第十章 组合变形
§ 10–1 引言
§ 10-3 截面核心
*斜弯曲
§ 10–4 扭转与弯曲
§ 10-2 拉伸 (压缩 )与弯曲
一、组合变形
§ 10–1 引 言
M
P
R
z
x
y
P P
组合变形,两种或两种以上基本变形的组合。
简单基本变形,拉、压、剪、弯、扭。
在复杂外载作用下，构件的变形会包含
几种简单变形，当几种变形所对应的应
力属同一量级时，不能忽略之，这类构
件的变形称为组合变形。
P
hg
水坝
q
P
hg
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
① 外力分析,外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴分解
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度
条件。
前提,小变形、线弹性。
叠加原理,杆件在几个载荷作用下产生的总效果,等于各载荷单独作
用产生的效果之和,
求解方法,将载荷分成几组静力等效的载荷,他们各自对应一种基本
变形,分别计算杆件在各基本变形下的应力、变形值。然
后叠加，即得原载荷引起的应力、变形。
x
y
z
P
*斜弯曲
一、斜弯曲, 杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力
（横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法,
1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
的平面弯曲。
Py Pz
Pz
Py
y
z
P
j
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
jsinPPy? jc o sPPz?
解,1.将外载沿横截面的形心主轴分解
2.研究两个平面弯曲
j
j
s in
s in)(
)(
M
xLP
xLPM yz
?
??
??
jco sMM y ?
①
内
力
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
j
L
m
m x
j? c o s
yy
y
I
M
I
zM z?????② 应
力
j? s in
zz
z
I
M
I
yM y??????
)s i nc o s( jj???
zy I
y
I
zM ????????
My引起的应力,
M z引起的应力,
合应力,
Pz
Py
y
z
P
j
x
y
z P
y
Pz
P L
m
m x
④ 最大正应力
⑤ 变形计算
0)s i nc o s( 00 ???? jj?
zy I
y
I
zM
③ 中性轴方程
j? c t gtg
0
0
y
z
I
I
z
y ??
可见：只有当 Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直。
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
1m a x DL ?? ? 2m a x Dy ?? ?
22 zy fff ??
z
y
f
f??tg
当 j = ?时，即为平面弯曲。
Pz
Py
y
z
P
j
D1
D2
?
中性轴
f
fz
fy
?
例 1结构如图,P过形心且与 z轴成 j角,求此梁的最大应力与挠度。
最大正应力 变形计算
21ma x D
y
y
z
z
DL W
M
W
M ??? ?????
2
3
2
3
22 )
3()3( y
z
z
y
zy EI
LP
EI
LPfff ????
j? tgtg
z
y
z
y
I
I
f
f ??当 Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
解：危险点分析如图
f
fz
fy
?
y
z
L
x
Py
Pz
P
h
b P
z
Py
y
z
P
j
D2
D1
?
中性轴
§ 10–4 扭转与弯曲
80o P2 z
y
x
P1
150 200 100 A B C D
解, ① 外力向形心
简化并分解
建立图示杆件的强度条件
弯扭组合变形
80o P2 z
x
y
P1
150 200 100 A B C D
150 200 100 A B C D
P1
Mx
z
x
y
P2y
P2z
Mx
② 每个外力分量对应
的内力方程和内力图
③ 叠加 弯矩, 并画图
)()()( 22 xMxMxM zy ??
④ 确定危险面
)( ; )( ; )( xTxMxM zy
M Z ( N m)
X
(Nm) Mz
x
M y ( N m)
X
My (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
T (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) Mmax
x
⑤ 画危险面应力分布图，找危险点
W
M
xB
m a x
1 ??
t
B W
T?
1
?
22
3
1 )
2(2 ?
??
?
? ???
?
?
?
⑥ 建立强度条件
22313 4 ????? ????r
2
2
2
2
m a x 4
tW
T
W
M ??
1xB?
1B?
x
1xB?
2xB?
M
1B?
1xB?
1B?
x B1
B2 My
Mz
T
M
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 ??????? ??????r 22 3?? ??
W
TM 22 75.0?
