一、正定二次型的概念
二,正定二次型的判定
§ 3 正定二次型
一、正定二次型的概念
二次型的标准形显然不是唯一的，只是在标准形
中所含的非零项的个数是确定的（即是二次型的秩）,
不仅如此，如果限制变换为实满秩线性变换，那么标
准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也
不变 )．也就是有
定理 8.3 设有实二次型 xx Af T?,它的秩为
r,分别作两个实的满秩线性变换
与yx 1C? zx 2C?
得 )0(2222211 ????? irr kykykykf ?
及 )0(22
22211 ????? irr lzlzlzlf ?
那么 rkkk,,,21 ? 中正数的个数与
r???,,,21 ?
中正数的个数相等,
这个定理称为惯性定理，它的证明从略,
应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正
)( nr ? 或全为负的二次型，它的定义叙述如下,
定义 8.3 设有实二次型 xx Axxxf T
n ?),,,( 21 ?
如果对于任意一组不全为零的实数
,
nn cxcxcx ???,,,2211 ?
都有 0),,,( 21 ?ncccf ?,那么 ),,,( 21 nxxxf ? 称为正定二次型
它的矩阵 A 称为正定矩阵 ;如果对于任意一组不
全为零的实数
nn cxcxcx ???,,,3211 ?
，都有
0),,,( 21 ?ncccf ?,那么 ),,,( 21 nxxxf ?
负定二次型，它的矩阵称为负定矩阵,
称为
二,正定二次型的判定
定理 8.4 实二次型
，其中
xx Axxxf n ??),,,( 21 ?
必要条件是
为正定的
),,2,1(0 nia ii ??? )( ijaA ?
证 因为 xx Axxxf
n ??),,,( 21 ?
以对于任意一组不全为零的实数
是正定二次型，所
nn cxcxcx ???,,,2211 ?
都有 0),,,( 21 ?ncccf ?
取 1,0111 ??????? ?? inii xxxxx ??
于是 ?)0,,0,1,0,,0( ??f ),,2,1(0 nia
ii ???
必须指出，定理 8.4只是实二次型为正定的必要条
件，但不是充分条件．例如实二次型
证毕
32
2
3
2
2
2
1321 622),,( xxxxxxxxf ????
其中 02,02,01
332211 ?????? aaa
但是
),,( 321 xxxf
0111612121)1,1,1( 222 ???????????f
根据定义８,３知,不是正定二次型,
定理 8.5 实二次型 xx Axxxf n ??),,,( 21 ?
必要条件是它的标准型中
为正定的充分
n 个系数全为正,
证 设满秩线性变换 yx C? 使
?
?
?
n
i
iin ykxxxf
1
2
21 ),,,( ?
先证明充分性,设,那么 ),,2,1(0 nik i ???,任给 0x?
0xy ?? C,故
?
?
??
n
i
iin ykxxxf
1
2
21 0),,,( ?
再证明必要性,用反证法．设 )(
ijcC ?
．假设有
0?lk,那么当 ? ???? 0,,0,1,0,,0 ??ley （单位坐标向量）,
0),,,( 21 ?? lnlll kcccf ?,显然 0e ?? ?),,,( 21 nllll cccC ?,
这与 ),,,(
21 nxxxf ?
为正定相矛盾．所以 ),,2,1(0 nik
i ???
推论 实二次型 xx Axxxf n ??),,,( 21 ? 为正定的
充分必要条件是它的矩阵的特征值全为正,
定义 8.4 设 )( ijaA ? 为 阶矩阵，那么位于的左 n
上角的主子式
iiii
i
i
i
aaa
aaa
aaa
d
?
???
?
?
21
22221
11211
?
称为矩阵 A 的 i 阶顺序主子式,
定理 8.６ 实二次型 xx Af T? 为正定的充分
必要条件是 f A的矩阵 的各阶顺序主子式全为正；
f 为负定的充分必要条件是矩阵 A
主子式全为负，而偶数阶顺序主子式全为正,
的奇数阶顺序
例 5 判断下列实二次型是否为正定二次型,
这个定理称为霍尔维茨定理，它的证明从略,
（ 1） 323121232221321 43253),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
（ 2） 323121232221321 242322),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
（ 3） 3221232221321 4242),,( xxxxxxxxxxf ?????
解 （ 1）因为 122 ??a,根据定理 8.4,),,(
321 xxxf
不是正定二次型；
2） 二次型的矩阵 A 为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
312
121
212
A
矩阵 A 的各阶顺序主子式为
0314
21
12,02
21 ??????? dd
03
100
121
212
312
121
212
||3 ???
