一、引例
某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案,
给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图,
300
300
300 100
100 500
600
400
A B
C D
x1
x2
x3
x4
图 2.1
第一节 线性方程组及高斯消元法
其中每一路段的车流量数（单位：辆 /小时）及其方向
分别用一个数及箭头表示,
4321,,,xxxx
四个路段的待定车流量数,
表示所考虑的
DCBA,,,表示四个十字路口,
为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路
口进出的车辆数平衡．于是我们可以得到线性方程组
?
?
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?
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????
????
????
????
600300300
500400100
700600100
800500300
43
32
21
41
xx
xx
xx
xx
这就是上述交通流量问题的数学表达式,
除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描
述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等,
二, 线性方程组
根据第一章的讨论, 线性方程组
(2.1)
可以写成
其中系数矩阵
常数列
未知量列
增广矩阵
bx?A
? ? nmijaA ??
? ?,,,,21 ?? mbbb ?b
? ??? nxxx,,,21 ?x
? ?b?AB ?
(2.2)
如果 中至少有一个不为零, 那么 (2.1)称为非齐次
线性方程组；
mbbb,,,21 ?
满足方程组 (2.1)的 元有序数组
称为方程组 （ 2.1） 的一个解,
方程组 （ 2.1） 的所有解组成的集合称为方程组 （ 2.1） 的解集,
方程组 （ 2.1） 的解集可能是空集, 此时方程组 （ 2.1） 无解,
如果方程组有解, 那么称它是相容的；如果方程组无解, 那么
称它不相容, 如果两个方程组有相同的解集, 那么称它们是等
价的方程组,
n
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nn
c
c
c
x
x
x
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2
1
2
1
x
例如,设有方程组
(1),(2),(3),
??
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12
1
21
21
xx
xx
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??
222
1
21
21
xx
xx
?
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?
??
??
342
12
21
21
xx
xx
否则那么 (2.1)称为齐次线性方程组,
容易验证, 方程组 （ 1） 与 （ 2） 有解, 从而它们是相容的；
方程组 （ 3） 无解, 从而它是不相容的, 虽然方程组 （ 1）
与 （ 2） 都有解, 但是它们的解的个数不一样：方程组
（ 1） 有唯一的解
而方程组 （ 2） 有无穷多解
其中 为任意数,
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???
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3
1
3
2
2
1
x
x
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???
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?
???
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???
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t
t
x
x
12
1
t
也可以验证方程组
与方程组 （ 1） 有相同的解集, 即它们是等价的方程组,
?
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?
?
??
13
1
2
21
x
xx
二, 高斯消元法
对于一般的线性方程组, 所要讨论的问题是：线性方程组
相容的条件；当线性方程组相容时, 研究解的性质并且给出求
解的方法, 我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组
的一般过程,
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?
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???
???
???
???
3
523
134
4452
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
1x
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?
?
?
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???
???
???
???
4452
523
134
3
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
例 1 解线性方程组
解 第一步 使第一个方程中 的系数为 1,
与第四个方程的位置,
交换第一个方程
可得
第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去, 第二个方程
减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程, 第四个方程减
去第二个方程的２倍, 可得
1x
2
2
2
3
2
3
2
3
4
3
3
3
3
3
2
2
2
21
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?
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x
x
x
x
x
x
x
xx
第三步 使第二方程中的系数为 1,第二个方程加上第三方程后
再乘以 （ － 1）, 可得
2
2
0
3
2
3
2
3
4
3
3
3
3
3
2
2
2
21
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x
x
x
x
x
x
x
xx
第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去, 第三
个方程加上第二个方程的 4倍, 第四个方程减去第二个方程
的 3倍,
2x
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???
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???
2
2
0
3
3
3
32
321
x
x
xx
xxx
第五 步 把第三个方程以下的方程中的 消去, 第四
个方程加上第三个方程, 可得
3x
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??
???
00
2
0
3
3
32
321
x
xx
xxx
第六步 用, 回代, 方法求解, 经第五步后得到的方程组 (2.4)
与方程组 (2.3)等价, 由方程组 (2.4)的第三个方程得, 代入
第二个方程得 ；再把 代入第一个方
程可得, 于是,
23 ?x
22 ??x 2,2
23 ??? xx
可得
(2.4)
方程组 (2.3)的解为
31 ?x 于是, 方程组 (2.3)的解为
,
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2
2
3
3
2
1
x
x
x
例 1中方程组 (2.4)称为 阶梯形方程组, 一般地, 一个阶
梯形线性方程组应该满足如下两个条件,
（ 1） 如果方程组中某一方程的各项系数全为零, 那么
它下方的所有方程 （ 如果存在 ） 的各项系数全为零；
（ 2） 如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为
零, 设第一个系数不为零的项是第 项, 那么此方程下
方的所有方程 （ 如果存在 ） 的前 项的系数全为零,
例如线性方程组
i
i
0
3
6
0
3
2
2
4
4
3
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
x
x
xx
3
10
2
0
5
3
21
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
xx
与
都是阶梯形方程组,
上述的消元过程中, 我们对线性方程组施行了下列三种变换,
（ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程；
（ 3） 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上,
容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得
到的方程组与原方程组等价；并且, 任意一个线性方程组一
定可以经过若干次适当的初等变换 （ 如类似于例 1各步使用的
初等变换 ） 得到一个阶梯形的方程组,
在例 1中, 我们实际上已经给出了一种求解线性方程组
的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变
换, 使它变为等价的阶梯形方程组, 从而达到求解的目
的, 这种求解线性方程组的方法称为 高斯 (Gauss)消元法,
这 三种变换称为线性方程组的 初等变换,
三, 利用矩阵初等行变换解线性方程组
在例 1的消元过程中, 我们对方程组进行的初等变换
实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算, 未
知量并未参与运算, 因而对方程组施行的初等变换可以
用相应的矩阵的变换来表示,
首先写出例 1中方程组对应的增广矩阵
? ?
