第九章 应力状态与强度理论
§ 9–1 引言
§ 9–2 二向应力状态分析 ——解析法
§ 9–3 二向 应力状态分析 ——图解法
§ 9–4 三向应力状态简介
§ 9–5 广义虎克定律
§ 9–6 复杂应力状态的应变能密度
§ 9–8 莫尔强度理论
§ 9–7 四种常用的 强度理论
§ 9–１ 引 言
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
M
低碳钢
铸铁 P
P 铸铁拉伸
P
铸铁压缩
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
P
四、普遍状态下的应力表示
三、单元体, ?单元体 ——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
?单元体的性质 ——a、各侧面上，应力均布；
b、平行面上，应力相等,
方向相反。
二、一点的应力状态,
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（ State of Stress at a Given Point）。
x
y
z
s x
sz
s y
txy
tzx
五、原始单元体（已知单元体）,
例 1 画出下列图中的 A,B,C点的已知单元体。
P P A
A
s x s x
M
P
x
y
z
B
C
s x s x B
txz C
t xy
t yx
六、主单元体、主面、主应力,
?主单元体 (Principal body),
各侧面上切应力均为零的单元体。
?主平面 (Principal Plane),
切应力为零的截面。
?主应力 (Principal Stress ）,
主平面上的正应力。
?主应力排列规定：按代数值大小,
321 sss ??
s1
s2
s3
x
y
z
sx
sy
sz
?单向应力状态（ Unidirectional State of Stress）,
一个主应力不为零的应力状态。
?二向应力状态（ Plane State of Stress）,
一个主应力为零的应力状态。
?三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）,
三个主应力都不为零的应力状态。
A
s x s x
tzx
s x s x B
txz
§ 9–2 二向应力状态分析 ——解析法
等价
sx t
xy
sy
x
y
z x
y
sx
txy
sy
O
规定,?s? 截面外法线同向为正；
?t ?绕研究对象顺时针转为正；
??逆时针为正。
图 1
一、任意斜截面上的应力
x
y
sx
txy
sy
O
sy
txy sx
s?
t?
?
x
y
O t
n
图 2
已知,?sx,sy 拉正压负；
?t xy 绕研究对象顺时针转为正；
? S
Scos?
Ssin?
设：斜截面面积为 S,
图 1
由分离体平衡得,? ? F
n 0
0c o ss ins in
s inc o sc o s
2
2
???
??
??t?s
??t?ss ?
SS
SSS
yxy
xyx
sy
txy sx
s?
t?
?
x
y
O t
n
图 2
? S
Scos?
Ssin?
考虑切应力互等和三角变换,
???
?
?
?
?
tt
2s i nc o ss i n2;
2
2c o s1
s i n;
2
2c o s1
c o s;
2
2
?
?
?
?
?
?
yxxy
?
?
图 1 x
y
sx
txy
sy
O
sy
txy sx
s?
t?
?
x
y
O t
n
图 2
?t?sssss ? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
?t?sst ? 2c o s2s i n2 xyyx ???
得,
同理 ? 由分离体平衡,
? ? F t 0 得,
∴ 任意斜截面应力 s?,t?可求,随 ?而变,
? ? 有最大最小值。时 ?? s?t?ss?s,02c o s22s i n ????? xyyxdd
二、极值应力
yx
xy
ss
t?
???
22tg
0
！极值正应力就是主应力取得极值时 ?? 0,?? ts
） 2222 xyyxyx
m in
m ax tssss
s
s ??±??
?
?
?
（
x
y
sx
txy
sy
O
?t?sssss ? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
s? 随 ?而变,
主平面法线与 X轴夹角,
可求出相差 90o的两个 ?0,定两个互相垂直
平面,分别对应最大、最小主应力,
x
y
sx
txy
sy
O
主
单元体
s1?(smax)在切应力相对的象限内,
且偏向于 sx 及 sy大的一侧。
xy
yx
t
ss?
22tg 1
??
2 2
2 x y
y x
min
max t s s
t
t ? ? ± ?
? ?
?
） （
0
01 45,4 面成即极值剪应力面与主平
??? ??
m i n2
m a x1
ss
ss
??
?? 2s?
1s?
极值切应力所在面
(法线与 X轴夹角 ),
? ? 02s i n22c o s,???? ?t?ss?t ? xyyxdd令
?t?sst ? 2c o s2s in2,xyyx ???由
例 2 分析受扭构件的破坏规律。
解,?确定危险点并画其原
始单元体
?求极值应力
0?? yx ss
P
n
xy W
M??tt
22
m i n
m a x
22 xy
yxyx tssss
s
s
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
tt ???? 2xy
t xy C
t yx
M
C
x
y
O
txy
tyx
?破坏分析
tt
ss
t
t
???
