1
2
§ 7–1 纯弯曲
§ 7–2 纯弯曲 时的正应力
§ 7–3 梁横截面上的切应力
§ 7–4 梁的正应力和切应力强度条件
§ 7–5 梁的合理截面
第七章 弯曲应力
§ 7－１ 纯弯曲
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力 Q 切应力 ?
弯矩 M 正应力 ?
平面弯曲时横截面 ? 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 Q的情况 )
2、研究方法
纵向对称面
P1 P2
例如,
平面弯曲时横截面 ? 横力弯曲 (横截面上既有 Q又有 M的情况 )
某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变
形称为纯弯曲。如 AB段。
P P a a
A B
Q
M
x
x
纯弯曲 (Pure Bending),
§ 7－ 2 纯弯曲 时的正应力
1.纯弯曲实验
① 横向线 (a b,c d）变形
后仍为直线，但有转动；
（一）梁的纯弯曲实验 纵向对称面
b d
a c
a
b
c
d
M M
② 纵向线变为曲线，且上
缩下伸；
③ 横向线与纵向线变形后
仍正交。
④ 横截面高度不变。
?纵向纤维间无挤压、
只受轴向拉伸和压缩。
?平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变形相等。
2.推论
3.两个概念
?中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
?中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层
纵向对称面
中性轴 （横截面上只有正应力）
（二） 几何方程,
( 1 ),,,,,,
?
? yx ?
a b
c d A B
z
11111 OOBA
AB
ABBA
x
?????
) ) )
OO1 )
???
???? yy ??+?
d
dd)(
横截面上任一点的纵向线应变与该点到
中性层距离成正比（ 中性轴上应变
为零，一侧拉应变，一侧压应变 ）
A1 B1 O1 O
d? ?
y
y
（三）物理关系,
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
( 2 ),,,,,, ??? EyE xx ??
?x ?x
（四）静力学关系,
0ddd ????? ???? ???? zAAAx ESAyEAEyAN
轴过截面形心中性 )( 0 zS z ??
①
0dd)d( ????? ???? ???? yz
AAAy
EIAyzEAE y zzAM
（ ∵ y 为对称轴，自动满足）
z
z
xx I
yMyEE ???
???
z
z
EI
M?
?
1
… …(3)
EIz 杆的抗弯刚度。
( 4 ),....,
z
x I
M y??
②
③
中性层曲率,
MEIAyEAEyyAM z
AAAz
????? ???? ???? dd)d( 2
2
（五）最大正应力,
zW
M?
m a x?
… …(5)
D
d
D
d ? a
)1(32 4
3
m a x
a? ????? Dy IW zz圆环
b
m a xy
I W z
z ? 抗弯截面模量。?
d
6
2
12
2
3
m a x
bh
h
bh
y
I
W zz ?????矩形
322/
64/ 34
ma x
d
d
d
y
IW z
z
?? ?????圆形
例 1 受均布载荷作用的简支梁
如图所示，试求,
（ 1） 1——1截面上 1,2两点
的正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E=200GPa，求 1—1
截面的曲率半径。
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x +
M 82qL
M1 Mmax
1 2
120
180
z
y
解,?画 M图求截面弯矩
k N m60)22( 1
2
1 ??? ?x
qxq LxM
30
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
M1 Mmax
1 2
120
z
y
k N m5.678/3608/ 22m ax ???? qLM
4512
33
m108 3 2.51012 1 8 01 2 012 ?? ?????? bhI z
34 m1048.609.0/ ???? zz IW
M P a7.6110
8 3 2.5
6060
5
1
21
??
??
?
??
zI
yM
??
?求应力
180
30
x +
M
8
2qL
M P a6.92
10
48.6
100060 41
m a x1
?
?
?
??
zW
M
?
m4.194
1060
10832.510200
3
59
1
1
?
?
????? ?
M
EI z?
M P a2.104
10
48.6
1 0 0 05.67 4m a x
m a x
?
????
zW
M?
?求曲率半径
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
M1 Mmax
1 2
120
180
30
x +
M 82qL
§ 7－ 3 梁横截面上的切应力
一,矩形截面 梁横截面上的切应力
1、两点假设,
?切应力与剪力平行；
?矩中性轴等距离处，切应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图 b；
0)(112 ????? dxbNNX ?
dx x
Q(x)+d Q(x) M(x)
y
M(x)+d M(x) Q(x) dx
图 a
图 b
z
?1
x
y
?2
?1
?
