材料力学：第二章 轴向拉伸与压缩

第二章 轴向拉伸与压缩
§ 2–1 引言
§ 2–2 横截面上 内力 和应力
§ 2–3 拉压杆的强度条件
§ 2-4 拉压杆的变形 胡克定律
§ 2-8 拉伸、压缩超静定问题
§ 2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能
§ 2-6 温度和时间对材料力学性能的影响
拉压习题课
§ 2–1 引言
轴向拉压的受力特点,外力的合力作用线与杆的轴线重合 。
一、概念
轴向拉压的变形特点,
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
轴向压缩，对应的外力称为压力。
轴向拉伸，对应的外力称为拉力。
力学模型如图
PP
PP
工
程
实
例
二,
一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
§ 2–2 横截面上的内力和应力
二、截面法 · 轴力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1,截面法的基本步骤,
① 截开,在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。
②代替,任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力
（力或力偶）代替。
③平衡,对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。
（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）
2,轴力 ——轴向拉压杆的内力，用 N 表示。
例如,截面法求 N。
0?? X 0?? NP NP ?
A P P
简图
A P P
P
A
N
截开,
代替,
平衡,
① 反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；
②反映出最大轴力的数值
及其所在面的位置,
即危险截面位置，为
强度计算提供依据。
三,轴力图 —— N (x) 的图象表示。
3,轴力的正负规定,
N 与外法线同向,为正轴力 (拉力 )
N与外法线反向,为负轴力 (压力 )
N > 0 N N
N<0 N N
N
x
P
+
意
义
[例 1] 图示杆的 A,B,C,D点分别作用着大小为 5P,8P,4P,
P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
解,求 OA段内力 N1：设置截面如图
A B C D
PA PB PC PD
O
A B C D
PA PB PC PD
N1
0?? X 0
1 ????? DCBA PPPPN
04851 ????? PPPPN PN 21 ?
同理，求得 AB、
BC,CD段内力分
别为,
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图
B C D
PB PC PD
N2
C D
PC PD
N3
D
PD
N4
N
x 2P
3P
5P
P + +
–
轴力 (图 )的简便求法,自左向右,
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
遇到向左的 P?,轴力 N 增量为正；
遇到向右的 P?, 轴力 N 增量为负。
5kN 8kN 3kN
+
– 3kN
5kN
8kN
解,x 坐标向右为正，坐标原点在
自由端。
取左侧 x 段为对象，内力 N(x)为,
q
q L
x O
2
0 2
1d)( kxxkxxN x ??? ??
2
m a x 2
1)( kLxN ??
[例 2] 图示杆长为 L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。
L
q(x)
Nx
x
q(x)
N x
O
–
2
2kL
四、应力的概念
问题提出,P P
P P
1,内力大小不能衡量构件强度的大小。
2,强度：①内力在截面分布集度 ? 应力；
②材料承受荷载的能力。
1,定义,由外力引起的（构件某截面上一点处）内力 集度 。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集
度最大处开始。
?P
?A
M ① 平均应力
(?A上平均内力集度 )
② 全应力（总应力）,
(M点内力集度 )
A
Pp
M Δ
Δ?
A
P
A
Pp
AM d
d
Δ
Δl i m
0Δ
??
?
2,应力的表示,
③ 全应力分解为,
p ?
M ?
A
N
A
N
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
A
T
A
T
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
垂直于截面的应力称为,正应力” (Normal Stress)；
位于截面内的应力称为,剪应力” (Shear Stress)。
应力单位, Pa = N/m2
M Pa = 106 N/m2
G Pa = 109 N/m2
变形前
1,变形规律试验及平面假设,
平面假设,原为平面的横截面在变形后仍为平面。
（直杆在轴向拉压时）
a b
c d
受载变形后：各 纵向纤维变形相同。
P P
d ′
a′
c′
b′
五、拉（压）杆横截面上的应力
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。
2,拉伸应力,
? N P
A
N? ?
轴力引起的正应力 —— ?, 在横截面上均布。
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
3,危险截面及最大工作应力,
))( )(m a x ( m a x xA xN??