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3111
5231
1341
4452
b?AB
第一步 交换 的第一行与第四行的位置,
得
B
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?
?
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?
?
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?
?
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??
?
4452
5231
1341
3111
1
B
第二步 在 中, 第二行减去第一行, 第三行减去第一行,
第四行减去第一行的 2倍, 得
1B
?
?
?
?
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?
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??
?
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2230
2340
2230
3111
2
B
第三步 在 中, 第二行加上第三行后再乘以 （ ）, 得
2B 1?
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??
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2230
2340
0110
3111
3
B
第四步 在 中, 第三行加上第二行的 4倍, 第四行减去第二
行的 3倍, 得
3B
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?
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?
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??
?
2100
2100
0110
3111
4B；
第五步 在 中, 第四行加上第三行, 得
4B
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?
?
?
0000
2100
0110
3111
5B
这正是例 1中最后一个方程组（阶梯形方程组）对应的增广矩
阵, 称为行阶梯形矩阵,
5B
一 一 般 地, 一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件,
（ (1） 如果某一行元素全为零, 那么它下方的所有行 （ 如
果存
在 )元素 也全为零；
（ (2） 如果某一行元素不全为零, 并且第一个不为零的元
素位 于第 列, 那么它下方的所有行 （ 如果存在
） 的前 个元素 全为零,
ii
?
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?
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?
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00000
31200
63021
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3000
10500
2011
?
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?
?
?
?
?
?
0400
3500
2420
4321
ji,ji rr ?
kk i ikr
j
ji krr ?
k k
i
定义 1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换,
(1) 交换两行的位置 (交换第 两行,记作 )
(2) 以非零数 乘某一行（以 乘第 行,记作 ） ;
(3) 把某一行的 倍加到另一行上（把第 行的
倍加到第 行上，记作 ）
例如 矩阵 与
都是行阶梯形矩阵,
不是行阶梯形矩阵,
总结上述的矩阵变换过程，定义下列三种矩阵的初等行变换,
而矩阵
三种初等行变换都是可逆的, 并且其逆变换是同一类型的初
等行变换：变换 的逆变换就是它自身；变换
的逆变换为 （ 或记作 ） ；变换 的逆变换为
为, （ 或记作 ）,
ji rr ? ? ?0?kkri
irk
1 kr
i ? ji krr ?
? ? ji rkr ?? ji krr ?
任意矩阵 经过有限次初等行变换可以化为行阶梯
形矩阵, 其消元的一般过程如下,
如果 是零矩阵, 那么它已经是行阶梯形矩阵,
如果 不是零矩阵, 可以设它的左起第一个非零列为第 列
? ? nmijaA ??
A l
A
分三个过程（如有需要的话），对 施行初等行变换，
得到矩阵
1A
（ 1） 施行若干次适当的初等行变换, 使 A 的第 列的第
１行元素为 1；
（ 2） 施行若干次第三种初等行变换, 使矩阵的第 列除第
1行元素外, 其余元素全为零；
(3) 施行若干次第一种初等行变换, 使矩阵的零行 （ 元素
全为零的行 ） 位于矩阵的最下方 （ 可以有若干个零行 ）,
如果 仍不是行阶梯形, 划去 的前 列及第 1行得子
块,对 重 复 以 上 三 个 消 元 过 程, 如 此 重 复 最 多
次就可以 将 化为行阶梯形矩阵,
A
l
l
1A 1A l
2A 2A 1?m
A
对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等
行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应
的
阶梯形方程组并用, 回代, 法求解，就可以得到原方程组的
解．这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法,
例 2 解线性方程组
,
2
14
2
4
13
3
5
4
2
3 3
3
3
2
2
2
1
1
1
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? x
x
x
x
x
x
x
x
x
解 对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换, 使它
化为行阶梯形矩阵,
,
B
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??
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2453
141341
2321
B
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8510
121020
2321
12
13 3
rr
rr
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8510
6510
2321
22r
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2000
6510
2321
23 rr
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零，它对应一个矛盾方程
2000 321 ??? xxx
,
因此，原方程组无解,
8
1
1332
2
3
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
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81121
11113
133211
B
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????
