建模模式千差万别，无法归纳出普遍的
准则与技巧
建立一个数学模型和求解一道数学题目
有极大差别
没有唯一正确答案
有不同的建模方法
具有可转移性
具有不唯一性
1,建模没有唯一正确的答案,
评价模型优劣的唯一标准是实践检验
2,不同的建模方法：
*机理分析法 根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,
建立的模型常有明确的物理或现实意义
*测试分析法 将研究对象视为一个内部机理
无法直接寻求的, 黑箱, 系统,
采用系统辨识方法
黑箱系统
输出 y(t)输入 x(t)
求 y=y(x)
建立输出和输入间的关系 测量系统的输入、
输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合,
*计算机模拟 借助于计算机的快速运算，
对实际研究对象的属性或变量进行模拟。
计算机模拟可视为对研究对象进行的
“实验”或“观察”
计算机模拟技术成为三大科研方法之一
3,模型具有可转移性, 一个抽象的数学模
型可用来解决不同领域的不同实际问题,
4,建模具有不唯一性,一个实际问题可利
用多种建模方法、多种数学工具建立完全
不同的数学模型,
模型建立与建模目的密切相关
建模一般原则, 在能达到预期目的的前提下，
所用数学工具越简单、越大众化越好,
据人口学家们预测,到 2033年,世界人口将突
破 100亿,每年增加近 1亿人口,以后还会迅猛
增长,人们开始考虑,我们赖以生存的地球究
竟是否能承受如此的增长,现建立数学模型 来
预测人口 的 增长,
分析 设任意时刻的人口总数为 N(t),影响一个
地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？
例 2.3 人口增长模型
影响因素
个
体
的
出
生
、
死
亡
迁
入
、
迁
出
年
龄
结
构
性
别
比
例
……
现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。
在 时间段 ?t内，出生和死亡人口数的 变化
将依赖于以下因素：
1.时间间隔 ?t的长短 ；
2.时间间隔开始时的人口基数,
一、建模过程
做最简单的假设：
时间间隔 ?t内的出生人数 = b N(t)?t
时间间隔 ?t内的死亡人数 =dN(t)?t
这里 b和 d分别是出生率和死亡率,
得到一个初始模型为
N(t+?t)?N(t) = (b?d)N (t) ?t （ 1）
针对时间区间 ?t的两种情况进一步讨论：
1） ?t是一个确定的单位时间 (比如 ?t=1年 )
令 Nk= N(k)=N (k ?t),k=1,2,3,…
关于序列 NK,k=1,2,3,… 的差分方程,
Nk+1= (b?d+1)Nk k=1,2,3,… （ 2）
据此，根据上一年的人口数可推算出第二年的
人口数以及逐年的人口数
2） 在很短的时间区间 ?t内，将人口数 Ｎ (t)
视为一个连续变量,因具有很小的跃变的曲
线可视为平滑曲线，如此处理即简化了模型
又不会引起严重误差,
将 (1)改写为
abt tNttNtN ??? ??? )()()(1
令 ?t?0,有
dbdtdNN ??1
（ 3）
模型分析 等式左端（以及右端）可以理解
为, 相对增长率,
对相对增长率做不同的假设可以建立不同
的数学模型，并得到不同的解曲线,
1） 假设人口净增长率 b和净死亡率 d均为常数，
净相对增长率 r=b?d 也是常数,
初始条件 N0=N(0)，方程的解为
N（ t） = N0ert,t≥0
称为 Malthus模型,
模型分析 假若净增长率 r>0,人口的预测值
将以 ?r为公比按几何级数无限增长,
不太符合实际，原因是假设条件过于简单,
实际上随着人口不断增长，环境资源所能承
受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性
别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能
在极小的时间段内才可以把人口净增长率 r近
似地看着常数,
3,模型改进
将, 人口净增长率, 视为函数 r(N),方程 (3)改为
??
?
?
?
?
?
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)(
NN
tNtNr
dt
tdN （ 4）
解得
0,)( 0 )]([0 ??? teNtN
t dttNr
由于 r[N(t)]是未知函数,无法确定 N(t).
4,进一步 改进
将净增长率 r 看成人口数 N的线性函数,设
r(N)=a+ c N,并设 r(0)=r,且存在一个数值 K
使 r(K)=0,即有
??
?
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0)(
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)(
Kr
rr
cNaNr
求解得 r(N)=r(1?N/K)，
代入式 (4)中,有
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NN
tN
K
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N
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模型分析;0)(,,0.1 ???? tNtr 则有随着若;)(
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KtN
tNr
?
??? 时均有当的任意值，对若
.)(0.3 0NtNr ?? 时，若
得到 Logistic模型：
3.请将此例的人口模型与新产品销售模型
（讲义 p18 实 例五）进行类比,它们在建模方
法和模型描述方面有什么异同处?
思考 请绘出 Logistic曲线图,分析曲线特征,
据此讨论：
1,Logistic模型具有哪些特点？
2,比较两个人口模型的优缺点,