第十三章 压杆稳定
§ 13–1 引言
§ 13–2 两端铰支 细长压杆的临界压力
§ 13-5 压杆的稳定校核及其合理截面
§ 13–4 欧拉公式的适用范围 经验公式
§ 13–3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
§ 13–1 引 言
构件的承载能力,① 强度
②刚度
③稳定性
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡
2,稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡,
稳
定
平
衡
临
界
状
态
不
稳
定
平
衡
3.压杆失稳,4.压杆的临界压力
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
临界状态
临界压力, Fcr
过 度
对应的
压力
不
稳
定
平
衡
§ 13–2 两端铰支细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力,
FwyxM ??),(
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图,
从挠曲线入手，求临界力。 (L,EI已知 )
wEIFEIMdx wd ???2
2
① 弯矩,
② 挠曲线近似微分方程,
0"" 2 ???? wkwwEIFw
EI
Fk ?2:其中
F
x
y F M
F F
x
w
③ 微分方程的解,
④ 确定积分常数,
kxBkxAw c o ss in ??
0)()0( ?? Lww
??
?
??
???
0c o ss i n
00:
kLBkLA
BA即
0s in ?? kL
EI
F
L
nk ??? ?
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力,故，只能取 n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2
m i n
2
LEIF cr ???
?
?
?
???
?
),0(00s in
0:
不符则即 wAORkL
B
2
22
L EInF ???
二、此公式的应用条件,
1.理想压杆；
2.线弹性范围内；
3.两端为球铰支座。
两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
2
m i n
2
L
EIF
cr
??
l
xAkxAw ?s i ns i n ??挠曲线方程,
F
Mkwkw 022" ???
0)(" MFwxME I w ????
EI
Fk ?2:令
P
Mkxdkxcw 0s i nc o s ???
0',;0',0
???
???
wwLx
wwx
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为,
边界条件为,
例 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。
F
L
x
F
M0
F
M0
F
M0
x F
M
) ( 0s i n),2 ( 1c o s
0,
?? nkLkLnkLkL
d
F
M
c
????
??
2
2
2
2
)2/(
4
L
EI
L
EIF
cr
?? ??
?2?kL
为求最小临界力,, k” 应取除零以外的最小值, 即取,
所以，临界力为,
2 ?nkL ??
? = 0.5
其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
?—长度系数 （ 或约束系数 ） 。
压杆临界力欧拉公式的一般形式
2
m i n
2
)( L
EIF
cr ?
??
?l—相当长度 。 各种压杆失稳时,挠曲线中
相当于半波正弦曲线的一段长度
§ 13–3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
2
m i n
2
L
EIF
cr
??
表 14–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动
失
稳
时
挠
曲
线
形
状
Fcr
A
B
l
临界力 Fcr
欧拉公式
长度系数 μ
2
2
l
EIF
cr
??
2
2
)7.0( l
EIF
cr
??
2
2
)5.0( l
EIF
cr
??
2
2
)2( l
EIF
cr
??
2
2
l
EIF
cr
??
?=1 ??0.7 ?=0.5 ?=2 ?=1
l
Fcr
A
B
0.7
l
C
C— 挠曲
线拐点
l 0.5
l
Fcr
A
B
C
D
C,D— 挠
曲线拐点
Fcr
l
2l
0.5
l
Fcr
l
C— 挠曲线拐点
③ 压杆的临界力
例 2 求下列细长压杆的临界力。
,12
3 hb
I y ??=1.0,
解, ① 绕 y 轴，两端铰支,
2
2
2
L
EI
F yc r y
?
?
,12
3bh
I z?
?=0.7,
② 绕 z 轴，左端固定，右端铰支,
2
1
2
)7.0( L
EIF z
c r z
??
),m i n ( c r zc r ycr FFF ?
y
z
L1
L2
y
z h
b
x
4912
3
m i n m1017.41012
1050 ?? ?????I
2
1
m i n
2
)( l
EIF
cr ?
??
48m i n m1089.3 ???? zII
2
2
m i n
2
)( l
EIF
cr ?
