随着科学技术的发展，常微分方程定性分
析在各个学科领域已成为必不可少的数学工
具，也是数学建模的必备基础理论,
一, 微分方程定性理论的基本任务和
主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数
的积分表示微分方程的解,
求微分方程的数值解解决
方
法 对微分方程进行定性分析
一般提法,不去积分给定的微分方程,而根 据
方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在
整个区域内的分布状态,
微分方程定性分析
基本任务,考虑在有限区域内积分曲线的形
状,或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态,
研究对象,驻定系统
nixxxf
dt
dx
ni
i,,2,1),,,,(
21 ?? ??
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶 n维
驻定系统 (自治系统、动力系统 ).
若微分方程组
例 5.2.1单一质点非受迫直线运动满足方程
0)()( 212
2
??? xa
dt
dxxa
dt
xd
,v
dt
dx ?令 得一个二维驻定系统
?
?
?
??
?
?
???
?
).()(
,
21 xavxa
dt
dv
v
dt
dx
一般二维驻定系统形式为
)2(
).,(
),,(
?
?
?
??
?
?
?
?
yxQ
dt
dy
yxP
dt
dx
存在且唯一，则在三维空间 (x,y,t)中有且仅有
一条解曲线通过点 (x0,y0,t0).
）（若其解 3
),,,(
),,,(
000
000
?
?
?
?
?
yxttyy
yxttxx
基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析,
定义,称平面 (x,y )为 相平面, 称解曲线
在相平面上的投影为 相轨线,相轨线族称为
相位图,
x
y
t
o
t0
(x,y,t)
解曲线
投影曲线
相轨线
轨线方程 由原方程（ 2）消去 t 而得到,相
点的 运动方向 由原方程确定,
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究,
使 P(x0,y0)= Q(x0,y0)=0 的 (x0,y0)称为方程
(2)的 平衡点,
二, 战斗模型分析
续例 5.1.2 两方军队交战,希望为这场战斗建
立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的：
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3,计算失败的一方开始时必须投入多少士兵
才能赢得这场战斗？
记 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
有微分方程组：
4,战斗持续时间？
)0(,??? aay
dt
dx
)0(,??? bbx
dt
dy
（ 4）
初始条件为 x(0)=x0,y(0)=y0
模型分析,
1,分析方程组
1）变量 x≥0,y≥0,有唯一平衡点 (0,0);
2） x(t),y(t)都是单降函数,且随着 x,y 的减小，
衰减速度也在降低,
2,分析相位图
1） 求相轨线方程,将两个方程相除，得
ay
bx
dx
dy ?
bxdxa y d y ?
cbxay ?? 22
代入初始条件，有 cbxay ?? 2020
)()( 202202 xxbyya ???
双曲
线族
2） 预测何方军队获胜,将剩下多少士兵,
(1) 若,解曲线方程化为2
020 bxay ?
22 bxay ? xa
by ?
一场势均力敌的,导致
相互毁灭的战斗
（ 2）若,从相位图观察出 Y方将获胜,2
020 bxay ?
0 x
y
(x0,y0)Y方胜
X方胜
证明 令 y =0,由轨线方程得
)( 20220 xxbay ???
0
2
0
2
02 ???
b
aybx
x
不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形,
即 X方获胜的情形,
abxayyx /)(,0 2020 ??? 得令
即 Y方获胜时的幸存士兵数,
3） 测算失败一方开始应投入兵力,
矛盾
将战斗力参数值 a=0.15,b=0.1 代入方程 (4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
,5000)0(,10000)0(
,1.0
,15.0
00
yyxx
x
dt
dy
y
dt
dx
因 622
0 1075.3)5 0 0 0(15.0 ????ay
6220 1010)1 0 0 0 0(1.0 ????bx
02020 ?? aybx
有
预测 X方军队将获胜,Y方军队要获胜开始
投入兵力 y0应满足：
822
0
2
0 103
110000
15.0
1.0 ????? x
a
by
解得 y0>8165,至少派出 8165名士兵才能转败
为胜,
4） 战斗持续时间讨论
1 00 01.0 0
0
????
?
x
dt
dy
t
最快歼
灭速度
意味着战斗开始时 Y方军队的士兵以每小时
1000人的速度被歼灭，故战斗至少持续
5000/1000=5（小时）,
战斗结束时 X军队余下士兵
7 9 0 61075.31010/)( 662020 ?????? baybx （名）
此时,Y军队士兵被歼灭的速度为
1.7 9 07 9 0 11.0 ?????
结束dt
dy 最慢歼
灭速度
设 Y军队士兵保持此速度被歼灭，有
y=－ 790.1t + 5000,
令 y=0,解得 t=5000/790.1≈6.32(小时 ).
