第十一章 能量法
§ 11–1 杆件应变能的计算
§ 11–2 单位载荷法 莫尔积分
§ 11–4 卡氏定理
§ 11–5 互等定理
§ 11–1 杆件应变能的计算
一、能量原理,
二、杆件应变能的计算,
弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作
的功，即 WU?
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形
和内力的方法称为能量方法。
不计能量损耗时，外力功等于应变能 。
xEA xNxxNWU d2 )(d)(21dd 2?????
?? L xEA xNU d2 )( 2
?
?
?
n
i ii
ii
AE
LNU
1
2
2
内力为分段常 量 时
dx
xx dd ??
N(x) N(x)
xd?
)(xN 拉压杆的比能 u,单位体积内的应变能 。
??21d d)(21dd ???? xA xxNVUu
1.轴向拉压杆的应变能计算,
2.扭转杆的应变能计算,
?? L
P
n x
GI
xMU d
2
)( 2
??21,?u比能
3.弯曲杆的应变能计算,
?? L xEI xMU d2 )(
2
??21,?u比能
三、应变能的普遍表达式,
应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能
可以相互叠加。
细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。
?? L xEA xQ d2 )(
2
S? 剪切挠度因子?S?
x
EI
xMx
GI
xMx
EA
xNU
LL
P
n
L
d
2
)(d
2
)(d
2
)( 222 ??? ???
x
EI
xMx
GI
xMx
EA
xNU
LL
P
n
L
d
2
)(d
2
)(d
2
)( 222 ??? ???
Q
MN
MT
A
A
P N
B
j
T
例 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在 A点受铅垂力 P的作
用,求 A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
① 求内力
jj s i n)(,PRM ?弯矩
)c o s1()(,jj ?? PRM n扭矩
A
P R
③ 外力功等于应变能
② 应变能,
??? ??? LL
PL
xEI xMxGI xMxEA xNU d2 )( d2 )( d2 )(
22
n
2
?? ??? ?? jjjj 0
222
0
222
d2 )( s i nd2 )c o s1( REIRPRGIRP
P
EI
RP
GI
RP
P 44
3 3232 ?? ??
UfPW A ?? 2? EIPRGIPRf
P
A 22
3 33 ?? ???
例 2 用能量法求 C点的挠度。梁为等截面直梁。
CPfW 2
1?
解,外力功等于应变能
?? L xEI xMU d2 )( 2
)0(; 2)( axxPxM ???
在应用对称性，得,
EI
aPxxP
EIU
a
12d)2(2
12 32
0
2 ?? ?
EI
PafUW
C 6
3
????
思考：分布荷载时，可否用此法求 C点位移？ q
C a a
A
P
B
f
§ 11–2 单位载荷法 莫尔积分
AC fUUU ???? 10
?? L xEI xMU d2 )( 2
?? L xEI xMU d2 )(
2
0
0
? ?? LC xEI xMxMU d2 )]()([ 20
?? LA xEI xMxMf d)()( 0
求任意点 A的位移 f A 。
一、定理的证明,
a
A
图
fA
q(x)
图 c
A
0 P =1 q(x)
f
A
图 b
A
=1 P0
莫尔定理 (单位力法 )
二、普遍形式的莫尔定理
xEI xMxMf
LA
d)()( 0??
?? ??? L
P
nn
LA
xGI xMxMxEA xNxN d)()(d)()( 00? xEI xMxML d)()( 0?
fA -- 梁上任一点 A在外力作用下的挠度,
M(x) -- 外载下的弯矩方程,
M0(x) -- 单位力作用于 A点时的弯矩方程,
三、使用莫尔定理的注意事项,
④ M0(x)与 M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可
自由建立。
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构 。
② M0——去掉主动力，在所求 广义位移 点,沿所求
广义位移 的 方向加 广义单位力 时，结构产生的内力。
① M(x)：结构在原载荷下的内力。
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。
例 3 用能量法求 C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。
2)(
2qx
a q xxM ??
?
?
?
??
?
?
???
??
?
)2(; )2(
2
)0(;
2
)(0
axaxa
x
ax
x
xM
解,① 画单位载荷图
② 求内力
B A
a a C
q
B A
a a C
0 P =1
x
d)()(d)()(
2
0
0
0 ?? ??
a
a
a
C xEI
xMxMx
EI
xMxMf
?
a
xEI xMxM
0
0 d)()(2
对称性
EI
qaxxqxqax
EI
a
24
5d
2)2(
2 4
0
2
??? ?
③ 变形
B A
a a C
0 P =1 B A
a a C
q
x
④ 求转角，重建坐标系（如图）
?? ?????
aa
xaxqxq a xEIxaxqxq a xEI
0
2
2
2
2
2
0
1
1
2
1
1 d2)2(
1d
2)2(
1
2)(,
2
1
1
qxq a xxMAC ??
a
xxM
2)(
10 ??
0?
2)(,
2
2
2
qxq a xxMBC ??
a
xxM
2)(
2
0 ?
q
B A
a a C
x2 x1
B A
a a
C
MC0=1
d ) ( ) (
) ( ) (
) ( 0
0
) ( 0
0
?
?
?
?
a
BC
a
AB
xEI x M x M
dx EI x M x M c?
例 4 拐杆如图,A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能
上下移动，已知,E=210Gpa,G=0.4E,求 B点的垂直位移。
PxxM AB ?)(
xxM AB ?)(0
PxM n C A 3.0)( 1 ?
