4.1 空间直角坐标系与向量
? 空间直角坐标系
? 向量及其线性运算
? 向量的分解与向量的坐标
一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立
坐标原点,O
横轴,x轴
纵轴,y轴
竖轴,z轴
三条坐标轴相互垂直,
其 正方向符合右手规则 。
y
z
O
x
每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。
x
y
O
z
x
y
O
z
x
y
O
z yoz平面
xoy平面
xoz平面
三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分
称为一个卦限。
o
x
y Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ Ⅶ
z
2、点的坐标
过空间中点 M,
分别作平行于三个坐
标平面的平面，交三
个坐标轴于 P(x,0,0),
Q(0,y,0),R(0,0,z)三点,
称序数组 (x,y,z)为点 M的坐标,记
作 M(x,y,z),
o
x
y
z
· M (x,y,z)
P(x,0,0)
Q(0,y,0)
R(0,0,z)
例如在空间直角坐标系下画出以（ -2,3,2）
及（ 2,2,-1） M1,M2。
o
x
y
z
o
x
y
z
3
-2 2 -
M1
2
2
M2
-1 -
二、向量及其线性运算
1、向量的概念
（ 1） 向量,具有一定大小和方向的量。
（ 2） 向量的表示,以 A为起点,B为终点的有
向线段 a或 。
（ 3） 自由向量, 不考虑起点位置 的向量 。
AB
A
B
a
(4) 相等向量,大小相等，方向相同的向量。
(5) 负向量,大小相等方向相反的向量。
(6) 平行向量,方向相同或相反的向量。
a = b a b
a - a
a b a ∥ b c a ∥ c
（ 7） 向径,以坐标原点 O为起点，终点为 M
的向量。
（ 8） 向量的模,向量的大小（或长度） 。
· 单位向量,模等于 1的向量。
· 零向量 O,模等于零的向量，方向任意。
OM
|a|
o
x
y
z M
2,向量的线性运算
（ 1）向量的加（减）法
· 三角形法则 （ 两向量的和）：设有向量 a与
b，将 b平移使其起点与 a的终点重合,以向量 a的起
点为起点，以 b的终点为终点的向量称为向量 a与 b的
和，记作 c=a+b,
a b
c
· 平行四边形法则：两向量 与 的和 是以
这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量 。
· 向量的减法, a – b = a + (-b)
OA OB
O A
B C
OC
· 多边形法则（ n(n≥3)
个向量的和）,以任何
次序相继作向量，使这
些向量首尾相连，而第
一个向量的起点到最后
一个向量的终点的向量
即为 n个向量的和,
a
b
c
d
（ 2）向量与数量的乘法
实数 λ 与向量 a的乘积是一个向量，记作
.它的模是,当 时，它与 a方向相
同；当,它与 a方向相反；当 时,
,
设 表示与非零向量 a同方向的单位向量,则
,从而 。
a?
aλλa ? 0??
0?? 0??
0a ??
?a
?aaa ?
a
a
a
1
??
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算,
它们满足下列运算规律,
(1) a + b = b + a ;
(2) (a + b) + c = a + (b + c);
(3) a + 0 = a ;
(4) a +(- a) = 0 ;
(5) 1a = a ;
(6) λ (μa) = μ( λ a ) = (λμ)a ;
(7) λ (a + b) = λa + λb ;
(8) (λ +μ)a = λa +μa,
其中 λ,μ是任意实数,a,b,c是任意向量,
定理 1 设向量 a与 b≠0，那么,a平行于 b的
充分必要条件 是存在唯一的实数 λ,使,
证 充分性显然，下面证明必要性,
设 a ∥ b，取
由向量与数的乘积的定义，得,
ba ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,
方向相同;与当,
方向相反与当 ba
b
a
ba
b
a
?
ba ??
如果又有,两式相减，得
便有
因,故,即,
数的唯一性得证,
ba ??
? ?,0b ?? ??
.0|||| ?? b??
0?b ?? ?0?? ??