图 c
?在微段上取一块如图 c，平衡
dx x
Q(x)+d Q(x) M(x)
y
M(x)+d M(x) Q(x) dx
图 a
图 b
z
z
AzA I
MSAy
I
MAN *** ??? ??
** dd11 ?
z
z
I
SMMN *+? )d(:
2同理
z
z
z
z
bI
QS
bI
S
x
M
dxb
NN ** ????
d
d
)(
12
1?
由切应力互等
z
z
bI
QSy *???
1)( ???z
?1
x
y
?2
?1
?
图 c
横力弯曲时,横截面上切应力
的计算公式,
)
4
(
2
)
2
(
2
2
d
2
2
y
hb
y
h
b
y
h
AyAyS c
A
z
???
+
?
?? **** ?
*
z
y Sz*为面积 A*对横截面中性轴的静矩,
式中, Q--所求切应力面上的剪力,
IZ--整个截面对中性轴的惯性矩,
Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩,
b--所求应力点处截面宽度,
.,
,,,:
即随高度变化变化只随则
一般也不变定，、则如截面确定公式中注意
*
*
?
z
z
z
S
bIzQ
bI
QS
?
?
y
A*
yc*
18
?? 5.123m a x ?? AQ
)()4(2 2
2
为二次抛物线矩 yhIQ
z
??? ?
Q
?方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号 )；
?大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。
中性轴上有最大切应力, 为平均切应力的 1.5倍。
二、其它截面梁 横截面上的切应力
1、研究方法与矩形截面同 ;切应力的计算公式亦为,
z
z
bI
QS *?
1
?
其中 Q为截面剪力； Sz 为 y点以下部分面积对中性轴之静矩； *
2、几种常见截面的最大弯曲切应力
Iz为整个截面对 z轴之惯性矩； b 为 y点处截面宽度。
① 工字钢截面,
max?
min?
结论,翼缘部分 ?max?腹板上的 ?max,只计算腹板上的 ?max。
Af —腹板的面积。 ; ? max A
Q ?
f
腹板最大弯曲切应力,
)/( m a xm a x *? zz SId
Q?
d; ? max A Q ?
f
铅垂切应力主要腹板承受（ 95~97%），且 ?max≈ ?min
故工字钢最大切应力
② 圆截面,
?? 3434m a x ?? AQ
③ 薄壁圆环,
?? 22m a x ?? AQ
④ 槽钢,
x
y
z
P
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; ?
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
??
0? ?xM
R
Hhe ?
Q
e
Q
e
h
H
R
§ 7-4 梁的正应力和切应力强度条件
1、危险面与危险点分析,
?一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
性轴处。
Q
? ? ?
?
M
?
2、正应力和切应力强度条件,
?带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在 Q和 M均很大的截面
的腹、翼相交处。（以后讲）
? ??? ?? *
z
z
Ib
SQ m a xm a x
m a x? ?
?? ??
zW
M m a x
m a x
3、强度条件应用,依此强度准则可进行三种强度计算,
?
? Q
?
?
M
4、需要校核切应力的几种特殊情况,
?铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。
?梁的跨度较短,M 较小，而 Q较大时，要校核切应力。
?各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差,要校核切应力。
、校核强度,? 校核强度,
? 设计截面尺寸,
? 设计载荷,
][ ];[ m a xm a x ???? ??
][
m a x
?
MW
z ?
)(][ ];[ m a xm a x MfPWM z ?? ?
解,?画内力图求危面内力
例 2 矩形 (b?h=0.12m?0.18m） 截面
木梁如图,[?]=7MPa,[?]=0,9 M
Pa，试求最大 正应力和最大切应力
之比,并校核梁的强度。
N5 4 0 02 33 6 0 02m a x ???? qLQ
Nm4 0 5 08 33 6 0 08
22
m a x ?
??? qLM
q=3.6kN/m
A B
L=3m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
x +
qL2/8 M
?求最大应力并校核强度
?应力之比
7.1632m a x
m a x
m a x ???
h
L
Q
A
W
M
z?
