数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁
面对各类问题：
当一个直径约为 1000米 的小行星正好在南极
与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？
1,世界的末日？
2,如何控制喷泉的高度？
如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免
水雾浸湿游客的衣衫？
3,怎样安排性急的游客？
在大型游乐场里如何安排游客,让他们乐意等待，
乐意花钱？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为
了一个 特定目的,根据特有的内在规律,做出必
要的 简化假设,运用适当的数学工具建立的一
个 数学结构,
4,人的指纹是否惟一？
现
实
世
界
数
学
世
界
建立数学模型 推理演绎
求解
翻译为实际解答
实际解答, 如对现实对象的分析、预报、
决策、控制等结果。
始于现实世界并终于现实世界
（放射性废物的处理问题）
美国原子能委员会 (现为核管理委员会 )处理
浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很
好的圆桶中，然后扔到水深 300英尺的海里,
他们这种做法安全吗？
分析 可从各个角度去分析造成危险的因素，
这里仅考虑圆桶泄露的可能,
联想 安全,危险
例 2.1 一场笔墨官司
问题的关键
*圆桶至多能承受多大的冲撞速度?(40英尺 /秒 )
*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？
问题 求这一种桶沉入 300英尺的海底时的末速
度,（原问题是什么?）
可利用的数据条件,
圆桶的总重量 W=527.327（磅）
圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv,C=0.08
利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足
的微分方程：
)1(2
2
DBW
dt
ydm ???
v
dt
dyCvD
g
wm ???,,其中
圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）
)2(
.0)0(
),(
?
?
?
?
?
?
???
V
BW
W
g
v
W
cg
dt
dv
或
方程的解为
0),1()( ??
?
?
?
te
C
BW
tv
t
W
Cg
计算碰撞速度,需确定圆桶和海底的碰撞时间 t0
分析 考虑圆桶的极限速度
08.0
3 2 7.4 7 04 3 6.5 2 7)(lim ????
?? C
BWtv
t
≈713.86（英尺 /秒）＞＞ 40（英尺 /秒）
实际极限速度 与圆桶的 承受速度 相差巨大！
结论 解决问题的方向是正确的,
解决思路 避开求 t0的难点
令 v(t)=v(y(t)),其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
dt
dy
dy
dv
dt
dv,?将 代入（ 1）得
,,CvBW
dt
dy
dy
dv
m ???
?
?
?
?
?
??
?
??
.0)0(,0)0(
,
yv
W
g
dy
dv
CvBW
v
或
两边积分得函数方程：
,ln2 WgyBW CvBWC BWCv ?? ?????
若能求出函数 v=v(y),就可求出碰撞速度
v(300).(试一试 )
1) 用数值方法求出 v(300)的近似值为
v(300)≈45.41（英尺 /秒） ＞ 40（英尺 /秒）
2) 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而 v增
大,y也增大,可求出函数 y=y(v)
),ln( 2
BW
CvBW
C
BW
C
W
g
Wy
?
??????
令 v=40(英尺 /秒 ),g=32.2(英尺 /秒 ),算出
y= 238.4 (英尺 )＜ 300（英尺）
问题的实际解答,美国原子能委员会处理
放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。
一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长 32米，
可以并排停放两列车辆的渡船,他在考虑怎样
在甲板上安排过河车辆的位置,才能 安全 地运
过 最多 数量的车辆,
分析,怎样安排过河车辆，关心一次可以运
多少辆各类车,
准备工作, 观察数日,发现每次情况不尽
相同，得到下列数据和情况：
例 2.2 渡口模型
(1) 车辆随机到达,形成一个等待上船的车列；
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循
,先到先服务, 的随机排队问题。
解决方法 采用模拟模型方法,
(2) 来到车辆中,轿车约占 40％,卡车约占 55％,
摩托车约占 5％ ；
(3) 轿车车身长为 3.5～ 5.5米,卡车车身长为
8～ 10米,
分析 需考虑以下问题：
(1) 应该怎样安排摩托车？
(2) 下一辆到达的车是什么类型？
(3) 怎样描述一辆车的车身长度？
(4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队
中的哪一列中去？
问题的解决：
(1) 认为摩托车不会占有实际空间,
(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法
0 0.55 0.95 1
卡车 轿车 摩托车
汽车类型及车身长模拟原理分析
(2) 确定随机到达车辆的身长车,
(3) 关于车辆的排放,
甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为
32× 2=64米
排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？）
结果分析,由一组特定随机数确定车型和车身
长度，仅得到一个解答,
将 一组随机数模拟确定的结果，看成对一次
实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意
义的,
需多次重复模拟,再进行统计分析
汽车类型及车身长模拟原理分析
若随机变量 X～ U(0,1)，有
P{0≤X≤0.55}=0.55，
P{0.55≤X≤0.95}=0.4，
P{0.95≤X≤1.0}=0.05.
可用一串随机数 (RND)来确定到达车辆的
车型与车身长,
RND
种类
0.10 0.28 0.61 0.34 0.77 0.57 0.02 0.88
卡车 卡车 轿车 卡车 轿车 轿车 卡车 轿车
RND
车长
0.59 0.48 0.10 0.56 0.30 0.90 0.81 0.66
9.44 8.96 3.70 9.12 4.10 5.30 9.62 4.82
列长 9.44 18.4 22.1 31.22 35.32 40.62 50.24 55.06
车身长度模拟原理分析
假定轿车和卡车车身长服从给定区间上的
均匀分布
若 X? U(0,1),则有 a+(b－ a)X?U(a,b)，
即 a＋ (b–a)X服从 (a,b)区间上均匀分布,
车身的长度由下面等式给出
轿车车身长度 = 3.5＋ 2,0 RND
卡车车身长度 =8.0＋ 2.0 RND