拉正压负,
5,应力集中（ Stress Concentration）,
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
4,Saint-Venant原理,
离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方
式的影响。
变形示意图,
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。 )
应力分布示意图,
21
一、应力的概念
§ 2–3 拉（压）杆的强度条件
问题提出,P P
P P
1,内力大小不能衡量构件强度的大小。
2,强度：①内力在截面分布集度 ? 应力；
②材料承受荷载的能力。
1,定义,由外力引起的（构件某截面上一点处）内力 集度 。
22
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集
度最大处开始。
?P
?A
M ① 平均应力
(?A上平均内力集度 )
② 全应力（总应力）,
(M点内力集度 )
A
Pp
M Δ
Δ?
A
P
A
Pp
AM d
d
Δ
Δl i m
0Δ
??
?
2,应力的表示,
23
③ 全应力分解为,
p ?
M ?
A
N
A
N
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
A
T
A
T
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
垂直于截面的应力称为,正应力” (Normal Stress)；
位于截面内的应力称为,剪应力” (Shear Stress)。
应力单位, Pa = N/m2
M Pa = 106 N/m2
G Pa = 109 N/m2
24
变形前
1,变形规律试验及平面假设,
平面假设,原为平面的横截面在变形后仍为平面。
（直杆在轴向拉压时）
a b
c d
受载变形后：各 纵向纤维变形相同。
P P
d ′
a′
c′
b′
二、拉（压）杆横截面上的应力
25
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。
2,拉伸应力,
? N P
A
N? ?
轴力引起的正应力 —— ?, 在横截面上均布。
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
3,危险截面及最大工作应力,
))( )(m a x ( m a x xA xN??
拉正压负,
26
5,应力集中（ Stress Concentration）,
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
4,Saint-Venant原理,
离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方
式的影响。
变形示意图,
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。 )
应力分布示意图,
27
二、安全系数 n,静载, n = 1.25 ~ 2.5
一、极限应力 ?jx：指材料破坏时的应力,
三、许用应力,
动载, n = 2 ~ 3.5 or 3 ~ 9 (危险性大 )
? ? n jx?? ? 杆件能安全工作的应力最大值
采用安全系数原因, 1.极限应力的差异,
2,横截面尺寸的差异,
3.载荷估计不准,
4.应力计算的近似性,
5.构件与工程的重要性,
6.减轻设备自重的要求,
n↑安全 ? n↓经济
§ 2–3 拉（压）杆的强度条件
? ? ))( )(m a x ( m a x ?? ?? xA xN
其中 ?max--（危险点的）最大工作应力
② 设计截面尺寸,
][ maxm i n ?
NA ?
? ? ; m a x ?AN ?
依强度准则可进行三种强度计算,
? ? m a x ?? ?① 校核强度,
③ 确定许可载荷,
四、强度条件 (拉压杆 ),
五、三类强度问题,
[例 3] 已知一圆杆受拉力 P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[?]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解,① 轴力,N = P =25kN
MP a1620140143 102544 232m a x ?? ?????,.π d PAN?
② 应力,
③ 强度校核,? ?
1 7 0 M P a1 6 2 M P am a x ??? ??
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
[例 4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布
集度为,q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
应力 [?]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。
钢拉杆
q
8.5m
① 整体平衡求支反力 解,
钢拉杆
8.5m
q
RA RB
HA
1 7, 8 5 k N 0
0 0
??
??
?
?
AB
A
Rm
HX
③ 应力,
④ 强度校核与结论,? ? M P a 170 M P a 9.44
m a x ??? ??
此杆满足强度要求，是安全的。
M P a9.44
016.014.3
1003.94
d
4
2
3
2m a x
?
?
??
?
??
?
?
P
A
N
② 局部平衡求 轴力,
q
RA
HA
RC
HC
N
kN03.9 0 ??? Nm C
? ?
。 s i n;
?
?
/hL
/NA
BD
BBD
?
?
[例 5] 简易起重机构如图,AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为 P，为使 BD杆最轻，角 ? 应为何值？ 已知 BD 杆的 许用应力
为 [?]。;BDBD LAV ?
分析,x L
h
? P
A B
C
D
PxhNm BDA ??? ? )ct g() s i n(,0 ??
?c o sh
PxN
BD ?
? ??/NA BD?? BD杆面积 A,
解,? BD杆 内力 N(? ),取 AC为研究对象，如图
YA
XA
?
