第4章 齿轮机构及其设计 基本要求：了解齿轮机构的类型和应用、齿廓啮合基本定律；掌握渐开线直齿圆柱齿轮的啮特性、正确啮合条件、连续传动条件等；熟悉渐开线齿轮各部分的名称、基本参数及几何尺寸计算；了解切齿原理、根切现象、最少齿数及变位修正和变位齿轮传动的概念；了解斜齿圆柱齿轮、直齿圆锥齿轮、蜗轮蜗杆齿廓曲面的形成、啮合传动特点、几何尺寸计算。 重 点：圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算。 难 点: 一对轮齿的啮合过程；斜齿轮和圆锥齿轮的当量齿轮和当量齿数。 学 时：课堂教学：6学时，实验：齿轮范成原理，2学时 第一讲 § 4-1 齿轮机构的应用和分类 一、根据其传动比（i12=ω1/ω2）是否恒定分 1、定传动比（i12 = 常数）传动的齿轮机构——圆形齿轮机构 2、变传动比（i12按一定的规律变化）传动的齿轮机构——非圆形齿轮机构 二、在定传动比中两啮合齿轮的相对运动是平面运动还是空间运动分 1、平面齿轮机（圆柱齿轮传动）  2、空间齿轮机构  §4-2 齿廓实现定传动比的条件 ∵  又∴   ∴ i12=ω1/ω2= 上式表明，互相啮合的一对齿轮，在任一位置时的传动比， 都与其连心线O1O2被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反比。这一定律称为齿廓啮合的基本定律。 过两齿廓啮合点所作的齿廓公法线与两轮连心线O1O2的交点C称为啮合节点（简称节点）。 上式还表明，要使两齿轮作定传动比传动，则两齿廓必须满足的条件是：不论两齿廓在何位置接触，过接触点所作的两齿廓公法线必须与两齿轮的连心线相交于一定点。 当两齿轮作定传动比传动时，节点C在轮1和轮2的运动平面上的轨迹分别是以O1、O2为圆心，以O1 C、O2 C为半径的两个圆，此圆称为节圆。并且两节圆作纯滚动。 若两齿轮作变传动比传动时，节点C在轮1和轮2的运动平面上的轨迹分别是两条非圆曲线，此曲线称为节线。 §4-3 渐开线的形成及其特性 一、渐开线的形成 1）基圆，半径用rb表示 2）展角，用θk表示 二、渐开线的特性 1） 2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。切点B是点K的曲率中心，而线段是渐开线在点K的曲率半径。 3） 4）渐开线的形状取决于基圆大小。 5）基圆内没有渐开线。 三、渐开线齿廓啮合特性 1、渐开线齿廓能保证定传动比传动要求 i12=ω1/ω2== 常数 2、渐开线齿廓间的正压力方向不变 啮合线——齿轮传动时其齿廓啮合点的轨迹称为啮合线（N1N2）。 3、渐开线齿廓传动具有可分性 由图知，ΔO1N1P~ΔO2N2P，故 i12=ω1/ω2 = = rb2 / rb1 当渐开线齿轮的中心距稍有改变，其角速度比仍保持原值不变。 第二讲 §4-4 渐开线标准齿轮各部分名称和基本尺寸 一、外齿轮 1、各部分的名称和符号 1）齿顶圆：齿顶所在的圆，用da和ra表示。 2）齿根圆：齿根所在的圆，用df和rf表示。 3）齿厚：任意圆周上量得的齿轮两侧间的弧长，用sk表示。 4）齿槽宽：任意圆周上量得的相邻两齿齿廓间的弧长，用ek表示。 5）齿距：任意圆周上量得的相邻两齿同侧齿廓间的弧长，用pk表示。 pk=sk+ek 6）分度圆：计算基准圆，用d和r表示。 7）齿顶高：介于分度圆与齿顶圆之间的轮齿部分的径向高度，用ha表示。 8）齿根高：介于分度圆与齿根圆之间的轮齿部分的径向高度，用hf表示。 9）齿全高：齿顶圆与齿根圆之间的轮齿部分的径向高度，用h表示。 h=ha+hf 2、基本参数 1）齿数：用z表示。 2）模数：用m表示。 ∵ 分度圆周长= z p =πd ∴ d= zp/π 设 m=p/π 单位：mm。