4.2 向量的乘法
? 向量的数量积
? 向量的向量积
? 向量的混合积
§ 4.2 向量的乘法
一、向量的数量积
作功问题：一物体在
常力 F作用下沿直线位移 S,
力 F所作的功为
F
S
θ
?c o sSF?W
1、定义
两向量 a与 b的数量积定义为数,记作
其中 θ为向量 a,b的夹角。
当向量 a≠0时,
当向量 b≠0时,
作功问题 W = F ? S
?cosbaba ??
?c o sba
Prjab=| b|cosθ
aP r jbba b??
bP r jaba a??
Prjba=|a|cosθ
2、运算律
（ 1）交换律 a ? b = b ? a ；
（ 2）分配律 (a+b) ? c = a ? c+ b ? c ；
（ 3）结合律 (λ a)? b =λ (a ? b) = a ?(λ b),
其中 λ 为数,
证 （ 2） 当 c=0，分配律显然成立；
当 c≠0时，有
证毕
? ? ? ?baP r jccba c ???? ||
? ?bP r jaP r jc cc ?? ||
bc P r jaP r jc cc ?? ||
cbca ????
3、结论
（ 1） a ? a = |a| 2；
（ 2）
证 （ 2）必要性 a⊥ b,则,于是
a ? b=|a||b|cosθ
充分性 a ? b = 0,即 |a||b|cosθ= 0
情形 Ⅰ cosθ= 0,则, 即 a⊥ b。
情形 Ⅱ |a| = 0或 |b| = 0,a, b中至少有一个是
零向量,即 a⊥ b。
2
?? ?
2
?? ?
0???? baba
4、数量积的坐标表示式
设向量 a = (x1,y1,z1),b = (x2,y2,z2),
则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。
证 由向量 a,b的单位坐标向量分解式
322212
312111
eeeb
eeea
zyx
zyx
???
???
得
由于
因此 a ? b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 证毕
)()( 222111 321321 eeeeeeba zyxzyx ???????
312121211121 eeeeee ?????? zxyxxx
322212 eeeeee ?????? 212112 zyyyyx
332313 eeeeee ?????? 211212 zzzyzx
)3,2,1,(
0
1
?
?
?
?
?
?
?? ji
ji
ji
ee ji
5、坐标计算向量的夹角
设 a≠0,b≠0,由数量积定义，有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
????
??
?
||||
c o s
ba
ba ?
??
例 1 已知三点 M(1,1,1), A(2,2,1),B
(2,1,2),求
解 作向量 及,则
易知 从而
由此得
.AM B?
MA MB,)MB,( MAA M B ???
,)1,0,1(,)1,1,1( ?? MBMA
2
1
101011
001
c o s ?
????
??
?
?
??
MBMA
MBMA
A M B
3
??? A M B
例 2 试用向量的数量积证明：如果存在数 λ 1
,λ 2与 λ 3使单位坐标向量 e1, e2与 e3满足
,那么，一定有;并由此证明空间任意向量 a关于单位坐标向量的
分解式是唯一的,
证 设有数 λ 1,λ 2与 λ 3,使得
0eee ??? 332211 ??? 0321 ??? ???
0eee ??? 332211 ???
由于 e1, e2,e3是互相垂直的单位向量,
所以
从而
即
类似地有
1,0 113121 ?????? eeeeee
? ?
1
313212111
3322111
0
?
???
???
?
??????
????
eeeeee
eeee
01 ??
032 ?? ??
设 a向量有两个分解式
那么
根据已证明的结果可得
即
所以，向量 a关于 e1, e2与 e3的分解式是唯一的,
312111 eeea zyx ??? 322212 eeea zyx ???
? ? ? ? ? ? 0eee ?????? 312212112 zzyyxx
0121212 ?????? zzyyxx
.,,121212 zzyyxx ???