NB
x
L
P
A B
C
?c o sh
PLN
BD ?
BD杆 轴力最大值,
YA
XA
?
NB
x
L
P
A B
C
③ 求 VBD 的 最小值,;2s i n ][ 2s i n ??? PL/AhALV BD ???
][
2 45
m i n
o
??
PLV,??? 时
**拉 (压 )杆斜截面上的应力
设有一等直杆受拉力 P作用。
求：斜截面 k-k上的应力。
P P
k
k a ① 采用截面法切开,左部平衡
由平衡方程,Pa=P
则,
a
a
a A
Pp ? Aa,斜截面面积； Pa：斜截面上内力。
由几何关系,
aa aa c o s c o s
AA
A
A ??? 代入上式，得,
a?a
a
a
a c o sc o s 0???? A
P
A
Pp 其中 ?0 为 a ?0 面,即横截面上的正应力,
P
k
k a
Pa
② 仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面 ??
P P
k
k a
斜截面上全应力,a?a c o s0?p
P
k
k a
Pa
③ pa分解为,
pa ? a?a? aa 20 c o sc o s ?? p
a?aa?a? aa 2s in2s inc o ss in 00 ??? p
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
当 a = 90° 时,0)(
m i n?a?
当 a = 0,90° 时,0||
mi n ?a?
当 a = 0° 时,)(
0m a x ?? a ?
(横截面上存在最大正应力 )
当 a = ± 45° 时,
2||
0
m a x
??
a ?
(45 ° 斜截面上剪应力达到最大 )
?a
?a
a
2、单元体,?单元体 —构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
?单元体的性质 —a、平行面上，应力均布；
b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点 M 的应力单元体,
1.一点的应力状态,过一点有无数的截面，这一点的各个截面
上的应力情况，称为这点的应力状态。
补充,
? P M
? ? ? ?
?
?
?
?
?
aa??
a??
a
a
c o ss i n
c o s
0
2
0
取分离体如图 3,a 逆时针为正；
? a 绕研究对象顺时针转为正；
由分离体平衡得,
?
?
?
??
?
?
?
??
a
?
?
a
?
?
a
a
2s i n
2
)2c o s(1
2
:
0
0
或
4、拉压杆斜截面上的应力
? ? ? ?
a a
x
图 3
M P a7.632/4.1272/0m a x ??? ??
M P a5.95)60c o s1(2 4.127)2c o s1(2 0 ????? a?? a
M P a2.5560s in2 4.1272s in2 0 ??? a?? a
M P a4.127 1014.3 100004 20 ????? AP?
例 6 直径为 d =1 cm 杆受拉力 P =10 kN的作用，试求最大剪应力，
并求与横截面夹角 30° 的斜截面上的正应力和剪应力 。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之,
?
例 7图示拉杆沿 mn由两部分胶合而成,受力 P，设胶合面的许用拉
应力为 [?]=100MPa ；许用剪应力为 [?]=50MPa,并设杆的强
度由胶合面控制,杆的横截面积为 A= 4cm2，试问,为使杆承受最
大拉力,a角值应为多大?(规定, a在 0~60度之间 )。
?
kN50,6.26 ??? BB Pa
联立 (1),(2)得,
P P
m
n a
解,
)1( ][c o s 2 ???a? a ?? AP
)2( ][c o ss i n ???aa? a ?? AP
P
a 60 30
B
? ? kN2.463/41050460s i n60c o s/ 260 ?????? ?AP
kN50m a x?? P
(1),(2)式的曲线如图 (2)，显然,B点左 侧由正应力控制杆的强
度,B点右侧由剪应力控制杆的强度，当 a=60° 时，由 (2)式得
? ? kN44.553/41060460s i n/60/ c o s 260,1 ???????? ?AP B
kN44.55m a x ?? P
解 (1),(2)曲线交点处,
kN4.54;31 11 ??? BB Pa;M P a60][ m a x ?? P?讨论：若
?
?
P
a 60 30
B1
1、杆的纵向总变形,3、纵向线应变,
L
LL
L
L ???? 1?