?????
?
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52130
3810520
133211
12
13
3 rr
rr
例 3 解方程组
解 对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵
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????
????
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52130
338410
133211
32 rr
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???
????
?
1 0 4261300
338410
133211
23 3 rr ? ?
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????
??
82100
338410
133211
133r
33
8
13
2
8
3
4
2
4
4
4
3
3
3
2
21
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x
x
x
x
x
x
x
xx
43 28 xx ??
4x 43 28 xx ??
12 ??x 12 ??x 43 28 xx ??
41 2 xx ???
最后一个矩阵已是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是
从最后一个方程可得
其中 可取任意实数．把
代入第二个方程，得到
,
再把
,
代入第一个方程，得到
tx ?4
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t
t
t
x
x
x
x
28
1
2
4
3
2
1
t
令,得方程组的解为
其中,是任意数．此时，方程组有无穷多个解,
4
722
5
2
2
32
32
32
32
1
1
1
??
??
??
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xx
xx
xx
xx
x
x
x
B
例 4 解线性方程组
,
解 对方程组的增广矩阵 依次施行以下初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵,
?
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?
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?
?
4112
7221
5111
2110
B
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4112
7221
2110
5111
21 rr
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???
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6310
2110
2110
5111
13
14 2
rr
rr
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4200
0000
2110
5111
23
24
rr
rr
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0000
4200
2110
5111
43 rr ? ?
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0000
2100
2110
5111
23r
2
2
5
3
3
321
2
?
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?
?
?
?
?
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x
x
x
x
xx
这个矩阵是 行阶梯形矩阵,它对应的方程组是
,用回代方法得原方程组的解
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2
0
3
3
2
1
x
x
x
,
此时，方程组有唯一解,
现在我们研究一般的线性方程组解的三种不同情况,
设线性方程组
?
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????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
2211
12222121
11212111
, (2.5)
我们对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化
为 行阶梯形矩阵
, (2.6)
?
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000000
00000
00
0
1
1
2212222
111111211
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????????
??
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r
rrnrrrr
nrr
nrr
d
dccc
dcccc
dccccc
其中
ric ii,,2,1,0 ???
, (2.7)
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111111212111
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r
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
d
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
01 ??rd
它对应的线性方程组为
情形 1 (2.7)式中,即阶梯形矩阵（２,６）
的最后一个非零行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零．此时，方程组 (2.7)是一个矛盾方程组，无解
因此线性方程组 (2.5)也无解,
情形 2 (2.7)式中
,
01 ??rd 且 nr? 即矩阵 (2.6)的任一行
都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的情形,
并且矩阵 (2.6)的非零行的行数等于方程组未知量的个数,
此时由方程组（ 2.7）的最后一个方程可 解出 唯一的值,
rx
并经过逐次回代可求得其余未知量,
从而，线性方程组（ 2.5）有唯一的解,
情形 3 （ 2.7）式中 0
1 ??rd
且 nr? 即矩阵 (2.6)的
任一行都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的
情形，并且矩阵 (2.6)的非零行的行数小于方程组未知量的个
数,从而，方程组（ 2.5）及（ 2.7）与下述方程组等价,
nrn
nn
nn
rrrrrrr
rrrr
rrrr
xc
xc
xc
xcdxc
xcdxc
xcdxc
xc
xcxc
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此时，未知量 nrr xxx,,,21 ??? 任取一组值，例如
nnrrrr kxkxkx ??? ????,,,2211 ?
应用情形 2的方法，可得未知量,,21 xx
rx,?
确定的一
组值
rkkk,,,21 ?
于是
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r
n
r
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k
k
k
k
x
x
x
x
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1
1
1
1
nrr xxx,,,21 ???
nrr xxx,,,21 ???
,,21 xx rx,?
nrr xxx,,,21 ???
rn? n r
为方程组 (2.5)的一个解．由未知量
取值的任意性，线性方程 (2.5)有无穷多个解,
在 (2.8)式中，未知量 可以自由
取值，所以称为 自由未知量,而未知量
的值依赖于 的取值,
显然情形 3的方程组 (2.7)的自由未知量的个数为
，其中 为方程组未知量的个数,
的增广矩阵化成的行阶梯形矩阵中非零行的行数,
为由方程组
在线性方程组（ 2.5）中令 021 ???? mbbb ?
