第三节 行列式与矩阵的逆
一, 伴随矩阵与矩阵的逆
n阶矩阵 A的行列式 的各个元素的代数余子式
所构成的矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
...
............
...
...
21
22212
12111
*
称为矩阵 A的伴随矩阵,由 § 1定理 1及其推论 2，可以得到
引理 设 为阶矩阵 A的伴随矩阵，那么 *A
IAAAAA ?? **
证 记 及,那么 )( ijaA ? )(*
ijbAA ?
返
回
第
三
章
jninjijiij AaAaAab ???? ?2211
?
?
?
?
?
?
ji
jiA
当
当
,0
,
故 IAAA ?*
类似地也有
IAAaaAAA
n
k
n
k
kikjkjki? ?
? ?
???
1 1
* )()( 证毕
定理 2 矩阵 可逆的充分必要条件是 ；当 可
逆时，,其中 为 的伴随矩阵,
0?A
*1 1 A
A
A ?? *A
A A
A
证 分别证明定理前半部分的必要性和充分性；
在充分性的证明中包含定理后半部分的证明,
如果 可逆，那么由第二章 § 2定理 3知 是初
等矩阵之积，即 其中 为初等
矩阵
A A
sEEEA ?21? sEEE,,,21 ?
.反复使用 § 2性质 3的推论得
02132121 ????? sss EEEEEEEEEEA ????
反之，若,由引理知 0?A
IAAAAA ?? **
由于,故有 0?A
IAA
A
A
A
A ?? )1()1( **
所以，按逆矩阵的定义知
*1 1 A
AA ?
? 证毕
当, 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵,
由上面的定理 2可知,是可逆矩阵的充分必要条件
是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵,
0?A A
A
0?A
推论 1 设 和 是两个 阶矩阵．如果 是不可
逆矩阵，那么 与 都是不可逆矩阵,
A B n A
AB BA
证 因 是不可逆矩阵，由第二章 § 2定理 3，齐次
线性方程组 有非零解，从而，齐次线性方程组
也有非零解,
故 是不可逆矩阵,
A
0x?A
0x ?)( BA
BA
利用行列式的性质，显然有, AA ??
从而，由定理 2,也是不可逆矩阵，根据已经证明
的结论,是不可逆矩阵,是不可逆矩阵．但是,
,所以,是不可逆矩阵,
?A
??AB
??? ?? ABABAB )( AB
证毕
推论 2 如果 (或 )，那么
可逆且,
IAB ? IBA ? A
BA ??1
证 设,由于 是可逆矩阵，故由推论 1,
也是可逆矩阵，即 存在,于是
IAB ? I
A 1?A
1111 )()( ???? ????? AIAABABAAIBB 证毕
例 7 求矩阵 的逆矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A
解 经计算,知 存在．的元素
的代数余子式为 02 ??A
1?A
.2,2,2
,5,6,3
,4,6,2
332313
322212
312111
????
?????
????
AAA
AAA
AAA
A从而,得 的伴随矩阵
?
?
?
?
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?
?
?
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???
222
563
462
*
A
二、行列式的乘法定理
A, B 为 n 阶矩阵，那么
BAAB ?
即两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积,
定理 3
设
本段中，我们讨论矩阵乘积的行列式,
证 分两种情况讨论,
A 是不可逆矩阵，由定理 2的推论 1,AB
于是，由定理 2知 00 ?? ABA 及,从而 BAAB ?
如果 也是不可逆矩阵,
故可设 A 是可逆矩阵，则由第二章 § 2定理 3，存在初等矩阵
sEEE,,,21 ?
使得 ?A
sEEE ?21,由 § 2性质 3的推论得
|,|||
|||)||||(|
||||||||
||||
|)(|||
21
21
21
21
BA
BEEE
BEEE
BEEE
BEEEAB
s
s
s
s
?
?
?
?
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?
?
?
其中 ss EEEEEEA ?? 2121 ??
证毕,
r ( r ≥2)个矩阵乘积的情况,
)2(,,,21 ?rAAA r? 都是 n 阶矩阵，那么
通常我们把定理 3称为行列式的乘法定理，它很容易推广到
推论 设
rr AAAAAA ?? 2121 ?
例 8 设 A 是可逆矩阵,证明矩阵 A 的逆矩阵的行列式等于
A 的行列式的倒数,
A 是可逆的，则 1?A 存在且有 IAA ??1
由定理 3有
111 ??? ?? IAAAA
于是 0?A
且
AA
11 ??
例 9 设
?
?
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?
?
?
?
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??
?
?
?
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?
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??
200
710
594
,
300
720
421
BA
求 11,,??? BAAB
证 因
解 经计算
08,06 ???? BA
，故 A, B 都可逆，且
48??? ?? BABAAB
???? 6111 AA
8
111 ???
BB
三、克拉默法则
n 个未知量的 n 个方程的线性方程组
?
?
?
?
?
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????
????
????
nnnnnn
nnn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
?
?
?
2211
2222121
11212111
或者它的矩阵形式
bA ?x
其中
nnijaA ?? )(,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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n
x
x
x
?
