§ 2 二次型的标准形
一、二次型的标准形
二,用正交变换法化二次型为标准形
三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
四、二次曲面的化简
一、二次型的标准形
设 ),,,(
21 nxxxf ?
2222211 nn xkxkxk ???? ?
那么 ),,,( 21 nxxxf ? 称为二次型的标准形（或法式）,
设由变量 nxxx,,,21 ? 到变量 nyyy,,,21 ? 的一个线
性变换为
?
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?
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?
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????
????
????
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
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2211
22221212
12121111
（ 8.５）
记
，
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n
x
x
x
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2
1
x,
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n
y
y
y
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2
1
y
，
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nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
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???
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21
22221
11211
那么线性变换（ 8.５）可写成矩阵形式
yx C?
如果 C 的元素全为实数，那么变换 yx C? 称为实
线性变换．这里，我们只考虑实的线性变换（简称线
性变换）．当
C 为满秩矩阵时，变换 yx C? 称为满秩
线性变换；当 C 为正交矩阵时，变换 yx C? 称
为正交变换,
对于二次型，我们讨论的主要问题是：如何寻
求一个满秩线性变换，使二次型化为只含有平方项
的二次型，从而得到二次型的标准形．当然首先要
考虑的问题是二次型 经过满秩线性变换 xx Af T?
yx C? 后，其结果是否仍是一个二次型？
定理 8.1 任意实二次型 xx Af T? 经过满秩线性
变换 yx C? 后仍是一个二次型，并且它的秩不改变,
证明 把所作的满秩线性变换 yx C? 代入二次型
中，那么有
，yyyyyyxx BACCCACAf ????? ???? )()()(
其中,ACCB ?? 且
,)()( BACCCACACCB ???? ????????
即 B 是对称矩阵．由二次型与对称矩阵的一一对
应关系可知,yy B? 仍是一个二次型,
因为 C 为满秩矩阵，所以有
)()()( ARACCRBR ?? ? 证毕
定义 8.2 对于两个 n 阶矩阵 A B与,如果存在
n 阶可逆矩阵 C,使得
ACCB ??
那么称矩阵 A 与矩阵 B 合同,
合同是矩阵之间的一种关系．不难验证，矩阵的
合同关系是等价关系,
要使二次型 xx Af T? 经过满秩线性变换 yx C?
化成标准形，也就是使
22
22
2
11)( nn ykykykACCA ?????
??? ?yyxx
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nn
n
y
y
y
k
k
k
yyy
??
?
2
1
2
1
21
这个问题从矩阵的角度来说，就是对于一个实对
称矩阵 A,寻求一个可逆矩阵
矩阵，即
C,使得 ACC? 为对角
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n
k
k
k
ACC
?
2
1
此时，实对称矩阵 A与对角矩阵合同,
由第七章定理 7.5知，任给实对称矩阵
矩阵
,总有正交 A
C,使
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??
n
ACCACC
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2
1
1
其中
n???,,,21 ? nA 的是
二次型，就有
个特征值．把这个结果用于
定理 8.2 任给实二次型 xx Af T?,总有正交变换
yx C?,使 f 化为标准形
便有
n???,,,21 ? nAf 的的矩阵是 个特征值,
下面通过举例介绍化二次型为标准形的两种常
用方法,
二,用正交变换法化二次型为标准形
例 1 求一正交变换 yx C?,将实二次型
323121232221321 4844),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
解 二次型的矩阵为
化为标准形,
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??
??
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124
242
421
A
它的特征多项式为
124
242
421
||
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??
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? AI
计算特征多项式
,)4()5(
324
442
001
)5(
124
242
101
)5(
124
242
505
2
)5(
13
1
31
???
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???
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??
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??
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cc
r
rr
AI
于是 A 的特征值为 4,5
321 ???? ???
对于 521 ?? ??,对应的齐次线性方程组为
0x ?? )5( AI,即
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0
0
0
424
212
424
3
2
1
x
x
x
它的一个基础解系为
，
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0
2
1
1
ξ,
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1
0
1
2
ξ
把,1ξ 2ξ 正交化，得
，
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0
2
1
1b
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1
5
2
5
4
2
b
再单位化，得
，
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0
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2
5
1
1
e
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53
5
53
2
53
4
2
e
对于 43 ???,对应的齐次线性方程组为
0x ??? )4( AI,即
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0
0
0
524
282
425
3
2
1
x
x
x
它的一个基础解系为
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2
1
2
3ξ
把
3ξ
单位化，得
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3
2
3
1
3
2
3
e
记
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??