可得齐次线性方程组
，便
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????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
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0
0
0
2
1
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nx
x
x
总是方程组 (2.9)的解（称为方程组 (2.9)的零解）,
(2.9)
由于
故齐次线性方程组 (2.9)总是相容的,根据上面的讨论,
对方程组 (2.9)只可能出现情形２或者情形 3.如果出现
情形 2,那么方程组 (2.9)有唯一的解,即它没有非零解；
如果出现情形 3，那么方程组 (2.9)有无穷多个解,
即它有非零解．于是，我们可以得到如下定理,
定理 1 对齐次线性方程组 (2.9)的系数矩阵施行有限
次初等行变换, 使它化为行阶梯形矩阵 S,那么,
方程组 (2.9)没有非零解的充分必要条件是 S中非零行
的行数等于方程组 (2.9)的未知量的个数；等价地, 方
程 (2.9)有非零解的充分必要条件是 S中非零行的行数
小于方程组 (2.9)的未知量的个数,
在例 4中, 由最后一个阶梯形方程组 （ 或对应的行阶梯
形矩阵 ） 求方程组的解的回代过程也可以通过矩阵的
初 s等行变换来实现,
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2100
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0000
2100
2110
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32
31
rr
rr
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0000
2100
0010
3001
21
rr
于是, 我们可以由最后一个矩阵直接写出原方程组的解
,
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2
0
3
3
2
1
x
x
x
（ 1） 非零行 （ 元素不全为零的行 ） 的第一非零元素都是 1；
（ 2） 非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零,
上述最后一个矩阵称为 行最简形矩阵, 一般地, 一个行最简
形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形矩阵,
容易证明, 任一行阶梯形矩阵可以经过有限次初等行变换
化为行最简形矩阵, 在利用初等行变换将一个矩阵化为行阶
梯形矩阵的过程中, 通常从左至右, 从上至下进行消元, 而
在利用初等行变换将一个行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的
过程中, 通常从右至左, 从下至上进行消元,
在解线性方程组时, 我们先用初等行变换将它的增广矩阵
化为行阶梯形矩阵, 判定方程组是否相容；在方程组相容
时, 继续对所得的行阶梯形矩阵施行初等行变换, 使它化为
行最简形矩阵, 从而直接写出原方程组的解, 这个方法称为
线性方程组的 高斯一若 当 （ Gauss --Jordan） 消元法, 它是
一种改进了的高斯消元法,
例 5 解线性方程组
解 先对方程组的增广矩阵 B依次施行下列初等行变换, 使
它化为行阶梯形矩阵,
2
1
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
2
2
2
4
4
2
2
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1224
2202
1220
1022
21
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3220
3220
3220
1220
1022
14
13
15
2
4
rr
rr
rr
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2400
2400
1220
1022
24
23
25
rr
rr
rr 1
0000
0000
2400
1220
1022
34
35
B
rr
rr
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最后一个矩阵 为情形 2时的行阶梯形矩阵, 故原方
程组相容, 并且它有唯一的解, 继续对 施行下列初
等行变换, 使它化为行最简形矩阵,
1B
1B
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B
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0000
100
1220
1022
2
1
)4(3r
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0000
100
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1022
2
1
2 32 rr
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0000
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100
1010
1022
2
1
2
2
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0000
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100
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001
2
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1
2
1
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0000
0000
100
1010
1002
2
1
2 21 rr
最后一个矩阵为行最简形矩阵, 由此可以直接写出原
方程组的唯一的解
注意,在例 5中我们采用的的矩阵的消元过程与前面介绍
的一般的消元过程略有不同，目的是为了在将矩阵 化为
行阶梯形矩阵的过程中避免过早地出现分数运算,
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2
1
2
1
3
2
1
1
x
x
x
B
例 6 解齐次线性方程组
解 对方程组的系数矩阵 依次作下列初等行变换, 使它
化为 行阶梯形矩阵,
最后一个矩阵是行阶梯形矩阵, 它的非零行的个数等于
方程组的未知量的个数, 所以, 原方程组有唯一的零解
02
032
21
21
??
??
?
?
?
xx
xx
A
???
?
???
??
21
32A
???
?
???
?
?
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32
2121 rr
???
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???
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??
?
10
2112 2 rr
,
???
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???
??
???
?
???
?
0
0
2
1
x
x
例 7 解齐次线性方程组
解 对方程组的系数矩阵 依次作下列初等行变换, 使
它化为行最简形矩阵,
最后一个矩阵是行最简形矩阵, 它对应的方程组
0
0
0
3
3
3
2
3 3
3
3
2
2
2
1
1
1
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
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333
321
111
A
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000
210
111
12
13 3
rr
rr ?
?
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?
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000
210
101
21 rr
0
0
2 3
3
2
1
?
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?
?
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x
x
x
x
与原方程组等价, 解出 及 并令, 得原方程
组的解
其中 是任意数, 此时, 原方程组有非零解,
1x 2x tx ?3
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t
t
t
x
x
x
2
3
2
1
t
把定义 1（ 关于矩阵初等行变换的定义 ） 中的, 行, 换
成, 列,, 就可以得到矩阵的初等列变换的定义,
定义 下列三种变换称为矩阵的初等列变换,
(1) 交换两列的位置 （ 交换第,两列, 记作 ） ；
(2) 以非零数 k 乘某一列 （ 以 乘第 列, 记作 ） ；
(3) 把某一列的 k倍加到另一列上 （ 把第 列的 倍加到第
列上, 记作 ）,
ji,
ji cc ?
j jkc
k
k
ji kcc ?
