机理分析方法立足于揭示事物内在规律
机理分析是根据对现实对象特性的认识,
分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,
的
认
识
来
源
对
现
实
对
象
*与问题相关的物理、化学、经济
等方面的知识,
*通过对数据和现象的分析对事
物内在规律做出的猜想 (模型假设 ).
模型特点,有明确的物理或现实意义
实际问题需寻求某个变量 y随另一变量 t 的
变化规律, y=y(t).
直接求
很困难
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及
自变量的方程
建立变量能满足
的微分方程？
哪一类问题
在工程实际问题中
“改变,、,变化,、,增加,、,减少,等关
键词提示我们注意什么量在变化,
关键词,速率,,“增长,,“衰变,,“边际
的,,
常涉及到导数,
建
立
方
法
常
用
微
分
方
程
运用已知物理定律
利用平衡与增长式
运用微元法
应用分析法
机理分
析法
建立微分方程模型时
应用已知物理定律，
可事半功倍
例 5.1.1 一个较热的物体置于室温为 180c的
房间内，该物体最初的温度是 600c,3分钟以后
降到 500c,想知道它的温度降到 300c 需要多少时
间？ 10分钟以后它的温度是多少？
一、运用已知物理定律
牛顿冷却（加热）定律,将温度为 T的物体
放入处于常温 m 的介质中时,T的变化速率
正比于 T与周围介质的温度差,
分析,假设房间足够大，放入温度较低或较
高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温
分布均衡,保持为 m，采用牛顿冷却定律是一个
相当好的近似,
建立模型, 设物体在冷却过程中的温度为
T(t),t≥0，
“T的变化速率正比于 T与周围介质的温度差”
翻译为
成正比与 mT
dt
dT ?
数学语言
?
?
?
?
?
?
???
.60)0(
),(
T
mTk
dt
dT
建立微分方程
其中参数 k >0,m=18,求得一般解为
ln(T－ m)=－ k t+c,
代入条件，求得 c=42,,最后得
21
16ln
3
1??k
T(t)=18+42,t ≥0,t
e 21
16ln
3
1
,0,??? ? tcemT kt或
结果, T(10)=18+42 =25.870，10
21
16ln
3
1 ?
e
该物体温度降至 300c 需要 8.17分钟,
二, 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种 不变
的特性,如封闭区域内的能量、货币量等,
利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建
立有关变量间的相互关系,
续例 2.3 人口增长模型
对某地区时刻 t 的人口总数 P(t)，除考虑个
体的 出生、死亡,再进一步考虑迁入与迁出
的影响,
在很短的时间段 Δt 内, 关于 P(t)变化的一个
最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量 }=
{Δt内出生人口数 }－ {Δt内死亡人口数 }
+ {Δt内迁入人口数 }－ {Δt内迁出人口数 }
{Δt时间内的净改变量 }
={Δt时间内输入量 }－ {Δt时间内输出量 }
般
化
更
一 基本模型
不同的输入、输出情况对应不同的差分或
微分方程,
输入量 含系统外部输入及系统内部产生的量；
输出量 含流出系统及在系统内部消亡的量,
此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端，
使平衡式成立
例 5.1.2 战斗模型 两方军队交战,希望为
这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型
达到如下目的：
1,预测哪一方将获胜？
2,估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3,计算失败的一方开始时必须投入多少
士兵才能赢得这场战斗？
模型建立：
设 x(t) — t 时刻 X方存活的士兵数 ；
y(t) — t 时刻 Y方存活的士兵数 ；
假设：
1）双方所有士兵不是战死就是活着参加
战斗, x(t)与 y(t)都是连续变量,
2） Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死 X
方军队 a 名士兵 ；
3） X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 Y
方军队 b 名士兵 ；
{Δt 时间内 X军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内 Y军队消灭对方的士兵数 }
平衡式即有 Δx =－ ayΔt,
同理 Δy =－ bxΔt,
令 Δt 0,得到微分方程组：
三, 微元法
基本思想,
通过分析研究对象的有关变量在
一个很短时间内的变化情况,
)0(,??? aay
dt
dx
)0(,??? bbx
dt
dy
例 5.1.3 一个高为 2米的球体容器里盛了一半
的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
积为 1平方厘米, 试求放空容器所需要的时间,
2米
对孔口的流速做两条假设,
1,t 时刻的流速 v依赖于
此刻容器内水的高度 h(t).
2,整个放水过程无能
量损失。
分析, 放空容器？
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
模型建立,由水力学知：水从孔口流出的
流量 Q为通过, 孔口横截面的水的体积 V对时
间 t 的变化率,, 即
ghS
dt
dVQ 262.0??
S—孔口横截面积（单位：平方厘米）
h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒）
当 S=1平方厘米, 有
)1(262.0 dtghdV ?
h(t)
h+Δh
r1
r2
水位降低
体积变化
在 [t,t+Δt ]内,水面高度 h(t) 降至 h+Δh
(Δh<0),容器中水的体积的改变量为
)()( hhVhVV ?????
)]()(3[ 2221 horrh ???????
)(2 hohr ??????
222 200)100(100 hhhr ?????记
令 Δt 0,得?
dV=－ πr2 dh,（ 2）
比较 (1),(2)两式得微分方程如下：
??
?
?
?
?
???
?
.1 00
,)2 00(262.0
0
2
t
h
dhhhdtgh ?
积分后整理得
)31 0 007 0 00 0 0(
265.4
2
5
2
3
hh
g
t ???
?
0≤h≤100
令 h=0,求得完全排空需要约 2小时 58分,
四,分析法
基本思想,根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,
例 5.1.4(独家广告模型 )广告是调整商品销
售的强有力的手段,广告与销售量之间有什
么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果,可做如下的条件假设：
*1,商品的销售速度会因广告而增大,当商品
在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极
限值；
*2,商品销售率（销售加速度）随商品销售
速度的增高而降低；
*3,选择如下广告策略,t时刻的广告费用为：
?
?
?
?
??
?
.,0;0,
)(
?
?
t
tA
tA
建模 记
S(t) — t 时刻商品的销售速度；
M —销售饱和水平，即销售速度的上限；
λ（＞ 0） —衰减因子，广告作用随时间的
推移而自然衰减的速度,
直接建立微分方程
)())(1)(( tS
M
tStpA
dt
dS ????
称 p 为响应系数, 表征 A(t) 对 S(t) 的影响力,
模型分析, 是否与前三条假设相符？
改写模型
)())(()( tStSM
M
tAp
dt
dS ????
)())(()( tStSM
M
tAp
dt
dS ????
假设 1* 市场“余
额”
假设 2*
销售速度因广告作用增大,同时
又受市场余额的限制,