?
??
?
?
? 22
m i n
m a x
2 xy
yx ）（
tssts ???? 321 ;0;
?4522tg
00 ??????? ?ss
t?
yx
xy
0022tg 11 ????? ?t ss?
xy
yx
M P a2 0 0;M P a2 4 0,?? ss ts低碳钢
M P a3 0 0~1 9 8;M P a9 6 0~6 4 0
M P a2 8 0~98:
??
?
byb
Lb
ts
s灰口铸铁
低碳钢
铸铁
§ 9–3 二向应力状态分析 ——图解法
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?t?
ss
t
?t?
ssss
s
?
?
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx tsstsss
?? ???
?
?
???
? ???
???
?
???
? ??
对上述方程消去参数（ 2?），得,
一、应力圆（ Stress Circle）
x
y
sx
txy
sy
O
sy
txy sx
s?
t?
?
x
y
O t
n 此方程曲线为圆 —应力圆（或莫尔圆 )
22
2
);0,
2
( xyyxyx t
ssss
?
??
）（半径圆心
?建立应力坐标系，如下图所示,
（注意选好比例尺）
二、应力圆的画法
?在 坐标系内画出点 A(s x,txy)和
B(sy,tyx)
?AB与 s? 轴的交点 C便是圆心。
?以 C为圆心，以 AC为半径画
圆 ——应力圆；
sx
txy
sy
x
y
O
n
s?
t?
?
O
s?
t?
C
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?
n D( s?,t??
22
2
);0,
2
( xyyxyx t
ssss
?
??
）（半径圆心
sx
txy
sy
x
y
O
n
s?
t?
?
O
s?
t?
C
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?
n D( s?,t??
三、单元体与应力圆的对应关系
??面上的 应力 (s ?,t ?)
应力圆上一点 (s ?,t ?)
??面的法线 应力圆的半径
?两面夹角 ? 两半径夹角 2? ；
且转向一致。
点面对应,转向相同,转角二倍
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
t
ssss
s
s
?
?
?
?
???
?
?
?
）（
半径
四、在应力圆上标出极值应力
22
m i nm a x
m i n
m a x
2
2
xy
yx
R
t
ss
ss
t
t
?
?
?
?
????
?
?
?
）（
半径
O C s
?
t?
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?1
mint
maxt
2?0
s1 s2 s3
22
2
);0,
2
( xyyxyx t
ssss
?
??
）（半径圆心
s3
例 3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。 (单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
A
B
s 1
s2
解,?主应力坐标系如图
?AB的垂直平分线与
s? 轴的交点 C便是
圆心，以 C为圆心，
以 AC为半径画
圆 ——应力圆
?0
s1 s2
B A
C
2?0
s?
t?
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B
)325,95(A
?在 坐标系内画出点
s3 s
1 s2
B A
C
2s0
s?
t?
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
?主应力及主平面如图
0
20
1 2 0
3
2
1
?
?
?
s
s
s
?300 ???
45
325
325
95
150
°
s 1
?0 s2
A
B
?t?sst ? 2c o s2s in2 xyyx ???
45
325
325
95
150
°解法 2—解析法：分析 ——建立坐标系如图
xyyx
y
tt
s
???
?
M P a325
M P a45
?xs
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s ?????
?
?
? ）（
60°
M P a325
M P a95
60
60
?
?
t
sx
y
O
z
z
xy Ib
QS ??t
z
x I
My?s
1
2
3
4
5
P1 P2 q 如图，已知梁发生剪切弯
曲（横力弯曲），其上 M、
Q>0，试确定截面上各点主
应力大小及主平面位置。
单元体,
22
3
1
22 xy
xx tss
s
s ???
?
?
? ）（
五、梁的主应力及主应力迹线
1
s1
s3
s3
3
s1
s3
s1
s1
s3
5
?0
–45°
?0
s
t
A1 A2 D2 D1
C O
s
A2
D2
D1
C
A1
O
t
2?0
s
t
D2
D1
C
D1
O
2?0= –90°
s
D2
A1 O
t
2?0
C
D1
A2
s
t
A2 D2 D1
C
A1
O
拉力
压力
主应力迹线 （ Stress Trajectories),
实线表示拉主应力迹线；
s1 s3 虚线表示压主应力迹线。
主应力方向线的包络线 ——曲线上每一点的切线都指示
着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
两组曲线正交,
q
x
y
主应力迹线的画法,
1
1
截面
2
2
截面
3
3
截面
4
4
截面
i
i
截面
n
n
截面
b a
c
d
s3
s1
§ 9–4 三向应力状态简介
s2
s1
x
y
z
s3
1s2
s3s
?s
?t
1、空间应力状态
2、三向应力分析
?弹性理论证明，图 a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图 b的应力圆上或阴影区内的一点。
图 a
图 b
?整个单元体内的最大切应力为,
t max
2
31
m a x
sst ??
s2
s1
x
y
z
s3
1s2
s3s
?s
?t
例 4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（ MPa）
解,?由单元
体图知,y
z面为主面
501??s
?建立应力坐标系如
图，画应力圆和
点 s1′,得,
27
50
58
3
2
1
??