二、向量的向量积
力矩问题,O为杠杆 L
的支点,力 F作用于 P,F对
O的力矩是一向量 M,
M的方向垂直于 与 F所决定的平面，且
, F,M 满足右手规则。
O P L
Q
F
?s i nFFM OPOQ ??
OP
OP
θ
1、定义
两向量 a与 b的向量积 a× b是一个向量,满足
（ 1）模
（ 2） a× b的方向 垂直于 a与 b所决定的平面，且
a,b,a× b符合右手规则。
模的几何意义,以 a,b为
邻边的平行 四边形面积。;s in ?ba?? ba
a× b
a
b
θ |b|sinθ
2、运算律
（ 1）
（ 2）分配律
（ 3）结合律
cbcac ?????? )( ba;baab ????
? ? bcacbac ??????
? ? ? ? ? ?bababa ????? ???
3、结论
（ 1） a× a = 0
（ 2）
4,向量积的坐标表示式
设向量 a = (x1,y1,z1),b = (x2,y2,z2),
则
0// ??? baba
? ? ? ?
? ?
32121
2212112121
e
eeba
xyyx
zxxzyzzy
??
?????
证 )()(
222111 321321 eeeeeeba zyxzyx ???????
? ? ? ? ? ?312121211121 eeeeee ?????? zxyxxx
? ? ? ? ? ?322122211221 eeeeee ?????? zyyyxy
? ? ? ? ? ?332123211321 eeeeee ?????? zzyzxz
? ? ? ?
? ? 32121
2212112121
e
ee
xyyx
zxxzyzzy
??
????
-e1
e
3
0
0
0
-e2
-e3 e
1
e
2
向量积的坐标表示式的行列式形式
例 3 设 a = (2,1,-1),b = (1,-1,2),计算 a× b,
解
222
111
321
zyx
zyx
eee
ba ??
321
321
35
211
112 eee ???
?
???
eee
ba
例 4 已知三角形 ABC的顶点分别是 A(2,1,3)
,B(1,4,5),C(1,-2,1),求三角形 ABC的面积,
解
由于
因此
于是
ACABS A B C ???
2
1
? ? ? ?,2,3,1,2,3,1 ?????? ACAB
32
64
231
231 ee
eee
321
???
???
??? ACAB
? ? 1364
2
1|64| 22
32 ???????? eeABCS
三,向量的混合积
1、定义
称数 (a× b) ? c为三向量 a,b,c的混合积,
记作（ a,b,c）,
2、混合积绝对值的几何意义
以向量 a,b,c为邻边的平行
六面体的体积。
a
b
a× b
c
3、运算律
对调相邻因子，混合积变号。即
(a× b) ? c = - (b× a) ? c = - (a× c) ? b
= (b× c) ? a = (c× a) ? b = - (c× b) ? a
4、混合积的坐标表示式
设向量 a = (x1,y1,z1),
b = (x2,y2,z2),
c = (x3,y3,z3),
则
或
? ? ? ? cbacba ???，，
22
11
3
22
11
3
22
11
3
yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
x ???
333
222
111
),,(
zyx
zyx
zyx
cba ?
5、结论
三向量 a,b,c共面
例 5 导出四点 Ai (xi,yi,zi) (i = 1,2,3)在同一平
面上的条件,
解 向量 共面即是四点共面,
因此 Ai (i = 1,2,3)在同一平面上的充要条件是
0)( ???? cba
413121 AAAAAA,、
0
141414
131313
121212
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
例 6 已知四点 A(1,0,0),B(4,4,2),C(4,5,-1)
,D(3,3,5),求四面体 ABCD的体积,
解 由立体几何知道，四面体的体积 V等于以向
量 为棱的平行六面体的体积的六分之
一，即有
ADACAB,、
),,(
6
1
ADACABV ?
由于
所以
从而
,)5,3,2(
,)1,5,3(
,)2,4,3(
?
??
?
AD
AC
AB
14
532
153
243
),,( ???ADACAB
3
7
14
6
1
???V