1
2
§ 4–1 引言
§ 4–2 外力偶矩和扭矩
§ 4–3 薄壁圆筒的扭转
§ 4–4 圆轴扭转时的应力 · 强度计算
§ 4–5 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算
§ 4–6 非圆截面杆扭转简介
第四章 扭 转
*圆轴扭转超静定问题
3
§ 4–1 引 言
轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。
受力特点,在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶,
A B O
m m
? O B A ?
变形特点,任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线 ~螺
旋线 ~扭转变形）
4
扭转角 (相对扭转角 )（ ?）,任意两横截面绕轴线转动而
发生的角位移。
剪应变 (切应变 )（ ?）,直角的改变量。
m m
? O B A ?
5
工
程
实
例
6
§ 4–2 外力偶矩和扭矩
一、外力偶矩
m)( k N559 ?? nP.m
m)( k N0 2 47 ?? nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1kW = 1000N·m/s = 1.36PS
使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外
力对杆轴的力矩。
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系,
7
3 扭矩的符号规定,
, T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
m m
m T
mT
mT
m x
?
??
??
0
0
x
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
8
4 扭矩 图,表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。
目
的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
?
9
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩
图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
??
??? nP.m
m)( k N 7843001509, 5 5559 232 ??????,nP.mm
m)( k N 3763002009, 5 5559 44 ?????,nP.m
10
n
A B C D
m2 m3 m1 m4 1
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
?????
????
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
?????????
???
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
???
??
.mT
mT
求扭矩, 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力
偶矩的代数和, 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反,
11
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x ??,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
?
–
–
12
§ 4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt ? （ r0,为平均半径）
一、实验,
1.实验前,
① 绘纵向线，圆周线；
② 施加一对外力偶 m。
13
2.实验后,
① 圆周线的大小、形状、
间距不变； ②纵
向线变成斜直线,倾
角相同。
3.结论：① 各圆周线的间距均未改变 → 横截面上无正应力,
② 圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对
转动 → 周向无正应力
③ 纵向线倾斜 → 横截面上有切应力,
④ 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? → 切应力均匀分布,
14
? ?
a
c d
b ?
① 横截面上无正应力
②周向无正应力
③横截面上各点处，只产生
垂直于半径的均匀分布的切应力
?,沿周向大小不变，方向与该
截面的扭矩方向一致。 ?
?
微小矩形单元体如图所示,
15
二、薄壁圆筒切应力 ? 与剪应变 ?,
?
?
TrAA ???? 0d ?
A0：平均半径所作圆的面积。
TtrrAr A ???????? ? 000 2d ???
tA
T
tr
T
2 2 0 20 ??? ??
① 切应力
② 剪应变
LR
RL
/
???
???
??
??
m m
? O B A ?
16
三、切应力互等定理,
??
??
??
??????
??
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称为 切应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，切应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
? ? dy
?′
?′
t
z
?
17
四、剪切虎克定律,
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为 纯剪切应力状态。
薄壁圆筒体扭转实验
18
?
?
T=m
?
?? ?
)/( ) 2(
0 RLtA
T
??
?
??
?
剪切虎克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时
（ τ ≤τp) (在弹性范围内 )，切应力与剪应变成正比关系。
在一定范围内
19
?? ?? G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 ? 无
量纲，故 G的量纲与 ? 相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢
材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）,
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
)1(2 ???
EG
20
§ 4–4 圆轴扭转时的应力 · 强度计算
圆轴横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后
仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆轴扭转实验观察,
21
22
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力,
1,变形几何关系,
xx
GG
d
d
dtg 1
????
??
?????
xd
d ???
? ?
距圆心为 ? 任一点处的 ??与到圆心的距离 ?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率 (单位长度扭转角 )。
23
2,物理关系,
胡克定律,
代入上式得,
?? ?? G
xGxGG d
d
d
d ??????
?? ??????
xG d
d ???