例 1 数轴 u上的点 P的坐标是 x，向量 e是与 u轴
的正方向相同的单位向量，那么向量
.exOP ?
x > 0 e P
O x u
P x < 0 e
O u
解 首先有
当 x > 0时，矢量 与 e方向相同；
当 x < 0时，矢量 与 e方向相反；
当 x = 0时,
由向量与数的乘积的定义，在三种不同的情况
下都有
OP
.|| ee xxxOP ???
OP
.0e ?? xOP
.exOP ?
例 2 在平行四边形中 ABCD，设
，试用 a, b表示向量 其中
M是平行四边形两条对角线的交点,
ba ?? ADAB,
,MD、MC、MB、MA
A a B
D C
b M
解 由于平行四边形两条对角线互相平分，所以
即
于是,
因为,所以,
又因为,所以,
由于,因此
AMAC 2??? ba ? ? MA2??? ba
? ?ba ???
2
1MA
MAMC ?? ? ?ba ??
2
1MC
MDBD 2???? ba ? ?ab ??
2
1MD
MDMB ?? ? ?
.
2
1 ba ??MB
三、向量的分解与向量的坐标
1、向量
过点 M (x,y,z),分别作平
行于三个坐标平面的平面，交
三个坐标轴于 P,Q,R三点。
设 e1,e2,e3 分别表示沿 x
轴,y轴,z轴正方向的单位向
量,
则
OM
.,,321 zeORyeOQxeOP ???
O
x
y
z
P M?
R
Q
M
由向量加法的多边形法则得到
对于任一向量 a，将 a平移使起点落在原点 O
，终点则是点 M,于是
MMPMOPOM '' ???
OROQOP ???
321 eee zyx ???
OMa ?
向量 a关于单位坐标向量的分解式
向量在 x 轴,y 轴,z 轴上的分向量
向量 a的坐标
起点在原点的向量的坐标就是它的 终点的坐标
321 eeea zyxOM ????
.321 eee zORyOQxOP ???,、
? ?zyx,,?a
2、向量
起点 M1(x1,y1,z1)、终点 M2(x2,y2,z2),
21MM
o
x
y
z M
1
M2 3121111 eee zyxOM ???
3222122 eee zyxOM ???
1221 OMOMMM ??
? ? ? ?312111322212 eeeeee zyxzyx ??????
? ? ? ? ? ? 312212112 eee zzyyxx ??????
向量 关于单位坐标向量的分解式
向量 的坐标
3、向量的线性运算的坐标表示式
设向量
21MM
? ? ? ? ? ? 31221211221 eee zzyyxxMM ??????
21MM
? ?12121221,,zzyyxxMM ????
? ? ? ?222111,,,,,zyxbzyx ??a
则有
定理 1的坐标表示式：当向量 b≠0时，向量
a ∥ b 的 是
即
? ?212121,,zzyyxx ????? ba
? ?212121,,zzyyxx ????? ba
? ?111,,zyx ???? ?a
? ? ? ? ?222111,,,,zyxzyx ??
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
??
例 3 设 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2),为已知两
点，而在 AB上的点 M分有向线段 为两个有向
线段 与,使它们满足,其
中 λ 是不等于 -1的数, 求分点 M的坐标 x,y,z,
AB
AM MB MBAM ??
o
x
y
z A
M
B
解 依题意有
但是
即
? ?111,,zzyyxxAM ????
? ?zzyyxxMB ???? 222,,
MBAM ??
? ? ? ?zzyyxxzzyyxx ??????? 222111,,,,?
所以
由此得点 M的坐标为
当 λ =1时，中点坐标为
? ? ? ? ? ?? ?222111,,,,
1
1
,,zyxzyxzyx ?
?
?
?
?
? ?212121,,
1
1
zzyyxx ???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
212121 zzzyyyxxx,，
2
,
2
,
2
212121 zzzyyyxxx ??????
4、向量在轴上的投影
(1) 有向线段在轴上的值
AB??A B u
B A u AB???
即 λ = AB
(2) 两向量的夹角
· 向量
夹角
· 向量 a = 0 或 b = 0
规定夹角可在 0与 Л 之间任意取值,
类似地，可以规定向量与轴或空间两轴的夹角,
00 ???? bOBaOA
)0(
),(),(
??