2
1
x
,
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?
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?
n
b
b
b
?
2
1
b
考虑含有
(3.1)
(3.2)
当 (3.2)的系数行列式 0?A 时，它的解可以用 n
0?? AD
时，那么线性方程组 (3.2)有唯一解
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
x
其中 ),...2,1( nj
D
Dx j
j ??, jD
是用方程组 (3.2)的常数列
b 代替 D 的第 j 列得到的行列式,
0?A, A 的逆矩阵 1?A 存在且有
bx 11 )( ?? ? AAA
定理 4(克拉默法则 ) 如果线性方程组 (3.2)的系数行列式
即有
（３．３）
证 由于
阶行列式表示,
故
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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nnnnn
n
n
n
b
b
b
AAA
AAA
AAA
D
A
D
A
x
x
x
2
1
21
22212
12111
*12
1
11
?
????
?
?
?
bbx
比较等式两边对应元素，得
D
DAbAbAb
Dx
j
njnjjj ????? )(
1
2211 ?
所以,线性方程组 (3.2)有解且其解的表示式即为所求,
A 是可逆矩阵，由第二章 § 2定理 3,
A 可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵 I
方程组（ 3.2）的增广矩阵经过这些初等行变换可以化为
唯一性的证明
此时, 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
c
c
c
C
100
010
001
2
1
?
?
?
?
因
显然，矩阵 C
（ 3.2）有唯一解,
1?n 个 n
例 10 已知三次曲线
342321 xaxaxaay ????
过四点
对应的线性方程组有唯一解，从而线性方程组
方程组（３．２）的解的简便方法，具有重要的理论价值,
克拉默法则给出了一个用行列式表示的形如 (3.３ )的线性
但是，如果用这种方法求方程组的解时，我们必须计算
一般，其计算量要比用矩阵初等变换解
线性方程组要大得多,
),( 11 yx ),( 22 yx ),( 33 yx ),( 44 yx、,,
其中
4321,,,xxxx 互不相同,
试求系数
4321,,,aaaa
证毕
阶行列式,
解 把四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于
4321,,,aaaa
的方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
4
3
44
2
43421
3
3
34
2
33321
2
3
24
2
23221
1
3
14
2
13121
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
其系数行列式
0)(
1
1
1
1
41
3
4
2
44
3
3
2
33
3
2
2
22
3
1
2
11
????? ?
??? ij
ji
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
AD
由克拉默法则，方程组有唯一解
)4,3,2,1( ?? jDDa jj
其中
jD
是 4321,,,yyyy 分别替代 A 中第 j 列元素所得的行列式,
0x?A
直接利用第二章 § 1定理 1,§ 2定理 3及本节定理 2，便可以得到
0?D ；
对于 (3.2)所对应的齐次线性方程组 （ 3.４）
定理 5 齐次线性方程组 (3.４ )没有非零解的充分必要条件是
其系数行列式 等价地，齐次线性方程组 (3.４ )有非零解
0?D的充分必要条件是其系数行列式
例 11 问 λ取什么值时，齐次线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
????
0)4(2
0)6(2
022)5(
zx
yx
zyx
?
?
?
(3.５ )
有非零解?
解 由定理 5可知，齐次线性方程组 (3.５ )有非零解的
0?D
又
)8)(2)(5(
402
062
225
???
?
?
?
????
?
?
?
?D
所以，由 0?D,得 5,2 ?? ?? 或 8??
即 5,2 ?? ?? 或 8?? 时,(3.５ )有非零解,
是 (3.５ )的系数行列式 充要条件
一, 伴随矩阵与矩阵的逆
n阶矩阵 A的行列式 的各个元素的代数余子式
所构成的矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
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............
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*
称为矩阵 A的伴随矩阵,由 § 1定理 1及其推论 2，可以得到
引理 设 为阶矩阵 A的伴随矩阵，那么 *A
IAAAAA ?? **
证 记 及,那么 )( ijaA ? )(*
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三
章
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类似地也有
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定理 2 矩阵 可逆的充分必要条件是 ；当 可
逆时，,其中 为 的伴随矩阵,
0?A
*1 1 A
A
A ?? *A
A A
A
证 分别证明定理前半部分的必要性和充分性；
在充分性的证明中包含定理后半部分的证明,
如果 可逆，那么由第二章 § 2定理 3知 是初
等矩阵之积，即 其中 为初等
矩阵
A A
sEEEA ?21? sEEE,,,21 ?
.反复使用 § 2性质 3的推论得
02132121 ????? sss EEEEEEEEEEA ????
反之，若,由引理知 0?A
IAAAAA ?? **
由于,故有 0?A
IAA
A
A
A
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所以，按逆矩阵的定义知
*1 1 A
AA ?
? 证毕
当, 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵,
由上面的定理 2可知,是可逆矩阵的充分必要条件
是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵,
0?A A
A
0?A
推论 1 设 和 是两个 阶矩阵．如果 是不可
逆矩阵，那么 与 都是不可逆矩阵,
A B n A
AB BA
证 因 是不可逆矩阵，由第二章 § 2定理 3，齐次
线性方程组 有非零解，从而，齐次线性方程组
也有非零解,
故 是不可逆矩阵,
A
0x?A
0x ?)( BA
BA
利用行列式的性质，显然有, AA ??