? ?
距圆心等距离处的切应力相等
24
3,静力学关系,
O
dA
?
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
??
?
??
??
????
AI Ap d2???令
xGI T p d
d ?? pGI
T
x ? d
d ?
代入物理关系式 得,
xG d
d ???
? ?
pI
T ??
?
??
25
pI
T ??
?
?? —横截面上距圆心为 ?处任一点切应力计算公式。
4,公式讨论,
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
? —该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
26
单位,mm4,m4。
AI Ap d2???
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆,
只是 Ip值不同。
AI Ap d2???
对于实心圆截面,
D ?
d?
O
? ???? 20 2 d2
D
????
324
2
4
2
0
4 DD ??
? ??
27
对于空心圆截面,
AI Ap d2???
)( Dd??
d D O
?
d?
? ???? 2
2
2 d2
D
d ????
)1(32 4
4
?? ?? D
)(32 44 dD ?? ?
28
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料,
结构轻便，应用广泛。
29
⑤ 确定最大切应力,
pI
T ??
?
??由 知：当
,2DR ???
pI
D
T
2
m a x
?
?? ?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）,
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,163DRIW
pt ???
对于空心圆截面,16)1( 43 ?? ??? DRIW
pt
m a x ?? ? ?
2
D
I
T
p
? )2 (
DIW
W
T
pt
t
?? 令
30
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件,
沿横截面断开。
铸铁试件,
沿与轴线约成 45?的
螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
31
1,点 M的应力单元体如图 (b),
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d),
(d)
?
′
?
x
32
(d)
?
′
?
x
n
t
转角规定,
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程,
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF t
?? ??
解得,
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
33
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
分析,当 ? = 0° 时,???? ???
?? m a x00,0
当 ? = 45° 时,0,
45m i n45 ???? ?? ????
当 ? = – 45° 时,0,
45m a x45 ??? ???? ????
当 ? = 90° 时,???? ?????
?? m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的切应力为最大值；在
方向角 ? = ? 45?的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
论，就可解释前述的破坏现象。
34
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件,
对于等截面圆轴,
][ma x ?? ?
][m a x ??
tW
T ([?] 称为许用切应力。 )
强度计算三方面,
① 校核强度,
② 设计截面尺寸,
③ 计算许可载荷,
][m a xm a x ?? ??
tW
T
][m a x?
TW
t ?
][m a x ?tWT ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ）（空：
实：
4
3
3
116
16
??
?
D
D
W t
静载下, [?] = ( 0.5 ~ 0.6 ) [ ? ] ( 钢 )
[?] = ( 0.8 ~ 1.0 ) [ ? ] ( 铸铁 )
35
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图,
许用切应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
PmT
BC 55.9??
m)( k N55.1
m)( k N
604.15
15055.9
??
?
?
?
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核切应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a231607.0 1055.1 3
3
m a x ??? ???
???
tW
T
36
§ 4–5 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算
一、扭转时的变形
由公式
pGI
T
x ? d
d ?
知,长为 l一段等截面杆两截面间 相对扭转角 ? 为
值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
?
???? ??
单位, 弧度 (rad)
37
二、单位扭转角 q,
( r a d / m ) dd
pGI
T
x ??
?q
/ m )( 1 8 0 dd ???? ??q
pGI
T
x
或
三、刚度条件 ? ?
( r a d / m ) ' m a x ?q ??
pGI
T
? ? / m )( '1 8 0 m a x ???? ??q
pGI
T 或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
?q?称为许用单位扭转角。
38
刚度计算的三方面,
① 校核刚度,
② 设计截面尺寸,
③ 计算许可载荷,
? ? m a x qq ?
] [ m a x qGT I p ?
] [ m a x qpGIT ?