2、线应变：单位长度的变形量。
一、拉压杆的变形及应变
LLL ??? 1
§ 2－ 4 拉压杆的变形 胡克定律
a b
c d
x?
L
P P
d ′
a′
c′
b′
L1
5、横向线应变,4、杆的横向变形,
accaac ?????
ac
ac????
二、胡克定律 (弹性范围内 )
A
PLL ??
EA
NL
EA
PLL ???
※,EA” 称为杆的抗拉压刚度。
1L EANEL ?? ???? ??, E?即
3、泊松比（或横向变形系数）
??? ??, ??? ???或
1、拉压杆的胡克定律
2、单向应力状态下的胡克定律
E— 拉压弹性模量
C'
1、怎样画小变形放大图？
?变形图严格画法，图中弧线；
?求各杆的变形量△ Li,如图；
?变形图近似画法，图中弧之切线。
例 8 小变形放大图与位移的求法。
A B
C
L1 L
2
P 1L?2L?
C"
2、写出图 2中 B点位移与两杆变形间的关系
A B
C
L1
L2
a
1L?
2L?
Bu
Bv
B'
1Lu B ??
解：变形图如图 2,B点位移至 B'点，由图知,
aa s i nc t g
2
1
LLv
B
????
? ????? 060s i n6.12.18.060s i n ooA TPTm
kN55.113/ ??? PT
M P a1 5 11036.76 55.11 9 ???? AT?
例 9设横梁 ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm2 的钢索绕过
无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直
位移。设刚索的 E =177GPa。
解：方法 1：小变形放大图法
1）求钢索内力：以 ABCD为对象
2) 钢索的应力和伸长分别为,
800 400 400
D
C P
A B 60° 60°
P
A B
C
D T T
YA
XA
mm36.1m1 7 736.76 6.155.11 ?????? EATLL
C P
A B 60° 60°
800 400 400
D
A B 60° 60° D
B' D'
1?
2?C
?
C 3）变形图如左图,
C点的垂直位移为,
2
60s i n60s i n
2
21 ????
???
??
DDBB
L C
mm79.0
60s i n2
36.1
60s i n2
?
??? oL
§ 2－ 8 拉伸、压缩超静定问题
1、超静定问题,单凭静平衡方程不能确定出全部未知力
（外力、内力、应力）的问题。
一、超静定问题及其处理方法
2、超静定的处理方法,平衡方程、变形协调方程、物理
方程相结合，进行求解。
不
稳
定
平
衡
稳
定
平
衡
静定问题 超静定问题
例 11 设 1,2,3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
L1=L2,L3 =L ；各杆面积为 A1=A2=A,A3 ；各杆弹性模量
为,E1=E2=E,E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
C
P
A
B D
aa
1 2
3
解,?、平衡方程,
? ??? 0s i ns i n 21 aa NNX
? ????? 0c o sc o s 321 PNNNY aa
P
A
aaN1
N3
N2
21 NN ?
11
11
1 AE
LNL ??
33
33
3 AE
LNL ??
?几何方程 ——变形协调方程,
?物理方程 ——弹性定律,
?补充方程：由几何方程和物理方程得。
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得,
aco s321 LLL ?????
ac o s
33
33
11
11
AE
LN
AE
LN ?
33
3
11
33
3
33
3
11
2
11
21 c o s2 ; c o s2
c o s
AEAE
PAEN
AEAE
PAENN
????? aa
a
C
A
B D
aa
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
?平衡方程；
?几何方程 ——变形协调方程；
?物理方程 ——胡克定律；
?补充方程：由几何方程和物理方程得；
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组 。
3、超静定问题的方法步骤,
例 12 木制短柱的四角用四个 40?40?4的等边角钢加固，角钢和
木材的许用应力分别为 [?]1=160M Pa和 [?]2=12MPa,弹性模量
分别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa； 求许可载荷 P。
? ???? 04 21 PNNY
21 LL ???
2
22
2
11
1
1 LAE
LN
AE
LNL ?????
?几何方程
?物理方程及 补充方程,
解,?平衡方程, P P
y
4N1
N2
P P
y
4N1
N2
? 解平衡方程和补充方程，得,
PNPN 72.0 ; 07.0 21 ??
? ?111 07.0 ?APN ??
