1,分块矩阵的概念
对于矩阵 A,采用一种分法, 即用若干条纵线和横线分成一
些小矩阵, 每一个小矩阵称为 A的子块, 以子块为元素的形
式上的矩阵称为分块矩阵, 在进行行数与列数较大的矩阵
的运算时, 常将矩阵分块, 以便使运算简化,
例如 3× 4矩阵
分成子块的分法很多, 下面举出其中的三种分法,
（ 1）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
第三节 分块矩阵及其运算
（ 3）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
???
???
???
（ 2）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
由分法 （ 1） 可以得出 22的分块矩阵
其中
???
?
???
??
2221
1211
AA
AA
A
???
?
???
??
2221
1211
11 aa
aa
A ??
?
?
???
??
2423
1413
12 aa
aa
A
? ?323121 aaA ? ? ?343322 aaA ?
即 为 A的子块, 而 A是以这些子块为元素的形
式上的矩阵, 类似地, 也可以写出对应于分法 （ 2） 及 （ 3 ）
的分块矩阵, 矩阵分块时, 要适当地选择分法, 使一些子块
为便于运算的特殊矩阵, 如单位矩阵, 零矩阵, 上 （ 下 ） 三
角形矩阵等,
例如, 对矩阵
22211211,,,AAAA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1400
3110
2001
A
选择如下的分法
便可以得分块矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1400
3110
2001
?
?????
?
?
A
???
?
???
??
? 221
12
A
AI
A
0
其中,,
?
?
?
?
???
?
?
?
31
20
1A ? ?142 ?A
还有一些常用的分块矩阵, 我,们介绍其中的几种,
在矩阵 中, 以它的行为子块,可得
分块矩阵
,
? ? nmijaA ?? 1?m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
2
1
a
a
a
?
A
其中,,
? ?inii aaa ?21?ia ),,2,1( mi ??
在矩阵 中,以它的列为子块, 可得 分块矩阵
,
其中,,
设 A为 n阶矩阵, 如果 A的主对角线上的子块都是矩阵, 其
余子块都是零矩阵, 即
其中 都是方阵, 那么 A称为分块对角
矩阵 （ 或者准对角矩阵 ）,
显然, 对角矩阵是特殊的分块对角矩阵,
? ? nmijaA ?? n?1
? ?nA bbb,,,21 ??
? ??? mjjj aaa ?21jb ),,2,1( nj ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sA
A
A
A
?
2
1
? ?siA i,,2,1 ??
2,分块矩阵的运算
分块矩阵的运算与普通矩阵的运算类似，分别叙述如下,
(1)设矩阵 A与 B是同型的矩阵，对它们采用相同的分法，有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
AA
AA
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
BB
BB
B
?
???
?
1
111
,
其中 与 为同型矩阵,那么
ijA ijB ),,2,1;,,2,1( rjsi ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
srsrss
rr
BABA
BABA
BA
?
???
?
11
111111
(2) 设,为数，那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
AA
AA
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
AA
AA
A
??
??
?
?
???
?
1
111
(3) 设 A为 矩阵,B为 矩阵,分别给 A与 B一种分法,
得
lm? nl?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sts
t
AA
AA
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
trt
r
BB
BB
B
?
???
?
1
111
其中 的列数分别等于 的行数,
那么
,
其中,
itii AAA,,,21 ? tjjj BBB,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
CC
CC
AB
?
???
?
1
111
??
?
t
k
kjikij BAC
1
),,2,1;,,2,1( rjsi ?? ??
例 12 设矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1011
0121
0010
0001
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0211
1401
1000
0100
B
求,
AB
解 分别把 A,B分块成
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
IA
I
A
1
1011
0121
0010
0001
0
?
?
?????
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
21
0211
1401
1000
0100
BB
I
B
0
那么
而
从而
??
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
211211 BAB
I
BB
I
IA
I
AB
000
???
?
???
??
???
?
???
??
???
?
???
? ???
13
33
02
14
11
21
21 BA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1311
3301
1000
0100
?
?
?????
?
?
AB
例 13 设分块对角矩阵
具有相同的分法, 即与 为 同型矩阵, 求,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sA
A
A
A
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sB
B
B
B
?
2
1
iA iB ? ?si,,2,1 ??
AB
解 由分块矩阵的乘法, 得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ssss BA
BA
BA
B
B
B
A
A
A
AB
???
22
11
2
1
2
1
（ 4）设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
srs
r
AA
AA
A
?
???
?
1
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
T
sr
T
r
T
s
T
AA
AA
A
?
???
?
1
111
（ 5） 设分块对角矩阵
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sA
A
A
A
?
2
1
那么 A为可逆矩阵的充分必要条件是所有 都是
可逆矩阵, 并且当 A为可逆矩阵时, 有
? ?siA i,,2,1 ??
，则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
1
s
A
A
A
A
?
例 14 设,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
100
210
002
A 1?A
解
由 § 2,例 11,为可逆矩阵,且,易知 也为可逆
矩阵,
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
100
210
002
A
A
A
0
0
?
?
????
?
2A ??
?
?
???
???
10
211
2A 1A
且,
??
??
?
???
2
11
1A
求
因此,A为可逆矩阵，并且有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
210
00
2
1
1
2
1
11
?
?
????
?
A
A
A
,