?
??
???? abba
O a A
b
B
?
(3) 空间一点在轴上的投影
过 点 A作轴 u的垂直平面，交点 叫做
点 A在轴 u上的投影,
A?
A
A? u
(4) 向量在轴上的投影
作向量 的起点 A与终点 B在轴 u上的投影
向量 在轴上的投影
AB
.,BA ??
A B
u A? B?
AB BAAB ???
uP r j
向量在轴上的投影性质
性质 1（投影定理） 向量 在轴 u上的投影
等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦,即
AB
?
?c o sABAB ?uP r j
?
A
B
u A? B?B
?
性质 2 两个向量 a与 b的和在轴 u上的投影等于
向量 a与 b在该轴上的投影的和，即
性质 3 向量 a与数 λ 的乘积 λa在轴上的投影等
于向量 a在轴 u上的投影的倍，即
? ? bP r jaP r jbaP r j uuu ???
? ? aP r jaP r j uu ?? ?
5、向量的模与方向的坐标表示法
· 方向角, 非零向量与三条坐标轴的夹角
向量
? ???????? ??,、、,0
o
x
y
z
P Q
R
M1 M2
α
β γ
?? c o sc o s21 a?? MMx
?? c o sc o s21 a?? MMy
?? c o sc o s21 a?? MMz
? ?zyxMM,,21 ??a
· 向量 a 的模
· 方向余弦
222 zyx ???a
?
?
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??
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??
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??
?
222
222
222
c os
c os
c os
zyx
z
zyx
y
zyx
x
?
?
?
· 方向余弦的关系
· 与 非零向量 a同方向的单位向量
· 两点 M1与 M2之间的距离公式
1c o sc o sc o s 222 ??? ???
? ?
)c o s,c o s,( c o s
,,
11
????
?? zyx
a
a
a
a
?
? ? ? ? ? ? 2122122122121 || zzyyxxMMMMd ????????
例 4 设已知两点 与,
计算向量 的模、方向余弦与方向角，并求方
向与 一致的单位向量,
解 因
于是
模
方向余弦
? ?2,2,21M ? ?0,3,12M
21MM
21MM
? ? ? ?2,1,120,23,2121 ???????MM
? ? ? ? 24211 22221 ???????MM
2
2
c o s,
2
1
c o s,
2
1
c o s ????? ???
方向角
与 方向一致的单位向量
??????
4
3
3
1
3
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???,，
21MM
21
21 ||
1
MM
MM
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)
2
2
,
2
1
,
2
1
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? 空间直角坐标系
? 向量及其线性运算
? 向量的分解与向量的坐标
一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立
坐标原点,O
横轴,x轴
纵轴,y轴
竖轴,z轴
三条坐标轴相互垂直,
其 正方向符合右手规则 。
y
z
O
x
每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。
x
y
O
z
x
y
O
z
x
y
O
z yoz平面
xoy平面
xoz平面
三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分
称为一个卦限。
o
x
y Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ Ⅶ
z
2、点的坐标
过空间中点 M,
分别作平行于三个坐
标平面的平面，交三
个坐标轴于 P(x,0,0),
Q(0,y,0),R(0,0,z)三点,
称序数组 (x,y,z)为点 M的坐标,记
作 M(x,y,z),
o
x
y
z
· M (x,y,z)
P(x,0,0)
Q(0,y,0)
R(0,0,z)
例如在空间直角坐标系下画出以（ -2,3,2）
及（ 2,2,-1） M1,M2。
o
x
y
z
o
x
y
z
3
-2 2 -
M1
2
2
M2
-1 -
二、向量及其线性运算
1、向量的概念
（ 1） 向量,具有一定大小和方向的量。
（ 2） 向量的表示,以 A为起点,B为终点的有
向线段 a或 。
（ 3） 自由向量, 不考虑起点位置 的向量 。
AB
A
B
a
(4) 相等向量,大小相等，方向相同的向量。
(5) 负向量,大小相等方向相反的向量。
(6) 平行向量,方向相同或相反的向量。
a = b a b
a - a