四、矩阵的初等列变换
1?
j
显然, 矩阵的初等列变换也是可逆的, 且其逆变换是同一
类型的初等列变换, 那么
矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为 初等变换,
如果矩阵 经过有限次初等变换可以化为矩阵, 就
称矩阵 与 等价, 记作, 因此我们也可以用,,
来表示对矩阵 施行有限次初等变换使化为矩阵 的变换
过程,
A B
A B
BA~ BA~
A B
矩阵之间的等价关系具有下列性质,
（ 1） 反身性 ；
（ 2） 对称性 如果, 那么 ；
（ 3） 传递性 如果, 那么,
数学中把一个集合中具有上述三个性质的元素之间的关
系称为它的一个等价关系, 例如当两个线性方程组有相同的
解集合时, 就称这两个线性方程组等价,
AA ~
BA~ AB~
CBBA ~,~ CA~
某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案,
给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图,
300
300
300 100
100 500
600
400
A B
C D
x1
x2
x3
x4
图 2.1
第一节 线性方程组及高斯消元法
其中每一路段的车流量数（单位：辆 /小时）及其方向
分别用一个数及箭头表示,
4321,,,xxxx
四个路段的待定车流量数,
表示所考虑的
DCBA,,,表示四个十字路口,
为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路
口进出的车辆数平衡．于是我们可以得到线性方程组
?
?
?
?
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????
????
????
????
600300300
500400100
700600100
800500300
43
32
21
41
xx
xx
xx
xx
这就是上述交通流量问题的数学表达式,
除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描
述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等,
二, 线性方程组
根据第一章的讨论, 线性方程组
(2.1)
可以写成
其中系数矩阵
常数列
未知量列
增广矩阵
bx?A
? ? nmijaA ??
? ?,,,,21 ?? mbbb ?b
? ??? nxxx,,,21 ?x
? ?b?AB ?
(2.2)
如果 中至少有一个不为零, 那么 (2.1)称为非齐次
线性方程组；
mbbb,,,21 ?
满足方程组 (2.1)的 元有序数组
称为方程组 （ 2.1） 的一个解,
方程组 （ 2.1） 的所有解组成的集合称为方程组 （ 2.1） 的解集,
方程组 （ 2.1） 的解集可能是空集, 此时方程组 （ 2.1） 无解,
如果方程组有解, 那么称它是相容的；如果方程组无解, 那么
称它不相容, 如果两个方程组有相同的解集, 那么称它们是等
价的方程组,
n
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c
c
c
x
x
x
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2
1
2
1
x
例如,设有方程组
(1),(2),(3),
??
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??
??
12
1
21
21
xx
xx
?
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??
??
222
1
21
21
xx
xx
?
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??
??
342
12
21
21
xx
xx
否则那么 (2.1)称为齐次线性方程组,
容易验证, 方程组 （ 1） 与 （ 2） 有解, 从而它们是相容的；
方程组 （ 3） 无解, 从而它是不相容的, 虽然方程组 （ 1）
与 （ 2） 都有解, 但是它们的解的个数不一样：方程组
（ 1） 有唯一的解
而方程组 （ 2） 有无穷多解
其中 为任意数,
??
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???
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3
1
3
2
2
1
x
x
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???
?
?
???
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???
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t
t
x
x
12
1
t
也可以验证方程组
与方程组 （ 1） 有相同的解集, 即它们是等价的方程组,
?
?
?
?
??
13
1
2
21
x
xx
二, 高斯消元法
对于一般的线性方程组, 所要讨论的问题是：线性方程组
相容的条件；当线性方程组相容时, 研究解的性质并且给出求
解的方法, 我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组
的一般过程,
?
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???
???
???
???
3
523
134
4452
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
1x
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???
???
???
???
4452
523
134
3
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
例 1 解线性方程组
解 第一步 使第一个方程中 的系数为 1,
与第四个方程的位置,
交换第一个方程
可得
第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去, 第二个方程
减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程, 第四个方程减
去第二个方程的２倍, 可得
1x
2
2
2
3
2
3
2
3
4
3
3
3
3
3
2
2
2
21
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x
x
x
x
x
x
x
xx
第三步 使第二方程中的系数为 1,第二个方程加上第三方程后
再乘以 （ － 1）, 可得
2
2
0
3
2
3
2
3
4
3
3
3
3
3
2
2
2
21
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x
x
x
x
x
x
x
xx
第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去, 第三
个方程加上第二个方程的 4倍, 第四个方程减去第二个方程
的 3倍,
2x
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???
?
??
???
2
2
0
3
3
3
32
321
x
x
xx
xxx
第五 步 把第三个方程以下的方程中的 消去, 第四
个方程加上第三个方程, 可得
3x
?
?
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??
???
00
2
0
3
3
32
321
x
xx
xxx
第六步 用, 回代, 方法求解, 经第五步后得到的方程组 (2.4)
与方程组 (2.3)等价, 由方程组 (2.4)的第三个方程得, 代入
第二个方程得 ；再把 代入第一个方
程可得, 于是,
23 ?x
22 ??x 2,2
23 ??? xx
可得
(2.4)
方程组 (2.3)的解为
31 ?x 于是, 方程组 (2.3)的解为
,
?
