实例一 隐性连锁基因问题
实例二 最小二乘法
§ 4 应用实例
实例一 隐性连锁基因问题
隐性连锁基因是位于
X
染色体的基因，例如,
蓝、绿色盲是一种隐性连锁基因．为了 描述某地居民
中色盲情况给出的数学模型，需将这些居民分成 男性
与女性两类，以 和
? ?02x
分别表示该地男性与女性居
民人口中具有色盲基因的比例（因色盲基因是隐性的,
色盲基因的实际比例将小于
? ?01x
）．因男性从母亲接
受一个
X
染色体，故第二代色盲男性的比例
? ?02x
??11x 与第
一代女性居民的隐性基因比例相等；因女性从父母双
方各接受一个
X
染色体，第二代具有色盲基因的女性
的比例 ??1
2x
应为 ? ?01x 与 ? ?02x 的平均值，故
? ? ? ?,1
1
0
2 xx ?
? ? ? ? ? ?1
2
0
2
0
1 2
1
2
1 xxx ??
假定 ? ? ? ?0201 xx ?,且以下每一代比例不变，将该系统写
成矩阵方程
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1
2
1
1
0
2
0
1
2
1
2
1
10
x
x
x
x
以 A 表示系数矩阵，以 ? ? ? ? ? ?? ??? nnn xx 21,x 表示在第
1?n 代男性与女性居民中色盲基因的比 例的列向量
那么
? ? ? ?0xx nn A?
A 的特征值为 1
1 ??
与,相应的特征向量为
2
1
2 ???
，因而有 ? ? ? ??? ??? 1,2,1,1 21 ξξ
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01
11
21
A
于是
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1
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2
1
0
01
11
21
x
x
n
n
x
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0
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1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
3
1
x
x
nn
nn
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0
2
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2
2
3
1
21
21
3
1
lim
xx
xx
x
xn
n
x
当世代增加时，在男性与女性中具有色盲基因的比例将
趋于相同的值（上述讨论在很长一段时间内没有外来居
民的假定下是合理的）．假定男性色盲基因比例是 p
那么女性中的比例
,
也是 p
计色盲妇女的比例将是
，因为色盲是隐性的,可以预
2p,
实例二 最小二乘法
在科学技术的很多领域，往往要从一组实验数据
),,2,1(),( miyx ii ?? 出发，寻找自变量 x 与因变量
的函数关系
y 之间
)(xfy ?,由于所观察的数据量大而且带
有误差，所以没有理由要求函数 )(xfy ? 经过所有的
点 ),( ii yx,人们关心的是这些数据的变化趋势及 其所 总
体规律的函数 )(xf 的方法之一就是最小二乘法，函数
)(xf 称为数据 ),,2,1(),( miyx ii ?? 的拟合函数,
设实验数据如下表所示，求拟合函数 )(xf
x
y
1x
1y
2x
2y
设拟合函数
…
mx
my
?
?
???????
n
j
j
j
n
n xaxaxaxaa)x(fy
0
2
210 ?
定义关于待定系数 na,,a,a ?10 的误差平方函数
2
1 01
2
10 ][])([),,,( ? ??
? ??
????
m
i
n
j
i
j
ij
m
i
iin yxayxfaaaS ?
求 naaa,,,10 ?,使 ),,,(
10 naaaS ?
最小
为求 ),,,( 10 naaaS ? 的最小值点,
…
令 ),,2,1,0(0 nk
a
S
k
???
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于是得关于
naaa,,,10 ?
naaa,,,10 ?
的方程组（正规方程组）
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k
m
k
n
k
m
k
k
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxm
1
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
11
?
?
?
???
?
?
解这个方程组，便得 的值，从而求得拟
合函数 )(xf
例如 已知一组实验数据如下所示，求它的拟合曲线,
1 2 3 4 5
4 4.5 6 8 9
解 设拟合函数,)( 2210 xaxaaxf ???
正规方程组为
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4 2 9
1 0 8
5.31
9 7 92 2 555
2 2 55515
55155
2
1
0
a
a
a
解之得 1 0 7 1.0,7 0 7 1.0,0 0 0 0.3
210 ??? aaa
所以,1 0 7 1.07 0 7 1.03)( 2xxxf ???
x
y