a b a ∥ b c a ∥ c
（ 7） 向径,以坐标原点 O为起点，终点为 M
的向量。
（ 8） 向量的模,向量的大小（或长度） 。
· 单位向量,模等于 1的向量。
· 零向量 O,模等于零的向量，方向任意。
OM
|a|
o
x
y
z M
2,向量的线性运算
（ 1）向量的加（减）法
· 三角形法则 （ 两向量的和）：设有向量 a与
b，将 b平移使其起点与 a的终点重合,以向量 a的起
点为起点，以 b的终点为终点的向量称为向量 a与 b的
和，记作 c=a+b,
a b
c
· 平行四边形法则：两向量 与 的和 是以
这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量 。
· 向量的减法, a – b = a + (-b)
OA OB
O A
B C
OC
· 多边形法则（ n(n≥3)
个向量的和）,以任何
次序相继作向量，使这
些向量首尾相连，而第
一个向量的起点到最后
一个向量的终点的向量
即为 n个向量的和,
a
b
c
d
（ 2）向量与数量的乘法
实数 λ 与向量 a的乘积是一个向量，记作
.它的模是,当 时，它与 a方向相
同；当,它与 a方向相反；当 时,
,
设 表示与非零向量 a同方向的单位向量,则
,从而 。
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aλλa ? 0??
0?? 0??
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a
a
a
1
??
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算,
它们满足下列运算规律,
(1) a + b = b + a ;
(2) (a + b) + c = a + (b + c);
(3) a + 0 = a ;
(4) a +(- a) = 0 ;
(5) 1a = a ;
(6) λ (μa) = μ( λ a ) = (λμ)a ;
(7) λ (a + b) = λa + λb ;
(8) (λ +μ)a = λa +μa,
其中 λ,μ是任意实数,a,b,c是任意向量,
定理 1 设向量 a与 b≠0，那么,a平行于 b的
充分必要条件 是存在唯一的实数 λ,使,
证 充分性显然，下面证明必要性,
设 a ∥ b，取
由向量与数的乘积的定义，得,
ba ??
?
?
?
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方向相同;与当,
方向相反与当 ba
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如果又有,两式相减，得
便有
因,故,即,
数的唯一性得证,
ba ??
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.0|||| ?? b??
0?b ?? ?0?? ??
例 1 数轴 u上的点 P的坐标是 x，向量 e是与 u轴
的正方向相同的单位向量，那么向量
.exOP ?
x > 0 e P
O x u
P x < 0 e
O u
解 首先有
当 x > 0时，矢量 与 e方向相同；
当 x < 0时，矢量 与 e方向相反；
当 x = 0时,
由向量与数的乘积的定义，在三种不同的情况
下都有
OP
.|| ee xxxOP ???
OP
.0e ?? xOP
.exOP ?
例 2 在平行四边形中 ABCD，设
，试用 a, b表示向量 其中
M是平行四边形两条对角线的交点,
ba ?? ADAB,
,MD、MC、MB、MA
A a B
D C
b M
解 由于平行四边形两条对角线互相平分，所以
即
于是,
因为,所以,
又因为,所以,
由于,因此
AMAC 2??? ba ? ? MA2??? ba
? ?ba ???
2
1MA
MAMC ?? ? ?ba ??
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MDBD 2???? ba ? ?ab ??
2
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.
2
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三、向量的分解与向量的坐标
1、向量
过点 M (x,y,z),分别作平
行于三个坐标平面的平面，交
三个坐标轴于 P,Q,R三点。
设 e1,e2,e3 分别表示沿 x
轴,y轴,z轴正方向的单位向
量,
则
OM
.,,321 zeORyeOQxeOP ???
O
x
y
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P M?
R
Q
M
由向量加法的多边形法则得到
对于任一向量 a，将 a平移使起点落在原点 O
，终点则是点 M,于是
MMPMOPOM '' ???
OROQOP ???
321 eee zyx ???
OMa ?
向量 a关于单位坐标向量的分解式
向量在 x 轴,y 轴,z 轴上的分向量
向量 a的坐标
起点在原点的向量的坐标就是它的 终点的坐标
321 eeea zyxOM ????