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2
2
3
3
2
1
x
x
x
例 1中方程组 (2.4)称为 阶梯形方程组, 一般地, 一个阶
梯形线性方程组应该满足如下两个条件,
（ 1） 如果方程组中某一方程的各项系数全为零, 那么
它下方的所有方程 （ 如果存在 ） 的各项系数全为零；
（ 2） 如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为
零, 设第一个系数不为零的项是第 项, 那么此方程下
方的所有方程 （ 如果存在 ） 的前 项的系数全为零,
例如线性方程组
i
i
0
3
6
0
3
2
2
4
4
3
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
x
x
xx
3
10
2
0
5
3
21
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
xx
与
都是阶梯形方程组,
上述的消元过程中, 我们对线性方程组施行了下列三种变换,
（ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程；
（ 3） 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上,
容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得
到的方程组与原方程组等价；并且, 任意一个线性方程组一
定可以经过若干次适当的初等变换 （ 如类似于例 1各步使用的
初等变换 ） 得到一个阶梯形的方程组,
在例 1中, 我们实际上已经给出了一种求解线性方程组
的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变
换, 使它变为等价的阶梯形方程组, 从而达到求解的目
的, 这种求解线性方程组的方法称为 高斯 (Gauss)消元法,
这 三种变换称为线性方程组的 初等变换,
三, 利用矩阵初等行变换解线性方程组
在例 1的消元过程中, 我们对方程组进行的初等变换
实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算, 未
知量并未参与运算, 因而对方程组施行的初等变换可以
用相应的矩阵的变换来表示,
首先写出例 1中方程组对应的增广矩阵
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第一步 交换 的第一行与第四行的位置,
得
B
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4452
5231
1341
3111
1
B
第二步 在 中, 第二行减去第一行, 第三行减去第一行,
第四行减去第一行的 2倍, 得
1B
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2340
2230
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2
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第三步 在 中, 第二行加上第三行后再乘以 （ ）, 得
2B 1?
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2230
2340
0110
3111
3
B
第四步 在 中, 第三行加上第二行的 4倍, 第四行减去第二
行的 3倍, 得
3B
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2100
2100
0110
3111
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第五步 在 中, 第四行加上第三行, 得
4B
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0000
2100
0110
3111
5B
这正是例 1中最后一个方程组（阶梯形方程组）对应的增广矩
阵, 称为行阶梯形矩阵,
5B
一 一 般 地, 一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件,
（ (1） 如果某一行元素全为零, 那么它下方的所有行 （ 如
果存
在 )元素 也全为零；
（ (2） 如果某一行元素不全为零, 并且第一个不为零的元
素位 于第 列, 那么它下方的所有行 （ 如果存在
） 的前 个元素 全为零,
ii
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00000
31200
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2011
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0400
3500
2420
4321
ji,ji rr ?
kk i ikr
j
ji krr ?
k k
i
定义 1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换,
(1) 交换两行的位置 (交换第 两行,记作 )
(2) 以非零数 乘某一行（以 乘第 行,记作 ） ;
(3) 把某一行的 倍加到另一行上（把第 行的
倍加到第 行上，记作 ）
例如 矩阵 与
都是行阶梯形矩阵,
不是行阶梯形矩阵,
总结上述的矩阵变换过程，定义下列三种矩阵的初等行变换,
而矩阵
三种初等行变换都是可逆的, 并且其逆变换是同一类型的初
等行变换：变换 的逆变换就是它自身；变换
的逆变换为 （ 或记作 ） ；变换 的逆变换为
为, （ 或记作 ）,
ji rr ? ? ?0?kkri
irk
1 kr
i ? ji krr ?
? ? ji rkr ?? ji krr ?
任意矩阵 经过有限次初等行变换可以化为行阶梯
形矩阵, 其消元的一般过程如下,
如果 是零矩阵, 那么它已经是行阶梯形矩阵,
如果 不是零矩阵, 可以设它的左起第一个非零列为第 列
? ? nmijaA ??
A l
A
分三个过程（如有需要的话），对 施行初等行变换，
得到矩阵
1A
（ 1） 施行若干次适当的初等行变换, 使 A 的第 列的第
１行元素为 1；
（ 2） 施行若干次第三种初等行变换, 使矩阵的第 列除第
1行元素外, 其余元素全为零；
(3) 施行若干次第一种初等行变换, 使矩阵的零行 （ 元素
全为零的行 ） 位于矩阵的最下方 （ 可以有若干个零行 ）,
如果 仍不是行阶梯形, 划去 的前 列及第 1行得子
块,对 重 复 以 上 三 个 消 元 过 程, 如 此 重 复 最 多
次就可以 将 化为行阶梯形矩阵,
A
l
l
1A 1A l
2A 2A 1?m
A
对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等
行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应
的
阶梯形方程组并用, 回代, 法求解，就可以得到原方程组的
解．这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法,
例 2 解线性方程组
,
2
14
2
4
13
3
5
4
2
3 3
3
3
2
2
2
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1
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x
x
x
x
x
x
x
x
解 对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换, 使它
化为行阶梯形矩阵,
,
B
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141341
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rr
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8510
6510
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2000
6510
2321
23 rr
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零，它对应一个矛盾方程
2000 321 ??? xxx
,
因此，原方程组无解,
8
1
1332
2
3
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
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x
x
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B
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52130
3810520
133211
12
13
3 rr
rr
例 3 解方程组
解 对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵
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52130
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32 rr
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338410
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82100
338410
133211
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4
2
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4
4
3
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x
x
x
x
x
x
x
xx
43 28 xx ??