?
?
s
s
s
44m a x?t
50 40
x
y
z
30
10
(M Pa)
s?
（ M Pa ） t?
A
B
C
A
B
s1 s2 s3
t max
§ 9–5 广义虎克定律
一、单拉下的应力 --应变关系
E
x
x
s? ?
xy E s
?? ??
xz E s
?? ??
二、纯剪的应力 --应变关系
G
xy
xy
t? ?
) 0 x,y,z( i,jij ???
)( 0 x,y,zii ???
0?? zxyz ??
x
y
z
sx
x
y
z
t x y
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
依叠加原理,得,
? ?? ?zyx
zyx
x
E
EEE
ss?s
s
?
s
?
s
?
???
???
1
? ?? ?xzyy E ss?s? ??? 1
? ?? ?yxzz E ss?s? ??? 1
G
xy
xy
t? ?
G
yz
yz
t? ?
G
zx
zx
t? ?
? ?? ?zyxx E ss?s? ??? 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
y
z
sz
sy
txy
sx
主应力 --- 主应变关系
四、平面状态下的应力 ---应变关系,
0??? zxyzz tts
方向一致
02tg
2 ?
ss
t ?
??? yx
xy
yx
xy
??
??
?
???
02tg
? ?? ?1322 1 ss?s? ??? E
? ?? ?1233 1 ss?s? ??? E
? ?? ?3211 1 ss?s? ??? E
xyxy G?t ?
? ?yxx E ????s ??? 21
? ?xyy E ????s ??? 21
主应力与主应变 方向一致?
0
2
0 2tg)(
)]1)([(
1
22
2tg ?
??
?
???
?
?
ss
t
? ??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
yx
xy
yx
xy
yx
xy
E
G
一、概述,§ 9–7 四种常用的强度理论
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验
M
低碳钢
铸铁
P
P 铸铁拉伸
P
铸铁压缩
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
P
确定破坏（极限）应力，得许用应力，建立相应的强度条件,
（一）、简单变形时强度条件的建立,
（二）、强度理论,是关于, 构件发生强度失效起因, 的假说
。
1、伽利略播下了第一强度理论的种子；
（三）、材料的破坏形式,⑴ 屈服 （多为塑性材料）；
⑵ 断裂 （多为脆性材料）。
2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的
萌芽；
3、杜奎特（ C.Duguet)提出了最大切应力理论；
4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（ maximum distortion
energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
找到原因后，利用简单应力状态的实验结果，建立复杂应力
状态的强度条件。
二、最大拉应力（第一强度）理论,
1、破坏判据,0)(;
11 ?? sss b
2、强度准则,? ? 0)( ;
11 ?? sss
3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的承受拉应力的构件。
认为构件的断裂破坏是由最大拉应力引起的。当最大拉应力
达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
（一般是金属材料，如铸铁的单向拉、扭。
不适用单向、两向压。）
三,最大伸长线应变（第二强度）理论,
1、破坏判据,
0)(; E 1b1 ??? ?s?? u
2、强度准则,
3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。
? ?? ? EE bsss?s? ???? 3211 1
? ? bsss?s ??? 321
? ? ? ?sss?s ??? 321
同时考虑了 s1,s2,s3，适用于脆性材料（一般非金属）。
不适用于两向拉、压。
认为构件的断裂破坏是由最大伸长线应变引起的。当最大伸
长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
四、最大切应力（第三强度）理论,
1、破坏判据,
2m a x
s
u
stt ??
3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。
22
31
m a x
sssst ???
ssss ?? 31
2、强度准则,? ?sss ??
31
适用于塑性材料，应用广泛，形式简单，概念明确。
缺点：忽略了 s2的影响，偏于安全。
认为构件的屈服破坏是由最大切应力引起的。当最大切应
力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。
五、形状改变比能理论（第四强度理论）（畸变能密度理论）,
1、破坏判据,
? ? ? ? ? ?? ? )2(61000061 2222m a x sssdud EEvv s?ss? ??????????