?求结构的许可载荷,
方法 1,
角钢面积由型钢表查得, A1=3.086cm2
? ?222 72.0 ?APN ??
? ? ? ? kN1 0 4 272.0/122 5 072.0/ 2222 ????? ?AP
? ? ? ? kN4.70507.0/1606.30807.0/111 ????? ?AP
? ? ? ? mm8.0/ 111 ??? EL ?
? ? ? ? mm2.1/ 222 ??? EL ?
所以在 △ 1=△ 2 的前提下，角钢将先达到极限状态,
即角钢决定最大载荷。
?求结构的许可载荷,
? ?
07.0
07.0
111 ANP ??? kN4.705
07.0
6.308160 ???
另外：若将钢的面积增大 5倍，怎样？
若将木的 边长 变为 25mm,又 怎样？
结构的最大载荷永远由钢控制着 。
方法 2,
?、几何方程
解,?、平衡方程,
2、超 静定问题存在装配应力 。
? ??? 0s i ns i n 21 aa NNX
? ???? 0c o sc o s 321 NNNY aa
13 co s)( LL ???? a?
二、装配应力 ——预应力
1、静定问题无装配应力。
如图,3号杆的尺寸误差为 ?，求各杆
的装配内力 。 A
B C
1 2
A
B C
1 2
D
A1
3
a a
?
A1
a aN1 N2
N3
a? c o s)(
33
33
11
11
AE
LN
AE
LN ??
?、物理方程及 补充方程,
?,解平衡方程和补充方程，得,
/ c o s21 c o s
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
LNN a
a?
????
/ c o s21 c o s2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
LN a
a?
???
?
A1
a aN1 N2
N3
A
A1 3L?
2L?1L?
?、几何方程
13 co s)( LL ???? a?
1、静定问题无温度应力。
三,温度应力
A
B C
1 2
C
A
B D
??
1 2
3
2、超静定问题存在温度应力。
（可自由伸缩）
（不可自由伸缩,→ 内力 → 应力＝热应力）
a
a
a
a
N1
N2
例 13 如图，阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃
时被固定,杆的上下两段的面积分别
??=?cm2, ??=?0cm2，当温度升至 T2
=25℃ 时,求各杆的温度应力。
(线膨胀系数 a =12.5× ；
弹性模量 E=200GPa)
C?/10 6?
?、几何方程,
解,?、平衡方程,
? ??? 021 NNY
0?????? NT LLL
?、物理方程
解平衡方程和补充方程，得, k N 3.3321 ?? NN
?,补充方程
2
2
1
1 ; 2
EA
aN
EA
aNLTaL
NT ?????? a
2
2
1
12
EA
N
EA
NT ??? a
?、温度应力
M P a 7.66
1
1
1 ?? A
N? M P a 3.33
2
2
2 ?? A
N?
§ 2－ 5 材料拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温 (20℃) ；静载（极其缓慢地加载）；
2、试验对象：标准试件。
d
h
力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。
3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。
EEA
P
L
L ?? ????
二、低碳钢试件的拉伸图 (P-- ?L图 )
三、低碳钢试件的应力 --应变曲线 (? --? 图 )
EA
PLL ??
(一 ) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段 )
1,op -- 比例段,
?p -- 比例极限
E
?? ?
atg?E
2,pe --曲线段,
?e -- 弹性极限
)( nf ?? ?
(二 ) 低碳钢拉伸的屈服 (流动）阶段 (es 段 )
e s --屈服 段, ?s ---屈服极限
滑移线,
塑性材料的失效应力,?s 。
２、卸载定律,
１,?ｂ ---强度 极限
３、冷作硬化,
４、冷拉时效,
(三 )、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段 )
1、延伸率,?
00
1 100???
L
LL?
2、截面收缩率,?
00
1 1 0 0???
A
AA?
3、脆性、塑性及相对性
为界以 005??
(四 )、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段 )
? ?
?
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.?
? 0.2
名义屈服应力,
? 0.2,即此类材料的失效应力。
五、铸铁拉伸时的机械性能
?ｂ L ---铸铁拉伸强度 极限（失效应力）
割线斜率 ; tg a?E
?
?
bL?