4x 43 28 xx ??
12 ??x 12 ??x 43 28 xx ??
41 2 xx ???
最后一个矩阵已是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是
从最后一个方程可得
其中 可取任意实数．把
代入第二个方程，得到
,
再把
,
代入第一个方程，得到
tx ?4
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t
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x
x
x
x
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2
4
3
2
1
t
令,得方程组的解为
其中,是任意数．此时，方程组有无穷多个解,
4
722
5
2
2
32
32
32
32
1
1
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xx
xx
xx
xx
x
x
x
B
例 4 解线性方程组
,
解 对方程组的增广矩阵 依次施行以下初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵,
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rr
rr
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2110
5111
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2
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3
3
321
2
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x
x
x
x
xx
这个矩阵是 行阶梯形矩阵,它对应的方程组是
,用回代方法得原方程组的解
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3
3
2
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x
x
x
,
此时，方程组有唯一解,
现在我们研究一般的线性方程组解的三种不同情况,
设线性方程组
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????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
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2211
12222121
11212111
, (2.5)
我们对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化
为 行阶梯形矩阵
, (2.6)
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111111211
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????????
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rrnrrrr
nrr
nrr
d
dccc
dcccc
dccccc
其中
ric ii,,2,1,0 ???
, (2.7)
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??
??
r
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
d
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
01 ??rd
它对应的线性方程组为
情形 1 (2.7)式中,即阶梯形矩阵（２,６）
的最后一个非零行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零．此时，方程组 (2.7)是一个矛盾方程组，无解
因此线性方程组 (2.5)也无解,
情形 2 (2.7)式中
,
01 ??rd 且 nr? 即矩阵 (2.6)的任一行
都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的情形,
并且矩阵 (2.6)的非零行的行数等于方程组未知量的个数,
此时由方程组（ 2.7）的最后一个方程可 解出 唯一的值,
rx
并经过逐次回代可求得其余未知量,
从而，线性方程组（ 2.5）有唯一的解,
情形 3 （ 2.7）式中 0
1 ??rd
且 nr? 即矩阵 (2.6)的
任一行都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的
情形，并且矩阵 (2.6)的非零行的行数小于方程组未知量的个
数,从而，方程组（ 2.5）及（ 2.7）与下述方程组等价,
nrn
nn
nn
rrrrrrr
rrrr
rrrr
xc
xc
xc
xcdxc
xcdxc
xcdxc
xc
xcxc
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此时，未知量 nrr xxx,,,21 ??? 任取一组值，例如
nnrrrr kxkxkx ??? ????,,,2211 ?
应用情形 2的方法，可得未知量,,21 xx
rx,?
确定的一
组值
rkkk,,,21 ?
于是
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k
k
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x
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1
1
1
1
nrr xxx,,,21 ???
nrr xxx,,,21 ???
,,21 xx rx,?
nrr xxx,,,21 ???
rn? n r
为方程组 (2.5)的一个解．由未知量
取值的任意性，线性方程 (2.5)有无穷多个解,
在 (2.8)式中，未知量 可以自由
取值，所以称为 自由未知量,而未知量
的值依赖于 的取值,
显然情形 3的方程组 (2.7)的自由未知量的个数为
，其中 为方程组未知量的个数,
的增广矩阵化成的行阶梯形矩阵中非零行的行数,
为由方程组
在线性方程组（ 2.5）中令 021 ???? mbbb ?
可得齐次线性方程组
，便
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????