? )(
75.0 222
圆轴
W
TMM zy ??
?
W
TMM zy
r
222
4
75.0??
??
1xB?
1B?
)(
222
3 圆轴W
TMM zy
r
??
??
22313 4 ????? ????r
2
2
2
2
m a x 4
tW
T
W
M ??
W
TMM zy 222 ??
?
W
TM
r
22
3
?
??
① 外力分析,外力向形心简化并 分解。
② 内力分析,每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危
险面。
③ 应力分析,建立强度条件。
W
TM
W
TMM zy
r
22222
3
?
?
??
??
W
TM
W
TMM zy
r
22222
4
75.075.0 ?
?
??
??
弯扭组合问题的求解步骤,
223 4 ??? ??r
224 3??? ??r
例 3 图示空心圆杆，
内径 d=24mm，外
径 D=30mm，
P1=600N，
[?]=100MPa，试用
第三强度理论校核
此杆的强度。
① 外力分析,
弯扭组合变形
80o P2
x
150 200 100 A B C D
z
y
P1
150 200 100 A B C D
P1
Mx
z
x
y
P2y
P2z
Mx
解,
② 内力分析,危
险面内力为,
③ 应力分析,
W
TM
r
22
m a x
3
?
??
Nm3.71m a x ?M
Nm1 2 0?nM
)8.01(03.014.3
1203.7132
43
22
??
??
? ???? M P a5.97
安全
M Z ( N m)
X
(Nm) Mz
x
M y ( N m)
X
My (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
T (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) 71.3
x
71.25
40
7.05
120
5.5
40.6
§ 10–2 拉伸 (压缩 )与弯曲
一、拉 (压 )弯组合变形,杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P
R
P
x
y z P
My
x
y z P
My
Mz
P MZ My
A
P
xP ???
z
z
xM I
yM
z
???
y
y
xM I
zM
y
???
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P ????
二、应力分析,
x
y z P
My
Mz
任意截面任意点 (y,z)处的压应力,
000 ????
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P?
三、中性轴方程
对于偏心拉压问题
0)1( 2 02 02 02 0 ??????
y
P
z
P
y
P
z
P
i
zz
i
yy
A
P
Ai
zPz
Ai
yPy
A
P
y
y
z
z
y W
M
W
M
A
P ???
ma x?
y
y
z
z
l W
M
W
M
A
P ???
ma x?
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy
y
z
),( PP yzP
y
中性轴
四、危险点
（距中性轴最远的点）
M P a75.8
2.02.0
3 5 0 0 0 0
m a x2
?
?
?
?
A
P
?
???
11
m a x1
zW
M
A
P?
M P a7.11
3.02.0
6503 5 0
3.02.0
3 5 0 0 0 0
2
?
?
???
?
解,两柱均为 压应力
例 4 图示不等截面与等截面杆，受力 P=350kN，试分别求出两柱
内的绝对值最大正应力。
图（ 1） 图（ 2）
P
300
200
P
200
M P
P d
P
P
mm5102010100 201020 ???? ???Cz
2
3
5100101210010 ?????CyI
45
2
3
mm1027.7
]252010
12
2010[
??
?????
例 5 图示钢板受力 P=100kN,试求最大正应力；若将缺口移至板
宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
解,内力分析 如图
坐标如图，挖孔处的形心
Nm5 0 0105 3 ??? ?PM
P
P
M
N
20 100 20
y
z
yC
P
P
M
N
ycI
zM
A
N m a x
m a x ???
M P a8.1628.37125 ???
应力分析 如图
7
3
6
3
1027.7
1055500
10800
10100
?
?
? ?
???
?
??
孔移至板中间时
)100(10mm9.631108.162 10100 26
3
m a x
xNA ??????? ?
mm8.36 ?? x
20 100 20
y
z
yC
y
z
ay
az
01 2 ??
z
yP
i
ay
01 2 ??
y
zP
i
az
已知 ay,az 后,
指某一压力作用区域。
当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。
可求 P 力的一个作用点 ),(
PP yz
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy
中性轴 ),( PP yzP
截面核心
§ 10–3 截面核心