?
q=3.6kN/m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
][7 M P a6, 2 5 M P a
18.012.0
4 0 5 066
22
m a xm a x
m a x
?
?
???
?
?
???
bh
M
W
M
z
][0, 9 M P a0, 3 7 5 M P a
18.012.0
54005.15.1 m a x
m a x
?
?
???
?
???
A
Q
x +
qL2/8 M
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的 [?L]=30MPa,[?y]=60 MPa，
其截面形心位于 G点,y1=52mm,
y2=88mm,
Iz=763cm4,试校核此梁的强度。
并说明 T字梁怎样放置更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA RR
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
4
?画危面应力分布图，找危险点
P1=9kN
1m 1m 1m
P2=4kN
A B C D
x
-4kNm
2.5kNm M
?校核强度
M P a2.2810763 885.2 822 ????? ?
z
C
LA I
yM?
M P a2.27107 6 3 524 813 ????? ?
z
B
LA I
yM?
M P a2.46107 6 3 884 824 ????? ?
z
B
yA I
yM?
? ?LL ?? ?? 2.28m a x
? ?yy ?? ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
y2
G
A1
A2
y1
y2
G
A3
A4
x
-4kNm
2.5kNm M
A3
A4
（一）矩形木梁的合理高宽比
R
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
b
h
§ 7-5 梁的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x ?? ?? 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 ?? ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
强度：正应力,切应力,
? ? ?? ??
zW
M ? ??? ??
z
z
bI
QS *
(二 ) 其它材料与其它截面形状梁的合理截面
z
D
z a
a
m?? 2m a x ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ?
1
222
1 67.1,
4
])8.0([
4 DD
DDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
m?? 5.1m a x ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
)(= 3.2 mm a x
fA
Q?? ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 2 2a 2 z
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图,
2、根据材料特性选择截面形状
?
G
z
（三）采用变截面梁,如下图,
最好是等强度梁，即
][6/)( )()( )()( 2m a x ?? ??? xbh xMxW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
?b
xMxh ?
同时
][)(5.1m a x ?? ?? xbh Q
][5.1)( ?b
Qxh ??
P
x
45
2
§ 7–1 纯弯曲
§ 7–2 纯弯曲 时的正应力
§ 7–3 梁横截面上的切应力
§ 7–4 梁的正应力和切应力强度条件
§ 7–5 梁的合理截面
第七章 弯曲应力
§ 7－１ 纯弯曲
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力 Q 切应力 ?
弯矩 M 正应力 ?
平面弯曲时横截面 ? 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 Q的情况 )
2、研究方法
纵向对称面
P1 P2
例如,
平面弯曲时横截面 ? 横力弯曲 (横截面上既有 Q又有 M的情况 )
某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变
形称为纯弯曲。如 AB段。
P P a a
A B
Q
M
x
x
纯弯曲 (Pure Bending),
§ 7－ 2 纯弯曲 时的正应力
1.纯弯曲实验
① 横向线 (a b,c d）变形
后仍为直线，但有转动；
（一）梁的纯弯曲实验 纵向对称面
b d
a c
a
b
c
d
M M
② 纵向线变为曲线，且上
缩下伸；
③ 横向线与纵向线变形后
仍正交。
④ 横截面高度不变。
?纵向纤维间无挤压、
只受轴向拉伸和压缩。
?平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变形相等。
2.推论
3.两个概念
?中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
?中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层
纵向对称面
中性轴 （横截面上只有正应力）
（二） 几何方程,
( 1 ),,,,,,
?
? yx ?
a b
c d A B
z
11111 OOBA
AB
ABBA
x
?????
) ) )
OO1 )
???
???? yy ??+?
d
dd)(
横截面上任一点的纵向线应变与该点到
中性层距离成正比（ 中性轴上应变
为零，一侧拉应变，一侧压应变 ）
A1 B1 O1 O
d? ?
y
y
（三）物理关系,
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
( 2 ),,,,,, ??? EyE xx ??
?x ?x
（四）静力学关系,
0ddd ????? ???? ???? zAAAx ESAyEAEyAN
轴过截面形心中性 )( 0 zS z ??
①
0dd)d( ????? ???? ???? yz
AAAy
EIAyzEAE y zzAM
（ ∵ y 为对称轴，自动满足）
z
z
xx I
yMyEE ???