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0
0
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2211
2222121
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nn
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xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
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0
2
1
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nx
x
x
总是方程组 (2.9)的解（称为方程组 (2.9)的零解）,
(2.9)
由于
故齐次线性方程组 (2.9)总是相容的,根据上面的讨论,
对方程组 (2.9)只可能出现情形２或者情形 3.如果出现
情形 2,那么方程组 (2.9)有唯一的解,即它没有非零解；
如果出现情形 3，那么方程组 (2.9)有无穷多个解,
即它有非零解．于是，我们可以得到如下定理,
定理 1 对齐次线性方程组 (2.9)的系数矩阵施行有限
次初等行变换, 使它化为行阶梯形矩阵 S,那么,
方程组 (2.9)没有非零解的充分必要条件是 S中非零行
的行数等于方程组 (2.9)的未知量的个数；等价地, 方
程 (2.9)有非零解的充分必要条件是 S中非零行的行数
小于方程组 (2.9)的未知量的个数,
在例 4中, 由最后一个阶梯形方程组 （ 或对应的行阶梯
形矩阵 ） 求方程组的解的回代过程也可以通过矩阵的
初 s等行变换来实现,
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rr
于是, 我们可以由最后一个矩阵直接写出原方程组的解
,
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3
2
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x
x
（ 1） 非零行 （ 元素不全为零的行 ） 的第一非零元素都是 1；
（ 2） 非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零,
上述最后一个矩阵称为 行最简形矩阵, 一般地, 一个行最简
形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形矩阵,
容易证明, 任一行阶梯形矩阵可以经过有限次初等行变换
化为行最简形矩阵, 在利用初等行变换将一个矩阵化为行阶
梯形矩阵的过程中, 通常从左至右, 从上至下进行消元, 而
在利用初等行变换将一个行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的
过程中, 通常从右至左, 从下至上进行消元,
在解线性方程组时, 我们先用初等行变换将它的增广矩阵
化为行阶梯形矩阵, 判定方程组是否相容；在方程组相容
时, 继续对所得的行阶梯形矩阵施行初等行变换, 使它化为
行最简形矩阵, 从而直接写出原方程组的解, 这个方法称为
线性方程组的 高斯一若 当 （ Gauss --Jordan） 消元法, 它是
一种改进了的高斯消元法,
例 5 解线性方程组
解 先对方程组的增广矩阵 B依次施行下列初等行变换, 使
它化为行阶梯形矩阵,
2
1
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
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13
15
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2400
1220
1022
24
23
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0000
0000
2400
1220
1022
34
35
B
rr
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最后一个矩阵 为情形 2时的行阶梯形矩阵, 故原方
程组相容, 并且它有唯一的解, 继续对 施行下列初
等行变换, 使它化为行最简形矩阵,
1B
1B
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1022
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1
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2
1
2 32 rr
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1
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1
2
1
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0000
100
1010
1002
2
1
2 21 rr
最后一个矩阵为行最简形矩阵, 由此可以直接写出原
方程组的唯一的解
注意,在例 5中我们采用的的矩阵的消元过程与前面介绍
的一般的消元过程略有不同，目的是为了在将矩阵 化为
行阶梯形矩阵的过程中避免过早地出现分数运算,
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2
1
2
1
3
2
1
1
x
x
x
B
例 6 解齐次线性方程组
解 对方程组的系数矩阵 依次作下列初等行变换, 使它
化为 行阶梯形矩阵,
最后一个矩阵是行阶梯形矩阵, 它的非零行的个数等于
方程组的未知量的个数, 所以, 原方程组有唯一的零解
02
032
21
21
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xx
xx
A
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21
32A
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32
2121 rr
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10
2112 2 rr
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???
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???
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???
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0
0
2
1
x
x
例 7 解齐次线性方程组
解 对方程组的系数矩阵 依次作下列初等行变换, 使
它化为行最简形矩阵,
最后一个矩阵是行最简形矩阵, 它对应的方程组
0
0
0
3
3
3
2
3 3
3
3
2
2
2
1
1
1
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
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333
321
111
A
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000
210
111
12
13 3
rr
rr ?
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000
210
101
21 rr
0
0
2 3
3
2
1
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x
x
x
x
与原方程组等价, 解出 及 并令, 得原方程
组的解
其中 是任意数, 此时, 原方程组有非零解,
1x 2x tx ?3
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t
t
t
x
x
x
2
3
2
1
t
把定义 1（ 关于矩阵初等行变换的定义 ） 中的, 行, 换
成, 列,, 就可以得到矩阵的初等列变换的定义,
定义 下列三种变换称为矩阵的初等列变换,
(1) 交换两列的位置 （ 交换第,两列, 记作 ） ；
(2) 以非零数 k 乘某一列 （ 以 乘第 列, 记作 ） ；
(3) 把某一列的 k倍加到另一列上 （ 把第 列的 倍加到第
列上, 记作 ）,
ji,
ji cc ?
j jkc
k
k
ji kcc ?
四、矩阵的初等列变换
1?
j
显然, 矩阵的初等列变换也是可逆的, 且其逆变换是同一
类型的初等列变换, 那么
矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为 初等变换,
如果矩阵 经过有限次初等变换可以化为矩阵, 就
称矩阵 与 等价, 记作, 因此我们也可以用,,
来表示对矩阵 施行有限次初等变换使化为矩阵 的变换
过程,
A B
A B
BA~ BA~
A B
矩阵之间的等价关系具有下列性质,
（ 1） 反身性 ；
（ 2） 对称性 如果, 那么 ；
（ 3） 传递性 如果, 那么,
数学中把一个集合中具有上述三个性质的元素之间的关
系称为它的一个等价关系, 例如当两个线性方程组有相同的
解集合时, 就称这两个线性方程组等价,
AA ~
BA~ AB~
CBBA ~,~ CA~