于是，有 d=zm m是决定齿轮尺寸的基本参数，已标准化。 3）分度圆压力角：用α表示。 αk=arc cos (rb/rk) 由上式可见，对于同一渐开线齿廓，rk不同，αk也不同，基圆上的压力角为零。通常所说的齿轮压力角是指齿轮在分度圆上的压力角，用α表示，于是有 α=arccos (rb/r) 或 rb=rcosα 压力角也是决定齿轮尺寸的基本参数,国标规定的标准值,α=20°。有时也用α=14.5°、15°、22.5°、25°。 3、各部分尺寸的计算公式 1）分度圆直径 d=mz 2）齿顶高 ha=h*am 3）齿根高 hf=(h*a+c*)m 4）齿全高 h=ha+hf=(2h*a+c*)m 5）齿顶圆直径 da=d+2ha=(z+2 h*a)m 6）齿根圆直径 df=d-2hf= mz - 2(h*a+c*)m= (z -2 h*a- 2c*)m 式中，h*a——齿顶高系数、c*——顶隙系数。其标准值为：h*a=1、c*=0.25 7）基圆直径 db= dcosα= mzcosα 8）齿距 p =πm 9）基圆上的齿距 ∵ 任意圆周长= zpk=πdk ∴ pk =πdk/ z 故 pb=πdb / z ==πmcosα=pcosα 10）法向齿距——相邻两齿同侧齿廓沿公法线方向量得的距离，用pn表示。而根据渐开线的第一个性质可知 pn= pb 标准齿轮——m、α、h*a、 c*均为标准值，且s = e的齿轮。 二、齿条 1）齿条的齿顶高 ha=h*am 2）齿条的齿根高 hf=(h*a+c*)m 3）齿条的齿厚 s=πm/2 4）齿条的齿槽宽 e=πm/2 三、内齿轮 1）内齿轮的齿顶圆直径 da=d-2ha 2）内齿轮的齿根圆直径 df=d+2hf 第三讲 §4-5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 一、一对渐开线齿廓正确啮合条件 由图知，要使齿轮能正确啮合，必须有 pn1=pn2 由上节知 pn= pb 所以，要使齿轮能正确啮合，必须有 pb1=pb2 又因 pb=πmcosα 所以 πm1cosα1=πm2cosα2 故 m1cosα1=m2cosα2 要满足上式，则应 m1=m2=m , α1=α2=α 所以，渐开线齿轮正确啮合的条件是：两轮的模 数和压力角应分别相等。 二、齿轮传动的中心距和啮合角 1、外啮合传动 1）齿轮正确安装的条件 a、齿侧间隙为零 齿侧间隙为零，即  而标准齿轮有 、 根据正确啮合条件有： m1=m2 所以：  由以上分析知，要使齿侧间隙为零， 则必须使其分度圆与节圆重合。 b、具有标准顶隙 c = c *m 2）标准中心距 当顶隙为标准值时，设两轮的中心距为a，则： a = ra1+c+rf2 = r1+h*am+c*m+r2- ( h*am+c*m) = r1+r2= m (z1+z2)/2 即两轮的中心距a应等于两轮分度圆半径之和，我们把这种中心距称为标准中心距。 3）啮合角 啮合角——两轮传动时其节点C的圆周速度方向与啮合线N1N2之间所夹的锐角，其值等于节圆压力角。故用α' 表示。 当两轮实际中心距a' > a时，r'1>r1、r'2>r2及α'>α 因为 rb1=r1cosα=r'1cosα'、rb2=r2cosα=r'2cosα' 所以 rb1+rb2=(r1+r2)cosα= acosα= ( r'1+ r'2)cosα'= a'cosα' 故 a'cosα'= acosα 2、齿轮与齿条啮合传动 α'≡α、r'≡r 三、渐开线齿轮连续传动条件（图8-28） 1、一对齿轮的啮合过程 实际啮合线B1B2 理论啮合线N1N2 啮合极限点N1和N2 2、渐开线齿轮连续传动条件 为了保证连续传动，则  通常将用εα表示，称为重合度。 