3.0)( 10 ?xM CAn
解, ① 画单位载荷图
② 求内力
5
10
20
A
P=60N
B
x 500
C
x1
5
10
20
A
B
x 500
C
=1 P0
PxxM AB ?)( xxM AB ?)(0 PxM n C A 3.0)( 1 ? 3.0)( 10 ?xM CAn
?? ?? LL
P
nn
B xEI
xMxMx
GI
xMxM d)()( d)()( 0
1
101
1
?
?? ???
3.0
0
25.0
0
1 dd
3.03.0 x
EI
Pxx
GI
P
P P
ACAB
AB
AB
GI
LPLL
EI
PL ??
3
3
????? ??? 33
3
101052 1 03 123.060 34 10202104.0 325.03.0603.0 ??? ???? ?
mm22.8?
③ 变形
§ 11–4 卡氏定理
给 Pn 以增量 dPn,则,
),.,,,,( 21 nPPPUU ?
n
n
PPUUU d1 ????
1,先给物体加 P1,P2,???,Pn 个力，则,
2.先给物体加力 dPn,则,
)d()d(212 nnPU ???
一、定理证明
1P
2P
?n
nP
再给物体加 P1,P2,???,Pn 个力，则,
)d(21 nn PUUU ???? ?
n
n P
U
?
???
1P
2P
?n
nP
n ?
n P
U
?
? ? 卡氏定理
应变能对任一外力的偏导数,
等于该力作用点沿该力方向
的位移,
二、使用卡氏定理的注意事项,
① U——整体结构在外载作用下的线
弹性应变能
② Pn 视为变量，结构反力和应变能
等都必须表示为 Pn的函数
③ ?n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的 变形。
④ 当没有与 ?n对应的 Pn 时，先加一沿 ?n
方向的 Pn,求偏导后,再令其为零。
1P
2P
?n
nP
三、特殊结构（杆）的卡氏定理,
??? ??? LL
P
L
x
EI
xM
x
GI
xMx
EA
xNU d
2
)(
d
2
)( d
2
)( 22n2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
n
L
n
n
P
L
nn
n
x
P
xM
EI
xM
x
P
xM
GI
xM
x
P
xN
EA
xN
P
U
d
)()(
d
)()(
d
)()(
n
?
例 5 结构 如图,用卡氏定理 求 A 面的挠度和转角。
③ 变形
① 求内力
解：求 挠度，建坐标系
xPxPxM A ????)(
EI
PL
3
3
??
② 将内力对 PA求偏导
xP xM
A
???? )(
? ?????? L
AA
A xP
xM
EI
xM
P
Uf d)()(
???
L
x
EI
Px
0
2
d
A
L
P EI
x O
求转角 ?A
① 求内力
AMxPxM ???)(
没有与 ?A向相对应的力（广义力），加之 。
EI
PL
2
2
??
“负号, 说明 ?A与所加广义力 MA反向 。 EIPLA 2
2
??
② 将内力对 MA求偏导后，令 M A=0
1)(
0
?
?
?
?
A
MAM
xM
? ??? L
A
A xM
xM
EI
xM d)()( ? ? ??
L
xEIPx
0
d
③ 求变形（ 注意,M A=0）
L x O
A
P M A
例 6 结构 如图,用卡氏定理 求 梁的挠曲线。
解：求 挠曲线 ——任意点的挠度 f（ x）
① 求内力
② 将内力对 Px 求偏导后,令 Px=0
没有与 f（ x） 相对应的力, 加之 。
)()()( 111 xxPxLPxM xAB ?????
)()( 11 xLPxM BC ???
xxP xM P
x
AB ??
?
?
? 10
)(
x
0)( 0 ??? ?
xx
BC P
P
xM
P
A
L
x
B
Px
C
f
x O
x1
③ 变形（ 注意,Px=0）
? ?????? L
xx
xP xMEI xMPUxf d)()( )(
? ????
x
xxxxLP
EI 0 111
d))((1
)2 )(3( 2
23
LxxxLxEIP ????
例 7 等截面梁 如图,用卡氏定理 求 B 点的挠度 。
② 求内力
解, 1.依 求多余反力, 0?
Cf
③ 将内力对 RC求偏导
)5.0()()( xLPxLRxM CAB ????
)()( xLRxM CBC ??
xLR xM
C
AB ??
?
? )(
① 取静定基如图
xLR xM
C
BC ??
?
? )(
P
C
A L
0.5 L B
f
x O
P
C
A L
0.5 L B
RC
④ 变形
? ?????? L
CC
C xR
xM
EI
xM
R
Uf d)()(
? ? ?
?
?
?
?
? ?????? ?? L
C
L
xxLRxxLxLPEI
0
2
5.0
0
d)(d)()5.0(1
0)3485(1
33
???? LRPLEI C
16
5 PR
C ??
2.求
Bf
② 将 内力对 P求偏导
)5.0()(165)( xLPxLPxM AB ????
)(165)( xLPxM BC ??
16
311)( Lx
P
xM AB ??
?
?
16
)(5)( xL
P
xM BC ??
?
?
① 求内力
③ 变形
? ?????? LB xP xMEI xMPUf d)()(
?
?
?
?
?
? ???? ?? L
L
L
xxLPxLxPEI
5.0
22
5.0
0
2 d)()
16
5(d)
16
311(1
EI
PL
7 6 8
7 3?
△ 11
1
1P
△ 12 △
22 2
2P
位移互等定理
最终变形能与加载顺序无关
2
111
11
?? PU
2
222
22
?? PU
引起的位移上做功在 21
12112
PP
PU
?
??
2112 UU ??
122211 UUUU ???
211221 ????? 时当 PP
功互等定理212121 ??? PP
212211 UUU ???
§ 11–5 互等定理