???
z
z
EI
M?
?
1
… …(3)
EIz 杆的抗弯刚度。
( 4 ),....,
z
x I
M y??
②
③
中性层曲率,
MEIAyEAEyyAM z
AAAz
????? ???? ???? dd)d( 2
2
（五）最大正应力,
zW
M?
m a x?
… …(5)
D
d
D
d ? a
)1(32 4
3
m a x
a? ????? Dy IW zz圆环
b
m a xy
I W z
z ? 抗弯截面模量。?
d
6
2
12
2
3
m a x
bh
h
bh
y
I
W zz ?????矩形
322/
64/ 34
ma x
d
d
d
y
IW z
z
?? ?????圆形
例 1 受均布载荷作用的简支梁
如图所示，试求,
（ 1） 1——1截面上 1,2两点
的正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E=200GPa，求 1—1
截面的曲率半径。
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x +
M 82qL
M1 Mmax
1 2
120
180
z
y
解,?画 M图求截面弯矩
k N m60)22( 1
2
1 ??? ?x
qxq LxM
30
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
M1 Mmax
1 2
120
z
y
k N m5.678/3608/ 22m ax ???? qLM
4512
33
m108 3 2.51012 1 8 01 2 012 ?? ?????? bhI z
34 m1048.609.0/ ???? zz IW
M P a7.6110
8 3 2.5
6060
5
1
21
??
??
?
??
zI
yM
??
?求应力
180
30
x +
M
8
2qL
M P a6.92
10
48.6
100060 41
m a x1
?
?
?
??
zW
M
?
m4.194
1060
10832.510200
3
59
1
1
?
?
????? ?
M
EI z?
M P a2.104
10
48.6
1 0 0 05.67 4m a x
m a x
?
????
zW
M?
?求曲率半径
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
M1 Mmax
1 2
120
180
30
x +
M 82qL
§ 7－ 3 梁横截面上的切应力
一,矩形截面 梁横截面上的切应力
1、两点假设,
?切应力与剪力平行；
?矩中性轴等距离处，切应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图 b；
0)(112 ????? dxbNNX ?
dx x
Q(x)+d Q(x) M(x)
y
M(x)+d M(x) Q(x) dx
图 a
图 b
z
?1
x
y
?2
?1
?
图 c
?在微段上取一块如图 c，平衡
dx x
Q(x)+d Q(x) M(x)
y
M(x)+d M(x) Q(x) dx
图 a
图 b
z
z
AzA I
MSAy
I
MAN *** ??? ??
** dd11 ?
z
z
I
SMMN *+? )d(:
2同理
z
z
z
z
bI
QS
bI
S
x
M
dxb
NN ** ????
d
d
)(
12
1?
由切应力互等
z
z
bI
QSy *???
1)( ???z
?1
x
y
?2
?1
?
图 c
横力弯曲时,横截面上切应力
的计算公式,
)
4
(
2
)
2
(
2
2
d
2
2
y
hb
y
h
b
y
h
AyAyS c
A
z
???
+
?
?? **** ?
*
z
y Sz*为面积 A*对横截面中性轴的静矩,
式中, Q--所求切应力面上的剪力,
IZ--整个截面对中性轴的惯性矩,
Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩,
b--所求应力点处截面宽度,
.,
,,,:
即随高度变化变化只随则
一般也不变定，、则如截面确定公式中注意
*
*
?
z
z
z
S
bIzQ
bI
QS
?
?
y
A*
yc*
18
?? 5.123m a x ?? AQ
)()4(2 2
2
为二次抛物线矩 yhIQ
z
??? ?
Q
?方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号 )；
?大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。
中性轴上有最大切应力, 为平均切应力的 1.5倍。
二、其它截面梁 横截面上的切应力
1、研究方法与矩形截面同 ;切应力的计算公式亦为,
z
z
bI
QS *?
1
?
其中 Q为截面剪力； Sz 为 y点以下部分面积对中性轴之静矩； *
2、几种常见截面的最大弯曲切应力
Iz为整个截面对 z轴之惯性矩； b 为 y点处截面宽度。
① 工字钢截面,
max?
min?
