1
2
§ 8–1 梁的挠度和转角
§ 8–2 挠曲线近似微分方程
第八章 弯曲变形
§ 8–4 叠加法求弯曲变形
§ 8–5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
* 简单静不定 梁
§ 8–3 积分法求弯曲变形
§ 8－１ 梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 用 w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度 。用 ? 表示，逆时
针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系,
一、度量梁变形的两个基本位移量
( 1 ) )( ddtg xfxw ???? ??
小变形
P
x
w
C
?
C1
y
§ 8-2 挠曲线近似微分方程
z
z
EI
xM )(1 ?
?
z
z
EI
xMxf )()( ?????
即挠曲线近似微分方程。
)(
))(1(
)(1
232
xf
xf
xf ????
??
????
?
小变形
y
x
M>0
0)( ??? xf
y
x
M<0
0)( ??? xf
挠曲线曲率,
EI
x M x f ) ( ) ( ? ? ? ?
6
)()( xMxfEI ???
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式,
7
)()( xMxfEI ???
用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）
)()( xMxfEI ???
1d)()( CxxMxfEIEI ???? ??
21d]d)([)( CxCxxxMxE I fE I w ???? ? ?
1.微分方程的积分
C1,C2为积分常数，据边界条件确定
§ 8-3 积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程,
2.位移边界条件
P
A B C
P
D
?支点位移条件,
?连续光滑条件,P A B
C
右左 CC ww ?
右左 CC ?? ?
00 ?? BA ww
00 ?? DDw ?
（集中力、集中力偶作用处，
截面变化处）
讨论,
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
④ 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
例 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
?建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM ??
?写出 微分方程的积分并积分 ?应用位移边界条件 求积分常数
)()(" xLPxME I w ????
1
2' )(
2
1 CxLPE I w ???
21
3)(
6
1 CxCxLPE I w ?????
061)0( 23 ???? CPLE I f
021)0()0( 12 ????? CPLfEIEI ?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC ????
解,
P L
x
y
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?323 3)(6)( LxLxLEIPxf ?????
EI
PLLff
3)(
3
m a x ???EI
PLL
2)(
2
m a x ??? ??
?最大挠度及最大转角
x
y
P
L
解,?建立坐标系并写出弯矩方程
??
?
??
????
)( 0
)0( )()(
Lxa
axaxPxM
?写出 微分方程的积分并积分
??
?
?
? ??
?
1
1
2
' )(2
1
D
CaxP
E I w
??
?
?
?
?
???
?
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCaxP
E I w
??
?
??
????
)( 0
)0( )("
Lxa
axaxPE I w
x
y
P
L
a
?应用位移边界条件 求积分常数
061)0( 23 ???? CPaE I f
021)0( 12 ??? CPaEI ?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC ??????
)()()( afafaf ?? ??
)()( ?? ? aa ?? 11 DC ??
2121 DaDCaC ????
P
L
a
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PaCPaC ????
x
y
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
?????
?
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
23
323
Lx xaa
EI
P
ax axaax
EI
P
xf
? ?aLEIPaLff ???? 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x ??? ??
?最大挠度及最大转角
P
L
a x
y
§ 8-4 叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加,多个载荷同时作用于结构而引起的变形
等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
)()()(),( 221121 nnn PPPPPP ???? ????????????????
)()()(),( 221121 nnn PfPfPfPPPf ????????????????
二、结构形式叠加（逐段刚化法）,
前提：小变形，线弹性．使梁的挠度、转角
均与载荷成线形关系。
例２ 按叠加原理求 A点转角和
C点挠度。
解,?载荷分解如图
?由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形。
EI
Paf
PC 6
3
??EIPaPA 4 2???
EI
qaf
qC 24
5 4??
EI
qa
qA 3
3
???
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
Paf
PC 6
3
??EIPaPA 4 2???
EI
qaf
qC 24
5 4??EIqaqA 3
3
???
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
?叠加
qAPAA ??? ??
)43(12
2
qaPEIa ???
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34 ???