于是可得连续传动条件为：  实际 εα≥[εα] 式中：[εα]——许用重合度。 第四讲 §4-6 渐开线齿廓的切制 一、齿廓切制基本原理 1、仿形法 2、范成法 二、用标准齿条刀具加工标准齿轮 1、标准齿条形刀具 2、用标准齿条刀具加工标准齿轮 §4-7 渐开线齿廓的根切 一、产生根切的原因 结论：在用范成法切齿时，如果刀具的齿顶线超过 了啮合线与轮坯基圆的切点（即啮合极限点）N1，则被 切齿轮的轮齿必将发生根切现象。 二、渐开线标准齿轮不产生根切时的最少齿数 如图示，为避免根切，要求刀具的齿顶线在N1 点之下，而为此应满足下列不等式： ≥ (a) 而在ΔPN1O1中，有 = rsinα= (mzsinα)/2 (b) 在ΔPBB′中，有 = h*am /sinα (c) 将式（b）、（c）代入式（a）可得 z≥2h*a /sin2α 所以，不产生根切的最少齿数为 zmin=2h*a /sin2α 可见，不产生根切的最少齿数是h*a和α的函数。当h*a=1、α=20°时，zmin=17。 三、避免产生根切现象的方法 1）减少h*a，但降低。 2）增大α，但传力性变差。 3）变位修正（图8-43）——变位齿轮。 § 4-8 变位齿轮概述 一、标准齿轮的不足 1、z≮zmax。 2、不适用于a′≠a=m（z1+z2）/2 3、小齿轮齿根较薄，啮合次数较多，而滑动系数又较大。所以，较容易坏。 二、变位齿轮的主要参数 1、xm —— 变位量。 2、x —— 变位系数（刀具向远离轮坯中心的方向移动为正，反之为负）。 三、变位齿轮的几何尺寸 将变位齿轮与相同模数、压力角及齿数的标准齿轮的尺寸相比较，有 1、分度圆和基圆尺寸是相同的 ∵ ， z、m、α均不变 ∴ d、db亦不变 2、齿厚及齿槽宽不同的 以正变位为例，如图所示，在ΔIJK中，有  所以，正变位齿轮的齿厚为 s=πm/2+ 齿槽宽为 e=πm/2- 负变位齿轮的齿厚和齿槽宽仍用以上两式计算，只是变位系数为负。 3、齿顶高和齿根高不同 由图所示，正变位齿轮的齿根高为： hf = h*am+c*m- xm = ( h*a+c*- x) m 正变位齿轮的齿顶高为： ha= h*am+xm = ( h*a+ x) m 齿顶圆半径为： ra= r+ha= r+ ( h*a+ x) m 第五讲 §4-8 平行轴斜齿圆柱齿轮传动 一、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点 1、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成 由图所示，发生面上的直线KK与基圆柱轴线的夹角称为基圆柱上的螺旋角，用表示，而其与分度圆柱轴线的夹角称为分度柱上的螺旋角， 简称为螺旋角，用表示。齿轮螺旋角有左、右旋之分。 2、齿圆柱齿轮的啮合特点 二、斜齿轮的基本参数 1、法面模数mn与端面模数mt 由图，可得： pn=ptcosβ 因为：  所以：mn=mtcosβ 2、法面压力角?n与端面压力角?t 由图得： 在Δa′b′c中， 在Δabc中， 在Δaa′c中， 因为： 所以：tgαn = = tg??t cosβ 三、斜齿轮传动的几何尺寸 1、齿顶高ha和齿根高hf ha=h*anmn hf= (h*an+cn*) mn 式中：h*an——法面齿顶高系数，为标准值，h*an=1。 cn*——法面顶隙系数，为标准值，c*n=0.25。 2、分度圆直径 d =zmt=z mn/cosβ 3、中心距 a=(d1+d2)/2= mn(z1+z2)/2cosβ 由上式知，在设计斜齿轮传动时，可用改变螺旋角β大办法来调整中心距的大小，以满足对中心距的要求，而不一定用变位的办法。 