?
?
??
?
?
?? Ad
所以,),,( 321 xxxf 为正定二次型,
（ 3）二次型的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
420
221
011
A
矩阵 A 的各阶顺序主子式
01
21
11
,01 21 ????? dd
0
420
210
011
420
221
011
||3 ???? Ad
所以,),,(
321 xxxf
不是正定二次型,
t例 6 当 取何值时，实二次型
323121232221321 42232),,( xxxxxtxxxxxxxf ??????
是正定二次型,
解 已知实二次型的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
321
22
11
t
t
A
为了使 ),,(
321 xxxf
为正定二次型,A
式都应大于零，即
的各阶顺序主子
02
2
1
,01 221 ?????? t
t
t
dd
0232
0222
11
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22
11
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3
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??
?
?
?
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??
t
tt
t
t
t
Ad
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t
tt
0)43(
232
222
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?
??
??
由
?
?
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??
??
0)43(
02 2
tt
t
可得
034 ??? t
,
于是当 0
34 ??? t
时,
二次型,
),,( 321 xxxf
为正定
二,正定二次型的判定
§ 3 正定二次型
一、正定二次型的概念
二次型的标准形显然不是唯一的，只是在标准形
中所含的非零项的个数是确定的（即是二次型的秩）,
不仅如此，如果限制变换为实满秩线性变换，那么标
准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也
不变 )．也就是有
定理 8.3 设有实二次型 xx Af T?,它的秩为
r,分别作两个实的满秩线性变换
与yx 1C? zx 2C?
得 )0(2222211 ????? irr kykykykf ?
及 )0(22
22211 ????? irr lzlzlzlf ?
那么 rkkk,,,21 ? 中正数的个数与
r???,,,21 ?
中正数的个数相等,
这个定理称为惯性定理，它的证明从略,
应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正
)( nr ? 或全为负的二次型，它的定义叙述如下,
定义 8.3 设有实二次型 xx Axxxf T
n ?),,,( 21 ?
如果对于任意一组不全为零的实数
,
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都有 0),,,( 21 ?ncccf ?,那么 ),,,( 21 nxxxf ? 称为正定二次型
它的矩阵 A 称为正定矩阵 ;如果对于任意一组不
全为零的实数
nn cxcxcx ???,,,3211 ?
，都有
0),,,( 21 ?ncccf ?,那么 ),,,( 21 nxxxf ?
负定二次型，它的矩阵称为负定矩阵,
称为
二,正定二次型的判定
定理 8.4 实二次型
，其中
xx Axxxf n ??),,,( 21 ?
必要条件是
为正定的
),,2,1(0 nia ii ??? )( ijaA ?
证 因为 xx Axxxf
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以对于任意一组不全为零的实数
是正定二次型，所
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于是 ?)0,,0,1,0,,0( ??f ),,2,1(0 nia
ii ???
必须指出，定理 8.4只是实二次型为正定的必要条
件，但不是充分条件．例如实二次型
证毕
32
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1321 622),,( xxxxxxxxf ????
其中 02,02,01
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但是
),,( 321 xxxf
0111612121)1,1,1( 222 ???????????f
根据定义８,３知,不是正定二次型,
定理 8.5 实二次型 xx Axxxf n ??),,,( 21 ?
必要条件是它的标准型中
为正定的充分
n 个系数全为正,
证 设满秩线性变换 yx C? 使
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推论 实二次型 xx Axxxf n ??),,,( 21 ? 为正定的
充分必要条件是它的矩阵的特征值全为正,
定义 8.4 设 )( ijaA ? 为 阶矩阵，那么位于的左 n
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22221
11211
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称为矩阵 A 的 i 阶顺序主子式,
定理 8.６ 实二次型 xx Af T? 为正定的充分
必要条件是 f A的矩阵 的各阶顺序主子式全为正；
f 为负定的充分必要条件是矩阵 A
主子式全为负，而偶数阶顺序主子式全为正,
的奇数阶顺序
例 5 判断下列实二次型是否为正定二次型,
这个定理称为霍尔维茨定理，它的证明从略,
（ 1） 323121232221321 43253),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
（ 2） 323121232221321 242322),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
（ 3） 3221232221321 4242),,( xxxxxxxxxxf ?????
解 （ 1）因为 122 ??a,根据定理 8.4,),,(
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不是正定二次型；
2） 二次型的矩阵 A 为
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不是正定二次型,
t例 6 当 取何值时，实二次型
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是正定二次型,
解 已知实二次型的矩阵为
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