有时，还可依据此条件进行选材。
?q? 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。
精密机器轴,[q] = （ 0.15 ~ 0.30 ） o/m
一般传动轴,[q] = （ 0.30 ~ １,0 ） o/m
精度不高的轴,[q] = （ １,0 ~ ２,５ ） o/m
39
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8, G=80GPa,许用切应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 ?q??2o/m,试校核此杆的刚
度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t ?
116D 43 ）（ ?? ??tW
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得,
D ? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
?q
180m a x
m a x ??
PGI
T
41
40Nm
x
T
?q
180m a x
m a x ??
PGI
T ? ?q
?? ?????
??? ?89.1
)1(1080
1804032
4429 D
③ 右端面转角 为,
弧度）( 033.0
)4(
102040 2
0
22
00
?
??
?
?? ?? xx
GI
dx
GI
x
dx
GI
T
PP
L
P
?
42
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa, [? ]=70M Pa,?f′??1o/m,试确定,
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如图
,由强度条件得,
500 400
N1 N3 N2
A C B
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0 2 4.70 2 4.7 1AB ??? nNT
][m a xm a x ?? ??
tW
T
m)( k N21.40 2 4.7 3BC ??? nNT
43
][16
31
?
? TdW
t ??
? ? mm4.67107014.3
42101616 3
632 ???
?????
??
BCTd
] [ 32
4
q
?
G
TdI
p ??
? ? mm80107014.3
7 0 2 41616
3
631 ???
?????
??
ABTd
由刚度条件得,
500 400
N1 N3 N2
A C B
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
? ? ( r a d / m ) m a x qq ??
pGI
T
44
mm4.741108014.3 1 8 04 2 1 032] [ 32 4 9242 ???? ?????? q? G Td BC
mm841108014.3 180702432] [ 32 4 9241 ???? ??????? q? G Td AB
? ? ? ? mm75 mm85 21 ?? d,d综上,
② 全轴选同一直径时 ? ? ? ? mm85
1 ?? dd
45
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应
该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径
为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
46
圆轴扭转的超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤,
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
pGI
Tl??
47
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8,外径 D=0.0226m, G=80GPa，
试求固端反力偶。
解, ①杆的受力图如图示,
这是一次超静定问题。
平衡方程为,
02 ??? BA mmm
48
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程,
040220200 ???? ????
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 ??? Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20 ??Bm
49
§ 4–6 非圆截面杆扭转简介
非圆截面等直杆,平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空
间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不
适用，须由弹性力学方法求解。
50
一,自由扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相
邻截面的翘曲程度完全相同。
二,约束扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
的翘曲程度不同。
三,矩形杆横截面上的切应力,
h ?
b
h
? 1 T
? max
注意！ b
1,切应力分布如图,
（角点、形心、长短边中点）
(纵向纤维长度不变,无 ?,只有 ? )
（产生 ?, ? )
51
2,最大切应力及单位扭转角
m a x1 ??? ?
h ?
b
h
? 1 T
? max
注意！ b
m a xm a x
tW
T??
,
tGI
T?q
It—相当极惯性矩。
hbtW 2, ??其中
hbI t 3, ??其中
3
1 ; ) 10, ( ??? ??
b
h即对于狭长矩形
? 和 ? 可 查表求得。
52
[例 8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为,h = 100 mm,
b=50mm，长度 L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的
作用,钢的 G =80GPa, [?]=100M Pa,[q]=1o/m,试校核
此杆的强度和刚度。
解,①查表求 ?, ?
② 校核强度
0, 2 2 9 ; 0, 2 4 6 ; 2501 0 0 ????? ??bh
m1066105.01.02 4 6.0h 3622 ???????,btW ?
53
③ 校核刚度
? ??? ????? ? M P a6510661 4 0 0 0 6m a xm a x,WT
t
4833 m102 8 405.01.02 2 9.0 ??????? bhI t ?