四、一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件 mn1=mn2 ，??n1=??n2 ，  五、斜齿轮传动的重合度 如图所示，斜齿轮传动的重合度为： = 其中：—— 轴面重合度。  因为： 所以： 式中：l —— 螺旋线的导程。  所以： =(Bsinβ/cosβ) / (pn/cosβ) = Bsinβ/πmn ——端面重合度。由式(8-27)，得  六、斜齿圆柱齿轮的当量齿数 如图知，椭圆的长半轴，短半轴，而C点的曲率半径为：  现以、mn、αn分别为半径、模数、压力角作一 假想的直齿圆柱齿轮，该齿轮即为斜齿轮的当量齿轮， 其齿数称为当量齿数，即： zv=2/mn=d / mncos2β = zmt/mncos2β=  z/cos3β 所以，斜齿圆柱齿轮不产生根切的最少齿数为 zmin=zvmincos3β 七、斜齿轮传动的主要特点 1、啮合性能好。 2、重合度大。 3、结构紧凑。 4、斜齿轮的主要缺点是运转时产生附加轴向推力，如图8-55所示，其轴向推力为： Fa=Fttanβ 当Ft一定时，Fa随β的增大而增大，因此一般取β=8°~20°。为消除附加轴向力，可采用人字齿轮。 例：已知：z1=26、i12=5、m=3mm、ha*=1、c*=0.25、α=20°、β≤20°、εr≥3，在其它条件不变的情况下，将直齿轮改为斜齿轮时。求该斜齿轮的z1′、z2′、mn、B。 解：1、确定中心距a a = mz1(1+i12)/2 = 3×26×(1+5) / 2 =234 mm 2、改为斜齿轮，a不变，则： a = mn z1′(1+i12) / 2cos=234 mm 当β=20°时， z1′= 2acos/ mn (1+i12)= 2×234cos20°/3 (1+5)=24.43 若β≤20°，取z1′=25，则z2′= z1′i12=25×5 =125 所以：  3、确定B，根据  其中： ′t= arc tg (tgαn/ cosβ) = arc tg (tg20°/cos15.9425°)=20.733° at1= arc cos (db1/da1) = arc cos[z1′cosαt/ (z1′+2 cosβ)] = arc cos[25×cos20.733°/ (25+2×cos15.9425°)]=29.722° at1= arc cos[z2′cosαt/ (z2′+2 cosβ)] = arc cos[125×cos20.733°/ (125+2×cos15.9425°)]=22.917° 所以：εα= [25× (tg29.722°-tg20.733°)+125 ×(tg22.917°-tg20.733°)]/2π=1.646 为了保证εr≥3，则：≥3-1.646=1.354 于是，根据式（8-48），得： ≥π×3×1.354 / sin15.9425°=46.46mm 第六讲 §4-9 圆锥齿轮传动 一、圆锥齿轮传动的应用、特点和分类 在圆锥齿轮传动中，以大端参数为标准值，大端压力角一般为20°。 二、直齿圆锥齿轮的背锥及当量齿数 由图知：  又知： 故得： 对任一圆锥齿轮有： 三、直齿圆锥齿轮传动的几何参数和尺寸计算 1、分度圆直径 d1=2Rsinδ1 d2=2Rsinδ2 式中：R——锥距，分度圆锥顶到大端的距离。 δ1、δ2——分度圆锥角（简称分锥角）。 2、传动比 i12=ω1/ω2= z2 / z1 = d2 / d1 = sinδ2/ sinδ1 当Σ=90°时，即δ1+δ2=Σ=90°，故上式可写为： i12=ω1/ω2= z2 / z1 = d2 / d1= ctgδ1= tgδ2 圆锥齿轮传动的主要几何尺寸的计算公式列于表4-5中。 *§4-10 其它曲线齿廓的齿轮传动简介 一、圆弧齿廓的齿轮（简称圆弧齿轮） 二、抛物线齿廓的齿轮（简称抛物线齿轮） 三、摆线齿廓的齿轮（简称摆线齿轮）