分析结果表明，战斗会持续 5～ 6.32(小时 ),取
中间值约为 5.7(小时 ).
注 直接求解微分方程组,可以得到几乎一致
的结论,试一试！
三, 捕食系统的 Volterra方程
（狐狸与野兔问题）
上世纪初,意大利生物学家 U.D′A ncona在研
究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获
的鱼中，鲨鱼等 食肉鱼的比例十分明显地上升
了 。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期
间捕鱼量减少所致,
食用鱼 人类捕捞食肉鱼
捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？
数学家 V.Volterra建立了一个数学模型给予解释,
模型建立,
x(t) — t 时刻食用鱼 （ prey） 的数量,
y(t) — t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量,
假设如下,
*1 没有食肉鱼,食用鱼的净相对增长率为正
常数 (k1>0);
*2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负
常数 (－ k2,k2＞ 0)；
*3 两类鱼相遇的机会正比于 x和 y 的乘积 ；
建立微分方程如下：
)1(
).(
);(
22
11
?
?
?
??
?
?
??????
????
cxkyc x yyk
dt
dy
bykxbxyxk
dt
dx
其中参数 b＞ 0,c＞ 0.
模型分析,关心相互制约的两类鱼种的总
变化趋势,
针对建模目的,对微分方程进行以下分析工作：
1.讨论方程的平衡点；
2,分析验证方程组是否有周期解；
3,对方程组周期解进行分析；
4,D′A ncona现象的解释,
1.求平衡点
?
?
?
?
?
?
?
????
???
.0;0
2
1
c x yyk
dt
dy
bxyxk
dt
dx
令
在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存,
它们的数量将一直保持这个水平,
平衡点,(0,0)与（ x,y） =( )
b
k
c
k 12,
平凡的
2,分析验证方程组有周期解；
(1) 求相轨线方程
将方程组（ 1）的两个方程相除：
b
y
k
c
x
k
bykx
cxky
dx
dy
?
??
?
?
??
?
1
2
1
2
)(
)(
dxc
x
k
dyb
y
k
)()( 21 ????
两边积分
scxxkbyyk ????? lnln 21
其中 S 为任意常数,
)2())(( 12 Seyex bykcxk ???
(2) 验证方程有周期解
分析,方程组 (1) 有周期解
相轨线 (2) 是 一族封闭曲线?
x
y
0 x0 x1x
需证明, 对每一条轨线, 存在 x0＜ x1,使,
1） x0＜ x＜ x1时,方程 (2)有两个相异根 ；
2） x =x0 或 x=x1时,方程仅有一个单根 ；
3） 时,方程 (2)无根,],[ 10 xxx ? 证明见
5.2.1
3.对方程周期解的分析 。
1.相轨线的形状
设方程的周期解为, x=x(t),y=y(t),t＞ 0,则对
任意给定的 t0＞ 0,存在 t1＞ 0,使
x(t0)=x(t1),y(t0)=y(t1)
方程 (1)的相轨线是一族包含平衡点 A( )
的封闭曲线,
b
k
c
k 12,
x
y
o k
2/c
k1/b A
2,平衡点 A的实际意义
记 T=t1–– t0,称 T 为 周期,将原方程
?
?
?
??
?
?
??????
????
).(
);(
22
11
cxkyc x yyk
dt
dy
bykxbx yk
dt
dx
中的第二个方程改写为
cxk
y
cxkyy
dt
dy ??????
2
2 )(/
两边从 t0 到 t1 积分，得
dtcxk
y
dy t
t
t
t ??
??? 2
1
1
1
)( 2
0
)(
)(
ln)(2
1 0
1
2 ???? ?
t
t ty
ty
dttxcTk
?? 2
1
)(12 t
t
dttx
Tc
k
?? 2
1
)(11 tt dtty
Tb
k同理
结论,食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的
数量在一个周期内的平均值,
o
x(食用鱼 )
y
A
0,0 ?? dtdydtdx 0,0 ?? dtdydtdx
0,0 ?? dtdydtdx0,0 ??
dt
dy
dt
dx
3.D′A ncona现象的解释
为考察捕鱼业对两种鱼类的影响,引入捕捞
能力系数 ε，将方程 (1)改写为
)3(
.)(;)(
2
1
?
?
?
??
?
?
????
???
c x yyk
dt
dy
bx yxk
dt
dx
?
?
方程 (3)的平衡点为
)ε,ε( 12
b
k
c
kA ???
由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均
量增大,而食肉鱼的平均量则减少了,
Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者,