3
2
53
5
3
1
53
2
5
2
3
2
53
4
5
1
321
0
)( eeeC
便有
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??
??
4
5
5
1
ACCACC
对于实二次型 xx Af ??,作正交线性变换
yx C?,那么二次型就化为标准形
2
3
2
2
2
1 455 yyyf ???
三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
例 2 用配方法化实二次型
233222312121321 6342),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
解 由于 f 中含变量
1x
的平方项，所以把含 1x
的项归并在一起配方，可得
23322223223232121321 63)2(])2()2(2[),,( xxxxxxxxxxxxxxxf ??????????
232341231613221222321 3)(4)2( xxxxxxxxx ????????
23411234122321 )(4)2( xxxxxx ??????
令
?
?
?
?
?
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??
???
33
34
1
22
3211 2
xy
xxy
xxxy
即
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??
???
33
34
1
22
34
9
211
yx
yyx
yyyx
记
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?
?
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?
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?
100
10
11
4
1
4
9
C
那么 01|| ??C,所求的满秩线性变换为
?
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3
2
1
4
1
4
9
3
2
1
100
10
11
y
y
y
x
x
x
于是 2
3411
2
2
2
1 4 yyyf ???
例 3 用配方法化实二次型
323121321 622),,( xxxxxxxxxf ???
为标准形，并求出所用的满秩线性变换,
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
100
011
011
1C 02|| 1 ???C，
代入得
3213212121 )(6)(2))((2 yyyyyyyyyyf ???????
32312221 8422 yyyyyy ????
这时，在 f 中含有
1y
的平方项，可把含
1y
的项归
并在一起配方，得
233222233121 282)2(2 yyyyyyyyf ??????
解 在 f 中不含平方项，但含有
21xx
乘积项，因此
先作一个满秩线性变换，使它出现平方项．令
?
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?
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??
??
33
212
211
yx
yyx
yyx
即
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1
100
011
011
y
y
y
x
x
x
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2
1
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3
2
1
y
y
y
C
x
x
x
或
23233222231 6)44(2)(2 yyyyyyy ??????
23232231 6)2(2)(2 yyyyy ?????
令
?
?
?
?
?
?
??
??
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
即
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?
?
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??
??
33
322
311
2
zy
zzy
zzy
写成矩阵形式得
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1
3
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1
100
210
101
z
z
z
y
y
y
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z
z
z
C
y
y
y
或
其中
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100
210
101
2
C 01|| 2 ??C，
于是
2
3
2
2
2
1 622 zzzf ???
这里将实二次型化为标准形经过两次满秩线性变换
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1
3
2
1
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y
y
C
x
x
x
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3
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1
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1
z
z
z
C
y
y
y
，
于是 zx 21CC? 就是将二次型化为标准形所用的的满秩
线性变换，其中变换矩阵为
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100
111
311
100
210
101
100
011
011
21 CCC
? ?0221 ???? CCC
一般地，任意二次型都可用例１与例 2的方法找到
满秩线性变换，把二次型化为标准形,
四、二次曲面的化简
利用化二次型为标准型的方法，可将二次曲面的方程
化简，从而判断二次曲面的类型,
例 4 化简下列二次曲面的方程，并判断方程表示
什么曲面,
054242222 ???????? zyxxzzyx
解 先将二次型 xzzyx 2222 ??? 标准化,
根据二次型的标准化方法，作下列正交变换
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2
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0
001
2
2
2
2
0
z
y
x
z
y
x
二次型 xzzyx 2222 ??? 化为 2/2/ )(2)( yx ?,从而
二次曲面的方程化为
06224)(2)( //2/2/ ????? xyyx
对其配方可得 010)2(2)1( 2/2/ ????? yx
再令
??
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??
??
2
1
///
///
yy
xx,原方程化为 10)(2)( 2//2// ?? yx
因此，原方程表示的曲面为椭圆柱面,