例 ３ 按叠加原理求 C点挠度。 解,?载荷无限分解如图
?由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形。
?叠加
EI
bLbPf
d P C 48
)43()d( 22 ???
bLbqxxqP d2d)(d 0??
bE I L bLbq d24 )43(
222
0 ???
??? d P CqC ff EIqLbE I L bLbqL 240d24 )43(
45.0
0
222
0 ?????
q0
0.5L 0.5L
x dx
b
x
f
C
例 ４ 结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明。
=
+
P L1 L2
A B C
B C
P L2
f1
f2
等价
等价
x
x
21 fff ??
f
P L1 L2
A B C 刚化 AC段
P L1 L2
A B C
刚化 BC段
P L1 L2
A B C M
x
§ 8-5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
? ? m a x ww ? ? ??? ?m a x
一、梁的刚度条件
其中 [?]称为许用转角； [w]称为许用挠度。由具体工作条件定,
可查手册,通常 依此条件进行如下三种刚度计算,
?,校核刚度,
?,设计截面尺寸；
?,设计载荷。
? ??? ?m a x
(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地
位。特殊构件例外）
? ? m a x ww ?
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
例 ５ 下图为一空心圆杆，内外径分别为,d=40mm,D=80mm，
杆的 E=210GPa，工程规定 C点的 [f]=0.00001m,B点的 ??]=0.001
弧度,试校 核此杆的刚度。
=
+ +
=
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
P2=2kN
B C D A
P2
B C
a
P2
B C D A
M
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
EI
aLPaf
BC 16
2
1
11 ??? ?EI
LP
B 16
2
1
1 ???
EI
L a P
EI
ML
B 33
2
3 ???
EI
LaPaf
BC 3
2
2
33 ?? ?
解,?结构变换，查表求简单
载荷变形。
02 ?B? EIaPf C 3
3
2
2 ??
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
M
x
y
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
M
x
y
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C 3316
2
2
3
2
2
1 ????
EI
LaP
EI
LP
B 316
2
2
1 ????
?叠加求复杂载荷下的变形
48
1244
44
m101 8 8
10)4080(
64
14.3
)(
64
?
?
??
???
?? dDI
?
m1019.53316 6
2
2
3
2
2
1 ???????
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C
)(104 2 3.0)32 0 0164 0 0(1 8 8 02 1 0 4.0316 42
2
1 弧度?????
????? EI
LaP
EI
LP
B?
? ? 001.010423.0 4m ax ???? ? ??
? ? m10m1019.5 56m ax ?? ???? ff
?校核刚度
25
强度：正应力,
剪应力,
? ? m a x ?? ??
zW
M
? ??? ??
z
z
bI
QS *
zEI
XMv )(" ?
刚度,
稳定性,
都与内力和截面性质有关 。
… … … … … … … … … … …
二、提高梁弯曲刚度的主要措施
26
（一）、选择梁的合理截面
矩形木梁的合理高宽比
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
R
b
h
27
一般的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x ?? ?? 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 ?? ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
z
D
z a
a
1, 0 512 1
3
2 zz I
bhI ??
28
mma x 2?? ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ? 12221 67.1,4 ])8.0([4 DDDDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
mm a x 5.1 ?? ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
59.4)8.01(64 14
4
3 zz I
DI ??? ?
2, 0 912812 z1
4
1
3
4 I
abh I
z ???
29
55.9 15 zz II ?
)(= 3.2 mm a x
fA
Q?? ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 2 2a 2 z
30
2、根据材料特性选择截面形状
?
G
z
如铸铁类材料，常用 T字形类的截面，如下图,
（二）、采用变截面梁
最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x ?? ?? xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
?b
xMxh ?
同时 ][
)(5.1m a x ?? ?? xbh
Q
][5.1)( ?b
Qxh ??
P
x
31
EI
PLy 3
m a x 021.0?
EI
PLy 3
m a x 014.0?
EI
PLy 3
m a x 0 0 7 3.0?
（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。
P
L/2 L/2
M x
+ PL/4
P
L/4 3L/4
M x 3PL/16
P=qL
L/5 4L/5
对称 M x
qL2/10
32
EI
qLy 4
m a x 013.0?