从而，由定理 2,也是不可逆矩阵，根据已经证明
的结论,是不可逆矩阵,是不可逆矩阵．但是,
,所以,是不可逆矩阵,
?A
??AB
??? ?? ABABAB )( AB
证毕
推论 2 如果 (或 )，那么
可逆且,
IAB ? IBA ? A
BA ??1
证 设,由于 是可逆矩阵，故由推论 1,
也是可逆矩阵，即 存在,于是
IAB ? I
A 1?A
1111 )()( ???? ????? AIAABABAAIBB 证毕
例 7 求矩阵 的逆矩阵
?
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321
A
解 经计算,知 存在．的元素
的代数余子式为 02 ??A
1?A
.2,2,2
,5,6,3
,4,6,2
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????
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A从而,得 的伴随矩阵
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462
*
A
二、行列式的乘法定理
A, B 为 n 阶矩阵，那么
BAAB ?
即两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积,
定理 3
设
本段中，我们讨论矩阵乘积的行列式,
证 分两种情况讨论,
A 是不可逆矩阵，由定理 2的推论 1,AB
于是，由定理 2知 00 ?? ABA 及,从而 BAAB ?
如果 也是不可逆矩阵,
故可设 A 是可逆矩阵，则由第二章 § 2定理 3，存在初等矩阵
sEEE,,,21 ?
使得 ?A
sEEE ?21,由 § 2性质 3的推论得
|,|||
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21
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其中 ss EEEEEEA ?? 2121 ??
证毕,
r ( r ≥2)个矩阵乘积的情况,
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通常我们把定理 3称为行列式的乘法定理，它很容易推广到
推论 设
rr AAAAAA ?? 2121 ?
例 8 设 A 是可逆矩阵,证明矩阵 A 的逆矩阵的行列式等于
A 的行列式的倒数,
A 是可逆的，则 1?A 存在且有 IAA ??1
由定理 3有
111 ??? ?? IAAAA
于是 0?A
且
AA
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例 9 设
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BA
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证 因
解 经计算
08,06 ???? BA
，故 A, B 都可逆，且
48??? ?? BABAAB
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BB
三、克拉默法则
n 个未知量的 n 个方程的线性方程组
?
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nnn
nn
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或者它的矩阵形式
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其中
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考虑含有
(3.1)
(3.2)
当 (3.2)的系数行列式 0?A 时，它的解可以用 n
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其中 ),...2,1( nj
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是用方程组 (3.2)的常数列
b 代替 D 的第 j 列得到的行列式,
0?A, A 的逆矩阵 1?A 存在且有
bx 11 )( ?? ? AAA
定理 4(克拉默法则 ) 如果线性方程组 (3.2)的系数行列式
即有
（３．３）
证 由于
阶行列式表示,
故
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所以,线性方程组 (3.2)有解且其解的表示式即为所求,
A 是可逆矩阵，由第二章 § 2定理 3,
A 可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵 I
方程组（ 3.2）的增广矩阵经过这些初等行变换可以化为
唯一性的证明
此时, 。
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显然，矩阵 C
（ 3.2）有唯一解,
1?n 个 n
例 10 已知三次曲线
342321 xaxaxaay ????
过四点
对应的线性方程组有唯一解，从而线性方程组
方程组（３．２）的解的简便方法，具有重要的理论价值,
克拉默法则给出了一个用行列式表示的形如 (3.３ )的线性
但是，如果用这种方法求方程组的解时，我们必须计算
一般，其计算量要比用矩阵初等变换解
线性方程组要大得多,
),( 11 yx ),( 22 yx ),( 33 yx ),( 44 yx、,,
其中
4321,,,xxxx 互不相同,
试求系数
4321,,,aaaa
证毕
阶行列式,
解 把四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于
4321,,,aaaa
的方程组
?
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由克拉默法则，方程组有唯一解
)4,3,2,1( ?? jDDa jj
其中
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是 4321,,,yyyy 分别替代 A 中第 j 列元素所得的行列式,
0x?A
直接利用第二章 § 1定理 1,§ 2定理 3及本节定理 2，便可以得到
0?D ；
对于 (3.2)所对应的齐次线性方程组 （ 3.４）
定理 5 齐次线性方程组 (3.４ )没有非零解的充分必要条件是
其系数行列式 等价地，齐次线性方程组 (3.４ )有非零解
0?D的充分必要条件是其系数行列式
例 11 问 λ取什么值时，齐次线性方程组
?
?
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(3.５ )
有非零解?
解 由定理 5可知，齐次线性方程组 (3.５ )有非零解的
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又
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所以，由 0?D,得 5,2 ?? ?? 或 8??
即 5,2 ?? ?? 或 8?? 时,(3.５ )有非零解,
是 (3.５ )的系数行列式 充要条件