六、材料压缩时的机械性能
?ｂ y ---铸铁压缩强度 极限；
?ｂ y ?（ 4 — 6） ?ｂ L
七、安全系数、容许应力、极限应力
? ?
n
jx?? ?
? ?bsjx ????,,2.0?
n
1、许用应力,
2、极限应力,
3、安全系数,
006500/30 ???
N5024/160214.3 2 ?????? ?AP
解：变形量可能已超出了“线弹性”
范围，故，不可 再 应用 ―弹性 定律,
。 应如下计算,
M P a1 6 0??
例 10 铜丝直径 d=2mm，长 L=500mm,材料的 拉伸 曲线如 图
所示。如欲使铜丝的伸长为 30mm,则大约需加多大的力 P？
0 5 10 15 20 （ ?? ）
100 200
300
? （ M Pa ）
由拉伸图知,
? (MPa)
? (%)
72
一、温度对材料力学性能的影响
（短期，静载下）
§ 2–6 温度和时间对材料力学性能的影响
但在 260° 以前随温度的升高,
?b反而增大，同时 ?,?却减小。但
象低碳钢这种在 260° 以前的特征，
并非所有的钢材都具有。
总趋势,
温度升高,E,?S, ?b下降；
?,? 增大。
)( C?
)MPa(?
)GPa(E
0 100 200 300 400 500
216
177
137
700
600
500
400
300
200
100
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(%),??
E
S?
?
b?
?
73
温度对铬锰合金力学性能的影响
2000
1750
1500
1250
1000
750
500
250
0
-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
)MPa(?
)( C?
?
b?
2.0?
80
70
60
50
40
30
20
10
0
(%)?
74
P(kN)
-
-
-
- - -
0 5 10 15
30
20
10
0
C?20?
C?196?
C?253?
?l(mm) - - -
0 5 10 15
30
20
10
0
C?20?
C?196?
C?253?
P(kN)
?l(mm)
温度降低，塑性降低，强度极限提高
75
1、蠕变,
在高温和长期静载作用下，即使构件上的应力不变，塑性变
形却随时间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。
注意：应力没增加，杆自己在长长 ！
P
经过较长
时间后
P
加静载
二、蠕变与松驰（高温，长期静载下）
76
构件的工作段不能超过稳定阶段 ！
?
t
O
A B
C
D
E
不稳定
阶段
稳定阶段
加速阶段
破坏
阶段
? 0
材料的蠕变曲线
77
应力不变
4321 TTTT ???
温度越高蠕变越快
T1
T2
T3
T4
??
??
??
??
温度不变
1234 ???? ???
应力越高蠕变越快
蠕变变形是不可恢复的塑性变形 。
78
2、应力松弛,
在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时
间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小
。这种现象称为应力松弛。
杆也是自己长了一段 ！
经过较长时间后
卸载
加静载
79
温度不变 123 ??? ??
?? ?
?
??
初应力越大，松弛的初速率越大
初始弹性应变不变
321 TTT ??
T1
T3
T2
温度越高，松弛的初速率越大
一、轴向拉压杆的内力及轴力图
1、轴力的表示?
2、轴力的求法?
3、轴力的正负规定?
为什么画轴力图?
应注意什么?
4、轴力图,N=N(x)的图象表示?
P
A
N
B C
简图
A P P
N
x
P
+
轴力的简便求法,
以 x点左侧部分为对象,x点的内力 N(x)由下式计算,
其中,?P(?)” 与,?P(?)” 均为 x点左侧与右侧部分的
所有外力。
?? ???? )()()( PPxN
例 1 图示杆的 A,B,C,D点分别作用着 5P,8P,4P,P的
力，方向如图，试画出杆的轴力图。
A B C D O
5P 4P P 8P
N
x
–3P
5P
P
2P
应力的正负规定?
1、横截面上的应力,
A
xN )( ??
二、拉压杆的应力
危险截面及最大工作应力?
?
?
?
??
?
?
?
??
a
?
?
a
?
?
a
a
2s i n
2
)2c o s(1
2
0
0
2、拉压杆斜截面上的应力
Saint-Venant原理?
应力集中?
? N(x) P
a a
x
三,强度设计准则（ Strength Design Criterion）,
1、强度设计准则?