结论,翼缘部分 ?max?腹板上的 ?max,只计算腹板上的 ?max。
Af —腹板的面积。 ; ? max A
Q ?
f
腹板最大弯曲切应力,
)/( m a xm a x *? zz SId
Q?
d; ? max A Q ?
f
铅垂切应力主要腹板承受（ 95~97%），且 ?max≈ ?min
故工字钢最大切应力
② 圆截面,
?? 3434m a x ?? AQ
③ 薄壁圆环,
?? 22m a x ?? AQ
④ 槽钢,
x
y
z
P
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; ?
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
??
0? ?xM
R
Hhe ?
Q
e
Q
e
h
H
R
§ 7-4 梁的正应力和切应力强度条件
1、危险面与危险点分析,
?一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
性轴处。
Q
? ? ?
?
M
?
2、正应力和切应力强度条件,
?带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在 Q和 M均很大的截面
的腹、翼相交处。（以后讲）
? ??? ?? *
z
z
Ib
SQ m a xm a x
m a x? ?
?? ??
zW
M m a x
m a x
3、强度条件应用,依此强度准则可进行三种强度计算,
?
? Q
?
?
M
4、需要校核切应力的几种特殊情况,
?铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。
?梁的跨度较短,M 较小，而 Q较大时，要校核切应力。
?各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差,要校核切应力。
、校核强度,? 校核强度,
? 设计截面尺寸,
? 设计载荷,
][ ];[ m a xm a x ???? ??
][
m a x
?
MW
z ?
)(][ ];[ m a xm a x MfPWM z ?? ?
解,?画内力图求危面内力
例 2 矩形 (b?h=0.12m?0.18m） 截面
木梁如图,[?]=7MPa,[?]=0,9 M
Pa，试求最大 正应力和最大切应力
之比,并校核梁的强度。
N5 4 0 02 33 6 0 02m a x ???? qLQ
Nm4 0 5 08 33 6 0 08
22
m a x ?
??? qLM
q=3.6kN/m
A B
L=3m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
x +
qL2/8 M
?求最大应力并校核强度
?应力之比
7.1632m a x
m a x
m a x ???
h
L
Q
A
W
M
z?
?
q=3.6kN/m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
][7 M P a6, 2 5 M P a
18.012.0
4 0 5 066
22
m a xm a x
m a x
?
?
???
?
?
???
bh
M
W
M
z
][0, 9 M P a0, 3 7 5 M P a
18.012.0
54005.15.1 m a x
m a x
?
?
???
?
???
A
Q
x +
qL2/8 M
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的 [?L]=30MPa,[?y]=60 MPa，
其截面形心位于 G点,y1=52mm,
y2=88mm,
Iz=763cm4,试校核此梁的强度。
并说明 T字梁怎样放置更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA RR
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
4
?画危面应力分布图，找危险点
P1=9kN
1m 1m 1m
P2=4kN
A B C D
x
-4kNm
2.5kNm M
?校核强度
M P a2.2810763 885.2 822 ????? ?
z
C
LA I
yM?
M P a2.27107 6 3 524 813 ????? ?
z
B
LA I
yM?
M P a2.46107 6 3 884 824 ????? ?
z
B
yA I
yM?
? ?LL ?? ?? 2.28m a x
? ?yy ?? ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
y2
G
A1
A2
y1
y2
G
A3
A4
x
-4kNm
2.5kNm M
A3
A4
（一）矩形木梁的合理高宽比
R
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
b
h
§ 7-5 梁的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x ?? ?? 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 ?? ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
强度：正应力,切应力,
? ? ?? ??
zW
M ? ??? ??
z
z
bI
QS *
(二 ) 其它材料与其它截面形状梁的合理截面
z
D
z a
a
m?? 2m a x ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ?
1
222
1 67.1,
4
])8.0([
4 DD
DDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
m?? 5.1m a x ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
)(= 3.2 mm a x
fA
Q?? ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 2 2a 2 z
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图,
2、根据材料特性选择截面形状
?
G
z
（三）采用变截面梁,如下图,
最好是等强度梁，即
][6/)( )()( )()( 2m a x ?? ??? xbh xMxW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
?b
xMxh ?
同时
][)(5.1m a x ?? ?? xbh Q
][5.1)( ?b
Qxh ??
P
x
45