EI
qLy 43
m a x 107 8 7 5.0
???
EI
qLy 43
m a x 10326.0
???
M x
8
2qLq
L
L/5
q
L/5
40 2 qL
50 2 qL ?
M x
q
L/2 L/2 32 2 qL ?
M
x
512/9 2qL
33
Z
Y
cr I
I
L
GEb ?? ?
（四）、梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
34
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
h
???
?
???
? ??
?
?
??
?
??
Z
Y
Z
Y
Z
Y
cr I
I
I
IEG
I
I
L
E
L 2
2
2
2
)(
2
h ???
由上可见,I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
的可能性却增大了，这点应引起注意。
35
（五）、选用高强度材料，提高许用应力值
同类 材料,, E”值相差不多,, ?jx”相差较大, 故换
用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢 E=200GPa,铜
E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳
定性的目的。但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生
很大的改变！
*简单静不定 梁
1、处理方法：变形协调方程、物理
方程与平衡方程相结合，求全部未
知力。
解,?建立静定基
确定超静定次数，用反力
代替多余约束所得到的结构 —
— 静定基。
=
EI
q0
L A
B
L
q0 MA
B A
q0
L RB A
B
x
y
?几何方程 —— 变形协调方程
0??? BBRBqB fff
+
q0
L RB A
B
=
RB
A B
q0
A B
?物理方程 —— 变形与力的关系
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
???
038
34
??? EILREIqL B 83 qLR B ??
?求解其它问题（反力、应力,
变形等）
?几何方程
—— 变形协调方程,
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B ????
=
例 6 结构如图，求 B点反力。 L
BC EA
x
y
q0
L RB A
B
C
q0
L RB A
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
=
LBC EA
x
y
q0
L RB A
B
C
RB
A B +
q0
A B
?物理方程 —— 变形与力的关系
?补充方程
?求解其它问题（反力、应力,
变形等）
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3; 8
34
????
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB ??
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
?
??
EA
LRL BCB
BC ??
40
2
§ 8–1 梁的挠度和转角
§ 8–2 挠曲线近似微分方程
第八章 弯曲变形
§ 8–4 叠加法求弯曲变形
§ 8–5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
* 简单静不定 梁
§ 8–3 积分法求弯曲变形
§ 8－１ 梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 用 w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度 。用 ? 表示，逆时
针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系,
一、度量梁变形的两个基本位移量
( 1 ) )( ddtg xfxw ???? ??
小变形
P
x
w
C
?
C1
y
§ 8-2 挠曲线近似微分方程
z
z
EI
xM )(1 ?
?
z
z
EI
xMxf )()( ?????
即挠曲线近似微分方程。
)(
))(1(
)(1
232
xf
xf
xf ????
??
????
?
小变形
y
x
M>0
0)( ??? xf
y
x
M<0
0)( ??? xf
挠曲线曲率,
EI
x M x f ) ( ) ( ? ? ? ?
6
)()( xMxfEI ???
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式,
7
)()( xMxfEI ???
用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）
)()( xMxfEI ???
1d)()( CxxMxfEIEI ???? ??
21d]d)([)( CxCxxxMxE I fE I w ???? ? ?
1.微分方程的积分
C1,C2为积分常数，据边界条件确定
§ 8-3 积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程,
2.位移边界条件
P
A B C
P
D
?支点位移条件,
?连续光滑条件,P A B
C
右左 CC ww ?
右左 CC ?? ?
00 ?? BA ww
00 ?? DDw ?
（集中力、集中力偶作用处，
截面变化处）
讨论,
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
④ 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
例 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
?建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM ??
?写出 微分方程的积分并积分 ?应用位移边界条件 求积分常数
)()(" xLPxME I w ????
1
2' )(
2
1 CxLPE I w ???
21
3)(
6
1 CxCxLPE I w ?????
061)0( 23 ???? CPLE I f
021)0()0( 12 ????? CPLfEIEI ?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC ????
解,
P L
x
y
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?323 3)(6)( LxLxLEIPxf ?????