? ? ))( )(m a x ( m a x ?? ?? xA xN
? ? m a x ?? ??校核强度,
?设计截面尺寸,
? ? m a xm i n ?
NA ?
?设计载荷,? ? ; m a x ?AN ? ? ? )( m a xNfP ?
EA
NL
EA
PLL ???
1,等内力拉压杆的胡克定律
2、变内力拉压杆的胡克定律
3、单向应力状态下的胡克定律 1 ??
E?
?? ??? LL xEA xxNxL )( d)( )d(d
?
?
??
n
i ii
ii
AE
LNL
1
四、拉压杆的变形及应变 N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
P P
4、泊松比（或横向变形系数）
??? ??
5、小变形放大图与位移的求法
C'
A B
C
L1 L
2
P
C"
1L?2L?
装配应力 ——预应力
装配温度
?平衡方程；
?几何方程 ——变形协调方程；
?物理方程 ——胡克定律；
?补充方程：由几何方程和物理方程得；
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组 。
6、超静定问题的方法步骤,
五,材料在拉伸和压缩时的力学性能
3、卸载定律；冷作硬化；冷拉时效。
、许用应力 6
、极限应力 2
1,胡克定律
a?? tg ; ?? EE
? ?bsjx ????,,2.0?
4、延伸率
00
1 100???
L
LL?
5、截面收缩率
00
1 1 0 0???
A
AA?
? ? njx?? ?
例 2 结构如图,AB,CD,EF,GH都由两根不等边角钢组成，
已知材料的 [?]=170 M P a, E=210 G P a。 AC,EG可视为
刚杆，试选择各杆的截面型号和 A,D,C点的位移。
P=300kN
0.8m 3.2m 1.8m 1.2m
2m
3.4m
1.2m
A
B
C
D
F H q
0=100kN/m
解,?求内力，受力分析如图
E G
kN1 8 6?EN
kN2403004 2.3 ???AN
kN603004 8.0 ???DN
kN1 7 4?GN
D
q0=100kN/m
E G
A C
NG
NC NA
NE
ND
=ND P=300kN
?由强度条件求面积
][?
i
i
NA ?
23 cm12.1410
170
240 ??? ?
ABA
2cm5.3?CDA
2cm9.10?EFA
2cm2.10?GHA
21 cm212.72),55690(2,????? ABAAB
21 cm89.12),32540(2,????? CDACD
21 cm609.52),54570(2:)( ????? EFAGHEF
?试依面积值查表确定钢号
?求变形
i
ii
i EA
LNL ??
mm67.21054.141.2 4.3240 4
1
??? ???? ?
AB
ABAB
AB EA
LNL
mm91.0?? CDL mm74.1?? EFL mm63.1?? GHL
?求位移,变形图如图
mm61.2?????? CDDC L mm61.2???? ABA L
A
B
D
F H
E G
mm70.1????????? GHGHEFD LDGEG LL
C
C1 A1
E1 D
1 G1
例 3 结构如图,AC,BD的直径分别为,d1 =25mm,d2 =18mm,已知
材料的 [?]=170 M Pa, E=210 G Pa,AE可视为刚杆，试校核各杆
的强度 ;求 A,B点的位移△ A和△ B。 (2)求当 P作用于 A点时,F点的
位移△ F′,△ F′= △ A是普遍规律：称为位移互等定理。
B
NB P=100kN NA
A
A B
C D P=100kN
1.5m 3m 2.5m
F
A?
B?
F?
解, ?求内力，受力分析如图
kN7.661005.4 3 ???AN kN3.33?BN
?校核强度
? ???? ??? 24
i
ii
i d
N
A
N
? ??? ?????? M P a8.1 3 5102514.3 7.664 92A
? ??? ?? M P a131B
?求变形及位移
i
ii
i EA
LNL ??
mm62.110251.214.3 5.27.664 22 ???? ????? ?
AC
A
AC EA
LNL
mm56.1?? BDL
?求当 P作用于 A点时,F点的位移△ F′
mm62.1??????? ACF LABBFL
0 ;kN1 0 0 ???? BA NN
mm43.210251.214.3 5.21 0 04 22 ???? ????? ?ACL
FAC LL ?????
P=100kN
1.5m 3m 2.5m
A??
F??
A F B
C D
96