??
例 3 求下列细长压杆的临界力。 ( L = 0.5m )
图 (a) 图 (b)
解：图 (a)
图 (b)
kN14.67)5.07.0( 2 0 017.4 2
2
?? ??? ?
kN8.76)5.02( 200389.0 2
2
?? ??? ?
50
10
F
L
F
L
(45?45? 6)
等边角钢
y z
§ 13–4 欧拉公式的适用范围 经验公式
A
F cr
cr ??
一,基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
3.柔度,
2
2
2
2
2
2
)/()( ?
?
?
?
?
?? E
iL
E
AL
EI
A
F cr
cr ????
2.细长压杆的 临界应力,
—惯性半径。— AIi?
）—杆的柔度（或长细比— i L?? ?
2
2
?
?? E
cr ?即：
4.大 柔度杆的分界,
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 1?? ?
1
2
???? ??
P
E
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
① ?P<?<?S 时,
scr ba ??? ????
2?
?? ????
b
as
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 12 ??? ??
?? bacr ??
对 A3钢,?1 ? 100; 对铸铁,?1 ? 80
对 A3钢,?2 ? 61.6
i
L???
cr?
.,
2
不失稳破坏由强度问题引起
界应力就是屈服极限。的杆为小柔度杆，其临?? ?
2
2
?
?
?
E
cr
?
③ 临界应力总图
② ?S<? 时,
scr ?? ?
?? bacr ??
P?
S?
b
a s
2 ?
? ?
?
P
1
E
?
?
?
2
?
2.抛物线型经验公式
211 ?? bacr ??
S
c
EAA
?
???
56.0
43.016
2
53 ??,锰钢：钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c?? ?
我国建筑业常用,
① ?P<?<?s 时,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
c
scr ?
????
② ?s<? 时,
scr ?? ?
例 4 一压杆长 L=1.5m，由两根 56?56?8 等边角钢组成，两端铰
支，压力 F=150kN，角钢为 A3钢，试用 欧拉公式或直线公式求
临界压力和安全系数。
4121 cm63.23,cm3 6 7.8 ?? yIA
zy II ?
cm68.13 6 7.82 26.47m i n ???? AIi
1003.8968.1150 1 ????? ??? i l
解：一个角钢,
两根角钢图示组合之后
41m i n cm26.4763.2322 ????? yy III
所以，应由直线公式求 临界压力。
y
z
6.613.89 2 ??? ??
M P a2 0 43.8912.13 0 4 ?????? ?? bacr
kN4.3411020410367.82 64 ??????? ?crcr AF ?
28.2150 4.341 ??? FFn cr
安全系数
§ 13–5 压杆的稳定校核及其合理截面
压杆所承受的压力,一定要小于临界压力,
并要有一定的安全储备,
st
cr
n
FF ?
nst – 规定的稳定安全系数
一、压杆的稳定条件,
nst 一般高于强度安全系数
金属结构中压杆, nst = 1.8 – 3.0
机床丝杠中压杆, nst = 2.5 – 4
磨床油缸活塞杆, nst = 4 – 6
一般也常用,
st
cr n
F
Fn ??
)()( 工作压力工作安全系数
二、压杆的合理截面,
iL???
2
m i n
2
)( L
EIF
cr ?
??
m i nAIi?
ma xmi n II ?
合理
保国寺大殿的拼柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面
为八角形。经历了 1305年的八级地震。
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
??
yz II
zA
41 cm6.3 9 63.1 9 822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 7 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上端为
球铰支座,试问 a=？时，立柱的 临界压力最大，值为多少？
解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后,
cm32.4?a
F
L
z0
y y
1
z C1
a
5.106
1074.122
106.396
67.0
2
67.0
4
8
1
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
A
Ii
L
z
?
?
????? ??? ???? 3.9910200 10200 6
922
1
P
E
kN8.4 4 3)67.00( 106.3 9 62 0 0)( 2
2
2
2
?? ????? ??? lEIF cr
求临界力,
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