? ?qq ???????? ? /m1r a d /m0 1 7 4 50102861080 4 0 0 0 o89,GI T
t
综上,此杆满足强度和刚度要求。
59
2
§ 4–1 引言
§ 4–2 外力偶矩和扭矩
§ 4–3 薄壁圆筒的扭转
§ 4–4 圆轴扭转时的应力 · 强度计算
§ 4–5 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算
§ 4–6 非圆截面杆扭转简介
第四章 扭 转
*圆轴扭转超静定问题
3
§ 4–1 引 言
轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。
受力特点,在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶,
A B O
m m
? O B A ?
变形特点,任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线 ~螺
旋线 ~扭转变形）
4
扭转角 (相对扭转角 )（ ?）,任意两横截面绕轴线转动而
发生的角位移。
剪应变 (切应变 )（ ?）,直角的改变量。
m m
? O B A ?
5
工
程
实
例
6
§ 4–2 外力偶矩和扭矩
一、外力偶矩
m)( k N559 ?? nP.m
m)( k N0 2 47 ?? nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1kW = 1000N·m/s = 1.36PS
使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外
力对杆轴的力矩。
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系,
7
3 扭矩的符号规定,
, T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
m m
m T
mT
mT
m x
?
??
??
0
0
x
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
8
4 扭矩 图,表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。
目
的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
?
9
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩
图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
??
??? nP.m
m)( k N 7843001509, 5 5559 232 ??????,nP.mm
m)( k N 3763002009, 5 5559 44 ?????,nP.m
10
n
A B C D
m2 m3 m1 m4 1
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
?????
????
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
?????????
???
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
???
??
.mT
mT
求扭矩, 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力
偶矩的代数和, 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反,
11
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x ??,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
?
–
–
12
§ 4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt ? （ r0,为平均半径）
一、实验,
1.实验前,
① 绘纵向线，圆周线；
② 施加一对外力偶 m。
13
2.实验后,
① 圆周线的大小、形状、
间距不变； ②纵
向线变成斜直线,倾
角相同。
3.结论：① 各圆周线的间距均未改变 → 横截面上无正应力,
② 圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对
转动 → 周向无正应力
③ 纵向线倾斜 → 横截面上有切应力,
④ 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? → 切应力均匀分布,
14
? ?
a
c d
b ?
① 横截面上无正应力
②周向无正应力
③横截面上各点处，只产生
垂直于半径的均匀分布的切应力
?,沿周向大小不变，方向与该
截面的扭矩方向一致。 ?
?
微小矩形单元体如图所示,
15
二、薄壁圆筒切应力 ? 与剪应变 ?,
?
?
TrAA ???? 0d ?
A0：平均半径所作圆的面积。
TtrrAr A ???????? ? 000 2d ???
tA
T
tr
T
2 2 0 20 ??? ??
① 切应力
② 剪应变
LR
RL
/
???
???
??
??
m m
? O B A ?
16
三、切应力互等定理,
??
??
??
??????
??
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称为 切应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，切应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
? ? dy
?′
?′
t
z
?
17
四、剪切虎克定律,
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为 纯剪切应力状态。
薄壁圆筒体扭转实验
18
?
?
T=m
?
?? ?
)/( ) 2(
0 RLtA
T
??
?
??
?
剪切虎克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时
（ τ ≤τp) (在弹性范围内 )，切应力与剪应变成正比关系。
在一定范围内
19
?? ?? G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 ? 无
量纲，故 G的量纲与 ? 相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢
材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）,
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
)1(2 ???
EG
20
§ 4–4 圆轴扭转时的应力 · 强度计算
圆轴横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后
仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆轴扭转实验观察,
21
22
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力,
1,变形几何关系,
xx
GG
d
d
dtg 1
????
??
?????
xd
d ???
? ?
距圆心为 ? 任一点处的 ??与到圆心的距离 ?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率 (单位长度扭转角 )。
23
2,物理关系,
胡克定律,
代入上式得,
?? ?? G
xGxGG d
d
d
d ??????
?? ??????
xG d
d ???
