??
??
3213
322
211
a
8
7
a
2
1
a
8
5
b
aab
aab
所以,
于是基变换公式为
即
例 15 3R 中两个基,321321 b,b,ba,a,a 及 a 是 3R 的向量,
已知
332211 aaaa xxx ???
及,
3/32/21/1 bbba xxx ???
且
?
?
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?
?
?
??
???
3
/
3
32
/
2
321
/
1
xx
xxx
xxxx
．求相应的过渡矩阵与基变换公式,
解 因为
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3
2
1
/
3
/
2
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1
100
110
111
x
x
x
x
x
x
所以
?
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100
110
111
1
P
设
故由基,321321 b,b,ba,a,a 到基 的过渡矩阵 P 为
?
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?? ??
100
110
011
)( 11PP
从而得基变换公式为
?
?
?
?
?
??
???
?
323
212
11
aab
aab
ab
例 16 设 4R 中向量 a 在基 4321 a,a,a,a 下的坐标表示式为
4321 a3a2aaa ???? 且
?
?
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??
???
????
4
/
4
43
/
3
432
/
2
4321
/
1
aa
a2aa
a3a2aa
a7a5a3aa
求 a 在基 /4/3/2/1 a,a,a,a 下的坐标,
解 易知向量组
/4/3/2/1 a,a,a,a
/4/3/2/1 a,a,a,a 线性无关，故它也是 4R
的一个基,4321 a,a,a,a 到基 的过渡矩
阵为
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1237
0125
0013
0001
P
所以
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?
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?
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?
?
?
?
??
?
?
?
?
12738
01211
0013
0001
1
P
由题意知由基
设 /4/4/3/3/2/2/1/1 aaaaa xxxx ????,那么由坐标变换公式可得
.
59
18
5
1
1
3
2
1
12738
01211
0013
0001
4
3
2
1
1
/
4
/
3
/
2
/
1
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x
x
x
x
P
x
x
x
x