2、强度准则
3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。
? ? ? ? ? ?? ? )2(6161 2213232221 sdud EvEv s?ssssss? ??????????
? ? ? ? ? ?? ? ssssssss ?????? 21323222121
? ? ? ? ? ?? ? ? ?sssssss ?????? 21323222121
对塑性材料,第四强度理论与试验结果相当接近,优于第三强度理论,
认为构件的屈服破坏是由形状改变比能引起的。当形状改变比
能达到单向拉伸试验屈服时的形状改变比能时，构件就破坏了。
六、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。
1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；
3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用,
2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；
? ?tt ?m ax
4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！
当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使
用莫尔理论。
当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。
其它应力状态时，使用第三或第四理论。
七、相当应力：（强度准则的统一形式）。
? ? ss ?r 其中, sr—相当应力 。
11 ss ?r
? ?3212 ss?ss ???r
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 sssssss ??????r
313 sss ??r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?n sssss,,2.0b?
31 ][
][ s
s
sss
y
L
rM ??
M P a7.351.07 0 0 016 3 ????? ?t
tW
T
M P a37.6101.0504 32 ?????? ?s AP
22
m i n
m a x )2(2 t
sss ??? M P a7.35)
2
37.6(
2
37.6 39
32
22
?????
M P a32,0,M P a39 321 ????? sss ? ?ss ?1
解,危险点 A的应力状态如图,
例 1 直径为 d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,为 铸铁构
件,[s]=40MPa,试 用第一强度理论校核 杆的 强度。
故，安全。
P P
T
T
A
A
s
t
A s
t
例 2 薄壁圆筒受最大内压时,测得 ?x=1.88?10-4,?y=7.37?10-4,已知钢
的 E=210GPa,[s]=170MPa,泊松比 ?=0.3，试用第三强度理论 校核
其 强度。
???? )(1 2 yxx E ????s M P a4.9410)37.73.088.1(3.01 1.2 72 ?????
???? )(1 2 xyy E ????s M P a1.1 8 310)88.13.037.7(3.01 1.2 72 ?????
解：由广义虎克定律得,
A s x
s y
x
y A
0,M P a4.94,M P a1.183 321 ???? sss
? ?ssss ???? 1.183313r
? ?
? ? 003 7.7170
1701.183 ????
s
ss r?
所以，此容器不满足第三强度理论。不安全 。
§ 9–8 莫尔强度理论
莫尔认为：最大切应力
是使物体破坏的主要因素，
但滑移面上的摩擦力也不可
忽略（莫尔摩擦定律）。综
合最大切应力及最大正应力
的因素，莫尔得出了他自己
的强度理论。 °￠ íD ? ?a ?? ( O,M o hr),1 8 3 5 ?? 1 9 1 8
近似包络线
极限应力圆的包络线 O
t s
极限应力圆
一、两个概念,1、极限应力圆,
2、极限曲线：极限应力圆的包络线（ envelope）。
?s
?t
1ss
2ss3s
s
[s y]
s ?
?
o
t
[s L] O1 O2
莫尔理论危险条件的推导
L j x
by
bL ss
s
ss ??
31
2、强度准则,
1、破坏判据,
? ?ssssss ???? 31 ][ ][
y
L
M
O3 s 1 s 3
M
K L
P
N
二、莫尔强度理论,任意一点的应力圆若与极限曲线相接触,
则材料即将屈服或剪断。
三、相当应力：（强度准则的统一形式）。
? ? ss ?r 其中, sr—相当应力 。
11 ss ?r
? ?3212 ss?ss ???r
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 sssssss ??????r
313 sss ??r
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
n
sssss,,2.0b?
31 ][
][ s
s
sss
y
L
rM ??
3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不
等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。
破坏判据,
例 3 一铸铁构件 sbL= 400MPa,sby= 1200MPa，一平面应力状
态点按 莫尔强度理论屈服时，最大切应力为 450MPa，试求该点
的主应力值。
21
12s in
OO
LOMO ???
?st? s i n)/2(s i n)/( m a x1331 bLLOKOOO ????
bLby
bLby
ss
ss
?
??
5.0
4001200
4001200
?
?
??
解,做莫尔理论分析图
[s y]
s ?
?
o
t
[s L] O1 O2
莫尔理论危险图
O3 s 1 s 3
M
K L
P
N ?
?stsss s i n)/2(22,m a x31 bLbL ????即
4502)/( m a x31 ??? tss
M P a750 ; M P a150 31 ??? ss
3 0 05.0)/2 0 04 5 0(2 0 02 31 ??????? ss
解 上述联立方程得,