? ?
距圆心等距离处的切应力相等
24
3,静力学关系,
O
dA
?
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
??
?
??
??
????
AI Ap d2???令
xGI T p d
d ?? pGI
T
x ? d
d ?
代入物理关系式 得,
xG d
d ???
? ?
pI
T ??
?
??
25
pI
T ??
?
?? —横截面上距圆心为 ?处任一点切应力计算公式。
4,公式讨论,
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
? —该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
26
单位,mm4,m4。
AI Ap d2???
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆,
只是 Ip值不同。
AI Ap d2???
对于实心圆截面,
D ?
d?
O
? ???? 20 2 d2
D
????
324
2
4
2
0
4 DD ??
? ??
27
对于空心圆截面,
AI Ap d2???
)( Dd??
d D O
?
d?
? ???? 2
2
2 d2
D
d ????
)1(32 4
4
?? ?? D
)(32 44 dD ?? ?
28
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料,
结构轻便，应用广泛。
29
⑤ 确定最大切应力,
pI
T ??
?
??由 知：当
,2DR ???
pI
D
T
2
m a x
?
?? ?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）,
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,163DRIW
pt ???
对于空心圆截面,16)1( 43 ?? ??? DRIW
pt
m a x ?? ? ?
2
D
I
T
p
? )2 (
DIW
W
T
pt
t
?? 令
30
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件,
沿横截面断开。
铸铁试件,
沿与轴线约成 45?的
螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
31
1,点 M的应力单元体如图 (b),
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d),
(d)
?
′
?
x
32
(d)
?
′
?
x
n
t
转角规定,
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程,
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF t
?? ??
解得,
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
33
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
分析,当 ? = 0° 时,???? ???
?? m a x00,0
当 ? = 45° 时,0,
45m i n45 ???? ?? ????
当 ? = – 45° 时,0,
45m a x45 ??? ???? ????
当 ? = 90° 时,???? ?????
?? m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的切应力为最大值；在
方向角 ? = ? 45?的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
论，就可解释前述的破坏现象。
34
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件,
对于等截面圆轴,
][ma x ?? ?
][m a x ??
tW
T ([?] 称为许用切应力。 )
强度计算三方面,
① 校核强度,
② 设计截面尺寸,
③ 计算许可载荷,
][m a xm a x ?? ??
tW
T
][m a x?
TW
t ?
][m a x ?tWT ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ）（空：
实：
4
3
3
116
16
??
?
D
D
W t
静载下, [?] = ( 0.5 ~ 0.6 ) [ ? ] ( 钢 )
[?] = ( 0.8 ~ 1.0 ) [ ? ] ( 铸铁 )
35
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图,
许用切应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
PmT
BC 55.9??
m)( k N55.1
m)( k N
604.15
15055.9
??
?
?
?
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核切应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a231607.0 1055.1 3
3
m a x ??? ???
???
tW
T
36
§ 4–5 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算
一、扭转时的变形
由公式
pGI
T
x ? d
d ?
知,长为 l一段等截面杆两截面间 相对扭转角 ? 为
值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
?
???? ??
单位, 弧度 (rad)
37
二、单位扭转角 q,
( r a d / m ) dd
pGI
T
x ??
?q
/ m )( 1 8 0 dd ???? ??q
pGI
T
x
或
三、刚度条件 ? ?
( r a d / m ) ' m a x ?q ??
pGI
T
? ? / m )( '1 8 0 m a x ???? ??q
pGI
T 或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
?q?称为许用单位扭转角。
38
刚度计算的三方面,
① 校核刚度,
② 设计截面尺寸,
③ 计算许可载荷,
? ? m a x qq ?
] [ m a x qGT I p ?
] [ m a x qpGIT ?