EI
PLLff
3)(
3
m a x ???EI
PLL
2)(
2
m a x ??? ??
?最大挠度及最大转角
x
y
P
L
解,?建立坐标系并写出弯矩方程
??
?
??
????
)( 0
)0( )()(
Lxa
axaxPxM
?写出 微分方程的积分并积分
??
?
?
? ??
?
1
1
2
' )(2
1
D
CaxP
E I w
??
?
?
?
?
???
?
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCaxP
E I w
??
?
??
????
)( 0
)0( )("
Lxa
axaxPE I w
x
y
P
L
a
?应用位移边界条件 求积分常数
061)0( 23 ???? CPaE I f
021)0( 12 ??? CPaEI ?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC ??????
)()()( afafaf ?? ??
)()( ?? ? aa ?? 11 DC ??
2121 DaDCaC ????
P
L
a
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PaCPaC ????
x
y
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
?????
?
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
23
323
Lx xaa
EI
P
ax axaax
EI
P
xf
? ?aLEIPaLff ???? 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x ??? ??
?最大挠度及最大转角
P
L
a x
y
§ 8-4 叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加,多个载荷同时作用于结构而引起的变形
等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
)()()(),( 221121 nnn PPPPPP ???? ????????????????
)()()(),( 221121 nnn PfPfPfPPPf ????????????????
二、结构形式叠加（逐段刚化法）,
前提：小变形，线弹性．使梁的挠度、转角
均与载荷成线形关系。
例２ 按叠加原理求 A点转角和
C点挠度。
解,?载荷分解如图
?由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形。
EI
Paf
PC 6
3
??EIPaPA 4 2???
EI
qaf
qC 24
5 4??
EI
qa
qA 3
3
???
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
Paf
PC 6
3
??EIPaPA 4 2???
EI
qaf
qC 24
5 4??EIqaqA 3
3
???
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
?叠加
qAPAA ??? ??
)43(12
2
qaPEIa ???
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34 ???
例 ３ 按叠加原理求 C点挠度。 解,?载荷无限分解如图
?由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形。
?叠加
EI
bLbPf
d P C 48
)43()d( 22 ???
bLbqxxqP d2d)(d 0??
bE I L bLbq d24 )43(
222
0 ???
??? d P CqC ff EIqLbE I L bLbqL 240d24 )43(
45.0
0
222
0 ?????
q0
0.5L 0.5L
x dx
b
x
f
C
例 ４ 结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明。
=
+
P L1 L2
A B C
B C
P L2
f1
f2
等价
等价
x
x
21 fff ??
f
P L1 L2
A B C 刚化 AC段
P L1 L2
A B C
刚化 BC段
P L1 L2
A B C M
x
§ 8-5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
? ? m a x ww ? ? ??? ?m a x
一、梁的刚度条件
其中 [?]称为许用转角； [w]称为许用挠度。由具体工作条件定,
可查手册,通常 依此条件进行如下三种刚度计算,
?,校核刚度,
?,设计截面尺寸；
?,设计载荷。
? ??? ?m a x
(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地
位。特殊构件例外）
? ? m a x ww ?
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
例 ５ 下图为一空心圆杆，内外径分别为,d=40mm,D=80mm，
杆的 E=210GPa，工程规定 C点的 [f]=0.00001m,B点的 ??]=0.001
弧度,试校 核此杆的刚度。
=
+ +
=
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
P2=2kN
B C D A
P2
B C
a
P2
B C D A
M
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
EI
aLPaf
BC 16
2
1
11 ??? ?EI
LP
B 16
2
1
1 ???
EI
L a P
EI
ML
B 33
2
3 ???
EI
LaPaf
BC 3
2
2
33 ?? ?
解,?结构变换，查表求简单
载荷变形。
02 ?B? EIaPf C 3
3
2
2 ??
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
M
x
y
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
P L=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A B D C
P2
B C D A
M
x
y
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C 3316
2
2
3
2
2
1 ????
EI
LaP
EI
LP
B 316
2
2
1 ????
?叠加求复杂载荷下的变形
48
1244
44
m101 8 8
10)4080(
64
14.3
)(
64
?