.321 eee zORyOQxOP ???,、
? ?zyx,,?a
2、向量
起点 M1(x1,y1,z1)、终点 M2(x2,y2,z2),
21MM
o
x
y
z M
1
M2 3121111 eee zyxOM ???
3222122 eee zyxOM ???
1221 OMOMMM ??
? ? ? ?312111322212 eeeeee zyxzyx ??????
? ? ? ? ? ? 312212112 eee zzyyxx ??????
向量 关于单位坐标向量的分解式
向量 的坐标
3、向量的线性运算的坐标表示式
设向量
21MM
? ? ? ? ? ? 31221211221 eee zzyyxxMM ??????
21MM
? ?12121221,,zzyyxxMM ????
? ? ? ?222111,,,,,zyxbzyx ??a
则有
定理 1的坐标表示式：当向量 b≠0时，向量
a ∥ b 的 是
即
? ?212121,,zzyyxx ????? ba
? ?212121,,zzyyxx ????? ba
? ?111,,zyx ???? ?a
? ? ? ? ?222111,,,,zyxzyx ??
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1
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1
z
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y
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x
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例 3 设 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2),为已知两
点，而在 AB上的点 M分有向线段 为两个有向
线段 与,使它们满足,其
中 λ 是不等于 -1的数, 求分点 M的坐标 x,y,z,
AB
AM MB MBAM ??
o
x
y
z A
M
B
解 依题意有
但是
即
? ?111,,zzyyxxAM ????
? ?zzyyxxMB ???? 222,,
MBAM ??
? ? ? ?zzyyxxzzyyxx ??????? 222111,,,,?
所以
由此得点 M的坐标为
当 λ =1时，中点坐标为
? ? ? ? ? ?? ?222111,,,,
1
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212121 zzzyyyxxx,，
2
,
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4、向量在轴上的投影
(1) 有向线段在轴上的值
AB??A B u
B A u AB???
即 λ = AB
(2) 两向量的夹角
· 向量
夹角
· 向量 a = 0 或 b = 0
规定夹角可在 0与 Л 之间任意取值,
类似地，可以规定向量与轴或空间两轴的夹角,
00 ???? bOBaOA
)0(
),(),(
??
?
??
???? abba
O a A
b
B
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(3) 空间一点在轴上的投影
过 点 A作轴 u的垂直平面，交点 叫做
点 A在轴 u上的投影,
A?
A
A? u
(4) 向量在轴上的投影
作向量 的起点 A与终点 B在轴 u上的投影
向量 在轴上的投影
AB
.,BA ??
A B
u A? B?
AB BAAB ???
uP r j
向量在轴上的投影性质
性质 1（投影定理） 向量 在轴 u上的投影
等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦,即
AB
?
?c o sABAB ?uP r j
?
A
B
u A? B?B
?
性质 2 两个向量 a与 b的和在轴 u上的投影等于
向量 a与 b在该轴上的投影的和，即
性质 3 向量 a与数 λ 的乘积 λa在轴上的投影等
于向量 a在轴 u上的投影的倍，即
? ? bP r jaP r jbaP r j uuu ???
? ? aP r jaP r j uu ?? ?
5、向量的模与方向的坐标表示法
· 方向角, 非零向量与三条坐标轴的夹角
向量
? ???????? ??,、、,0
o
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y
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P Q
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M1 M2
α
β γ
?? c o sc o s21 a?? MMx
?? c o sc o s21 a?? MMy
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· 向量 a 的模
· 方向余弦
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zyx
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· 方向余弦的关系
· 与 非零向量 a同方向的单位向量
· 两点 M1与 M2之间的距离公式
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)c o s,c o s,( c o s
,,
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例 4 设已知两点 与,
计算向量 的模、方向余弦与方向角，并求方
向与 一致的单位向量,
解 因
于是
模
方向余弦
? ?2,2,21M ? ?0,3,12M
21MM
21MM
? ? ? ?2,1,120,23,2121 ???????MM
? ? ? ? 24211 22221 ???????MM
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2
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方向角
与 方向一致的单位向量
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