有时，还可依据此条件进行选材。
?q? 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。
精密机器轴,[q] = （ 0.15 ~ 0.30 ） o/m
一般传动轴,[q] = （ 0.30 ~ １,0 ） o/m
精度不高的轴,[q] = （ １,0 ~ ２,５ ） o/m
39
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8, G=80GPa,许用切应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 ?q??2o/m,试校核此杆的刚
度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t ?
116D 43 ）（ ?? ??tW
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得,
D ? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
?q
180m a x
m a x ??
PGI
T
41
40Nm
x
T
?q
180m a x
m a x ??
PGI
T ? ?q
?? ?????
??? ?89.1
)1(1080
1804032
4429 D
③ 右端面转角 为,
弧度）( 033.0
)4(
102040 2
0
22
00
?
??
?
?? ?? xx
GI
dx
GI
x
dx
GI
T
PP
L
P
?
42
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa, [? ]=70M Pa,?f′??1o/m,试确定,
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如图
,由强度条件得,
500 400
N1 N3 N2
A C B
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0 2 4.70 2 4.7 1AB ??? nNT
][m a xm a x ?? ??
tW
T
m)( k N21.40 2 4.7 3BC ??? nNT
43
][16
31
?
? TdW
t ??
? ? mm4.67107014.3
42101616 3
632 ???
?????
??
BCTd
] [ 32
4
q
?
G
TdI
p ??
? ? mm80107014.3
7 0 2 41616
3
631 ???
?????
??
ABTd
由刚度条件得,
500 400
N1 N3 N2
A C B
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
? ? ( r a d / m ) m a x qq ??
pGI
T
44
mm4.741108014.3 1 8 04 2 1 032] [ 32 4 9242 ???? ?????? q? G Td BC
mm841108014.3 180702432] [ 32 4 9241 ???? ??????? q? G Td AB
? ? ? ? mm75 mm85 21 ?? d,d综上,
② 全轴选同一直径时 ? ? ? ? mm85
1 ?? dd
45
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应
该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径
为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
46
圆轴扭转的超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤,
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
pGI
Tl??
47
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8,外径 D=0.0226m, G=80GPa，
试求固端反力偶。
解, ①杆的受力图如图示,
这是一次超静定问题。
平衡方程为,
02 ??? BA mmm
48
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程,
040220200 ???? ????
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 ??? Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20 ??Bm
49
§ 4–6 非圆截面杆扭转简介
非圆截面等直杆,平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空
间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不
适用，须由弹性力学方法求解。
50
一,自由扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相
邻截面的翘曲程度完全相同。
二,约束扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
的翘曲程度不同。
三,矩形杆横截面上的切应力,
h ?
b
h
? 1 T
? max
注意！ b
1,切应力分布如图,
（角点、形心、长短边中点）
(纵向纤维长度不变,无 ?,只有 ? )
（产生 ?, ? )
51
2,最大切应力及单位扭转角
m a x1 ??? ?
h ?
b
h
? 1 T
? max
注意！ b
m a xm a x
tW
T??
,
tGI
T?q
It—相当极惯性矩。
hbtW 2, ??其中
hbI t 3, ??其中
3
1 ; ) 10, ( ??? ??
b
h即对于狭长矩形
? 和 ? 可 查表求得。
52
[例 8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为,h = 100 mm,
b=50mm，长度 L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的
作用,钢的 G =80GPa, [?]=100M Pa,[q]=1o/m,试校核
此杆的强度和刚度。
解,①查表求 ?, ?
② 校核强度
0, 2 2 9 ; 0, 2 4 6 ; 2501 0 0 ????? ??bh
m1066105.01.02 4 6.0h 3622 ???????,btW ?
53
③ 校核刚度
? ??? ????? ? M P a6510661 4 0 0 0 6m a xm a x,WT
t
4833 m102 8 405.01.02 2 9.0 ??????? bhI t ?
? ?qq ???????? ? /m1r a d /m0 1 7 4 50102861080 4 0 0 0 o89,GI T
t
综上,此杆满足强度和刚度要求。
59
