§ 5–1 静矩和 形心
§ 5–2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径
§ 5–3 平行移轴公式
§ 5–4 转轴公式 * 主惯性轴 主惯性矩
第五章 平面图形的几何性质
§ 5-1 静矩和形心
一、面积（对轴）矩,(与力矩类似 )
是面积与它到轴的距离之积（用 S表示）。
yAS x ??dd
xAS y ??dd
??
??
??
??
AA
yy
AA
xx
AxSS
AySS
dd
dddA
x
y
y
x
微面积 dA对 X轴的静矩
微面积 dA对 Y轴的静矩
x
y
C yAS xAS
x
y
?
?or
量钢,L3
如 S=0 ? 轴过形心
二、组合截面的静矩与形心,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
Ay
y
A
Ax
x
ii
ii
xAxAS
yAyAS
ii
n
i
y
ii
n
i
x
??
??
?
?
?
?
1
1
整个图形对某轴的静矩,等于图形各部分对同轴静矩的
代数和（由静矩定义可知）
则 i
n
i
AA ?
?
?
1
:如
∴
21
21 21
AA
AxAx
A
Axx ii
?
??? ?
3.20108011010 1101035 ????? ????
21
21 21
AA
AyAy
A
Ayy ii
?
??? ?
例 1 试确定下图的形心坐标。
解, 1.用正面积法求解，图形分割
及坐标如图 (a)
80
120
10
10
x
y
C2
图 (a)
C1
C1(0,0)
C2(-35,60)
7.3410801 1 010 1 1 01060 ???? ???
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图 (b)
3.201107080120 )11070(5 ????? ????
图 (b)
C1（ 0,0）
C2（ 5,5）
21
21 21
AA
AxAx
A
Axx ii
?
??? ?C
2
负面积
C1 x
y
3.201107080120 )11070(5 ????? ????y
验证,34.7 + 20.3 + 5 = 60
§ 5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径
二、惯性矩,是面积与它到轴的距离的平方之积。
?
?
?
?
A
y
A
x
AxI
AyI
d
d
2
2
dA
x
y
y
x
r
一、极惯性矩,是面积对极点的二次矩。
yx
A
IIAI ???? d2rr
图形对 x轴的惯性矩,
图形对 y轴的惯性矩,
图形对 O点的极惯性矩,
量钢, L4
量钢, L4
dA
x
y
y
x
r
三、惯性积,面积与其到两轴距离之积。
??
A
xy AxyI d
如果 x 或 y 是对称轴，则 Ixy =0
图形对 xy轴的惯性积, 量钢, L4
图形对 x轴的惯性半径,
图形对 y轴的惯性半径, AIi
AIi
yy
xx
/
/
?
?
四、惯性半径
§ 5-3 平行移轴公式
一、平行移轴定理,
?
?
?
??
??
C
C
yby
xax
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
0?? CxC yAS
AbbSI
Abbyy
Aby
AyI
xCxC
C
A
C
A
C
A
x
2
22
2
2
2
d)2(
d)(
d
???
???
??
?
?
?
?
AbII xCx 2??
dA
x
y
y
x
r
a
b
C
xC
yC
注意, C点必须为形心
AbII xCx 2??
AaII yCy 2??
a b AII x C y Cxy ??
AbaII C 2)( ??? rr
同理,
图形对某坐标轴的惯性矩,等于它对过形心且平行于该轴的坐
标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积,
例 2 求图示圆对其切线 AB的惯性矩。
解,求解此题有两种方法,
一是按定义直接积分；
二是用平行移轴定理等知识求。
B 建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
642
4dI
II Pyx ???? 64
5
16642
4442 ddd
AdII xAB ??? ????
?
??
?
???
A
d x
y
O
xyx III
dI 2
32
4
???? ?r
圆
二、组合截面的惯性矩,
组合截面对某坐标轴的惯性矩 (积 ),等于其中各部分对
同一坐标轴惯性矩 (积 )之和,
xi
n
i
x II ?
?
?
1
yi
n
i
y II ?
?
?
1
xyi
n
i
xy II ?
?
?
1
§ 5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
??
?
???
??
??
??
c o ssi n
si nc o s
1
1
yxy
yxx
一,惯性矩和惯性积的转轴定理
dA
x
y
y
x
?
x1
y1
x1 y1
???
?
???
?
?
?
?
?
? ?? 2s i n2c o s
221 xy
yxyx
x I
IIII
I
???
?
???
?
?
?
?
?
? ?? 2s i n2c o s
221 xy
yxyx
y I
IIII
I
???
?
???
?
?
?
? ?? 2c o s2s i n
211 xy
yx
yx I
II
I
yxyx IIII ??? 11
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到 ?= ?0 时；恰好有
0)2c o s2s in2( 00
00
???? ?? xyyxyx IIII
则与 ?0 对应的旋转轴 x0,y0 称 为 主惯性轴 。即平面图形
对其惯性积为零的一对坐标轴,
yx
xy
II
I
?
??
2
2 t g,0?主惯性轴位置
22)
2
(
2
0
0
xy
yxyx
y
x IIIII
I
I
?
?
?
?
?
??
?
?
?
主惯性矩：
平面图形对主轴之惯性矩 为主惯性矩 。
2.形心主轴和形心主惯性矩,
yCxC
yCxC
II
I
?
??
2
2tg 0?
22)
2
(
2
0
0
x C y C
yCxCyCxC
yC
xC IIIII
I
I
?
?
?
?
?
?
?
?形心主惯性矩,
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴 ;
若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴,另一形心主轴
过形心,且与该轴垂直,
主惯性轴过形心时，称其为 形心主轴 。
平面图形对形心主轴之惯性矩，称为 形心主惯性矩,
3.求截面形心主惯性矩的方法
① 建立坐标系
② 计算面积和面积矩
③ 求形心位置
④ 建立形心坐标系；求,IyC, IxC, IxCyC
⑤ 求形心主轴方向 — ?0
⑥ 求形心主惯性矩
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
A
Ay
A
S
y
A
Ax
A
S
x
iix
iiy
22)
2
(
2
0
0
x C y C
yCxCyCxC
yC
xC IIIII
I
I
?????
??
???
yCxC
x C y C
II
I
???
22tg
0?
例 3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d)
解,① 建立坐标系如图。
② 求形心位置。
③ 建立形心坐标系；求,IyC, IxC, I xCy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
?
?
d
d
d
dd
A
Ay
y
AA
Ax
x
ii
ii
1 7 7.0
4
3
42
0
0
2
2
2
?
?
d
b
2d
x
y
O
xC
yC x
1
d
b
2d
x
y
O
xC
yC x
1
])5.0([ 212 ydAIyAIIII xxxCxCxC ??????? 圆圆矩矩圆矩
42
24
22
3
6 8 5.0])1 7 7.05.0(464[)1 7 7.0(312 )2(5.1 ddddddddd ???????? ??
4
43
5 1 3.06412 2)5.1( ddddIII xCxCyC ?????? ?圆矩
)( 0 为对称轴Cx C y C yI ?
便是形心主惯性矩
轴便是形心主轴
yCxC
C
II
yx
,
C?