?
??
???
?? dDI
?
m1019.53316 6
2
2
3
2
2
1 ???????
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C
)(104 2 3.0)32 0 0164 0 0(1 8 8 02 1 0 4.0316 42
2
1 弧度?????
????? EI
LaP
EI
LP
B?
? ? 001.010423.0 4m ax ???? ? ??
? ? m10m1019.5 56m ax ?? ???? ff
?校核刚度
25
强度：正应力,
剪应力,
? ? m a x ?? ??
zW
M
? ??? ??
z
z
bI
QS *
zEI
XMv )(" ?
刚度,
稳定性,
都与内力和截面性质有关 。
… … … … … … … … … … …
二、提高梁弯曲刚度的主要措施
26
（一）、选择梁的合理截面
矩形木梁的合理高宽比
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
R
b
h
27
一般的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x ?? ?? 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 ?? ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
z
D
z a
a
1, 0 512 1
3
2 zz I
bhI ??
28
mma x 2?? ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ? 12221 67.1,4 ])8.0([4 DDDDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
mm a x 5.1 ?? ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
59.4)8.01(64 14
4
3 zz I
DI ??? ?
2, 0 912812 z1
4
1
3
4 I
abh I
z ???
29
55.9 15 zz II ?
)(= 3.2 mm a x
fA
Q?? ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 2 2a 2 z
30
2、根据材料特性选择截面形状
?
G
z
如铸铁类材料，常用 T字形类的截面，如下图,
（二）、采用变截面梁
最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x ?? ?? xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
?b
xMxh ?
同时 ][
)(5.1m a x ?? ?? xbh
Q
][5.1)( ?b
Qxh ??
P
x
31
EI
PLy 3
m a x 021.0?
EI
PLy 3
m a x 014.0?
EI
PLy 3
m a x 0 0 7 3.0?
（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。
P
L/2 L/2
M x
+ PL/4
P
L/4 3L/4
M x 3PL/16
P=qL
L/5 4L/5
对称 M x
qL2/10
32
EI
qLy 4
m a x 013.0?
EI
qLy 43
m a x 107 8 7 5.0
???
EI
qLy 43
m a x 10326.0
???
M x
8
2qLq
L
L/5
q
L/5
40 2 qL
50 2 qL ?
M x
q
L/2 L/2 32 2 qL ?
M
x
512/9 2qL
33
Z
Y
cr I
I
L
GEb ?? ?
（四）、梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
34
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
h
???
?
???
? ??
?
?
??
?
??
Z
Y
Z
Y
Z
Y
cr I
I
I
IEG
I
I
L
E
L 2
2
2
2
)(
2
h ???
由上可见,I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
的可能性却增大了，这点应引起注意。
35
（五）、选用高强度材料，提高许用应力值
同类 材料,, E”值相差不多,, ?jx”相差较大, 故换
用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢 E=200GPa,铜
E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳
定性的目的。但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生
很大的改变！
*简单静不定 梁
1、处理方法：变形协调方程、物理
方程与平衡方程相结合，求全部未
知力。
解,?建立静定基
确定超静定次数，用反力
代替多余约束所得到的结构 —
— 静定基。
=
EI
q0
L A
B
L
q0 MA
B A
q0
L RB A
B
x
y
?几何方程 —— 变形协调方程
0??? BBRBqB fff
+
q0
L RB A
B
=
RB
A B
q0
A B
?物理方程 —— 变形与力的关系
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
???
038
34
??? EILREIqL B 83 qLR B ??
?求解其它问题（反力、应力,
变形等）
?几何方程
—— 变形协调方程,
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B ????
=
例 6 结构如图，求 B点反力。 L
BC EA
x
y
q0
L RB A
B
C
q0
L RB A
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
=
LBC EA
x
y
q0
L RB A
B
C
RB
A B +
q0
A B
?物理方程 —— 变形与力的关系
?补充方程
?求解其它问题（反力、应力,
变形等）
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3; 8
34
????
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB ??
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
?
??
EA
LRL BCB
BC ??
40
