现
实
世
界
充
满
不
确
定
性 不存在确定的函数关系
往往借助于模拟仿真方法
一, 随机变量的模拟
掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的
方法,是模拟随机现象的重要方面,
例 7.1.1 老鼠在哪个房间？
在任一时刻 观察老鼠在有 3 个房间的迷宫
内的情况,老鼠所在房号 X是一个随机变量,
模拟 X的分布律,
例 7.1.1 两种模拟方法
观察老鼠在有 3个房间的迷宫内的情况,老鼠
所在房号 X是一个随机变量,模拟 X 的分布律,
可用两种方法
1.假设老鼠处于三个房间是等可能的,从而 X
的分布律可设为
3
1
3
1
3
1
X 1 2 3
P(x)
2.通过实验的方法确定 X 的分布,进行 10次观
察,记录 X 的数值如下
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
变量 X 2 1 3 3 2 3 1 2 1 3
由测得数据可算出 X 取各个数值的频率
X 1 2 3
频数 3 3 4
频率 0.3 0.3 0.4
根据概率论中的贝努里大数定律,当试验次
数 n充分大时，随机事件 A发生的频率稳定
于概率 P(A),可将
X 0 1 2
P(x) 0.3 0.3 0.4
作为 X 的分布律的模拟,
注意 若试验次数太小,可能造成较大误差
.
1．利用理论分布,基于对问题的实际、合理
的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量,
2.基于实际数据的频率做近似模拟,
方法评价
* 方法 1
优点,可以计算各种可能结果的概率,便
于进行数学分析和处理,
缺点,限于十分简单的情况,问题越复杂,数
学处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息,
*方法 2
优点,完全与观察数据相符,并且随实际问
题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅
增大工作量而已,
应用中常将两种模拟方法结合使用
缺点,不便于进行数学分析,不得不依赖于
模拟得到的统计结果,
一,利用理论分布
重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论
分布来模拟随机变量,
1．均匀分布
??
?
?
?
??
??
.0
,
1
)(
其他
bxa
abxf
ab
cddXcP
?
???? }{有
),(),( badc ?其中
均匀分布随
机变量 X的
取值具有
,均匀性,,
需掌握几种重要的概率理论分布
均匀性特点 均匀分布随机变量 X落在 (a,b)
内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,
而与子区间的位置无关,
可 假设 有这种特性的随机变量 服从均匀分布
例 7.1.2 穿越公路模型
穿越公路者在 60 秒的期间内的每一时刻
都可能到达公路旁,用 [0,60](单位,秒 )上的
均匀分布 随机变量模拟穿越公路者到达路旁
的时刻是合理的,
渡口模型 中假设车身长度服从均匀分布,
处理起来虽然较简单但却显然不合理,
2．正态分布
正态分布随机变量 X的概率密度函数是
.],)(e x p [
2
1)( 2
2
1 Rxxxf ????
?
?
??
正态分布由两个参数 μ和 σ唯一确定,
有 3σ— 原则：
9 9 7 4.0}3{ ??? ??XP
μ0 x
f(x)
f(x)
0 xμ
σ小
σ大
位置
参数
分布特点：
实用判别方法,
较多独立的、微小变量叠加而成的随机
变量,可以用正态分布来模拟,
判别方法原理分析
*单峰、对称；
*数学期望 μ确定概率曲线的中心位置 ；
*标准差 σ确定概率曲线的“宽窄”程度,
根据中心极限定律：设
是相互独立同分布的随机变量序列,具有数学
期望和方差
E(X)=μ,D(X)=σ2，
有
推知 近似服从正态分布
??,,,,21 nXXX
)(}{ 1 xx
n
nX
Plin
n
i
i
n
???
??
?
?? ?
?
?
?
n
i
iX
1
),( 2?? nnN
例 *考试成绩服从正态分布；
* 测试误差服从正态分布；
* 人的身高服从正态分布； …
3．指数分布
指数分布随机变量 X 的概率密度为
??
?
?
?
?
?? ?
0,0
0,)(
x
xexf x??
０
f(x)
x
指数分布常用来描述“寿命”问题,
设电子元件的寿命为 T,假定元件在 t时刻
尚正常工作的条件下,其 瞬时失效率 总 保持
为常数 λ,即有
寿命 T则服从参数为 λ的指数分布,
上述假设从技术上讲就是电子元件未出现
“老化”现象, 对一些寿命长的元件,在稳定运
行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的,
＊指数分布比较确切地描述了电子元件在
稳定阶段的寿命分布情况,
? ? ???????
?
tTttTtPh
h
1
0
lim
指数分布具有 无后效性 (马氏性 ):对任意的
实数 s>0,t>0,均有 永远年
轻性
? ? ? ?tTPsTtsTP ?????
人类 在 50岁或 60岁以前的寿命分布接近指
数分布,
若瞬时失效率是时间的函数 λ(t),试
确定寿命 Ｔ 的分布,(参见电子科大教材
,概率论与数理统计, p76).
思
考
4．泊松分布和泊松流
离散型随机变量 X的分布律为
???????? Zx
x
xPxXP
x
,
!
)e x p ()(}{
称 X 服从参数为 λ的泊松分布,
事件流,随时间的推移，逐个出现的随机事
件列 A1,A2,… An,…
t0
A1 A2 A3 An
例 7.1.3 在渡口模型中,从渡船靠岸开始计时,
将第 i 辆汽车的到达看成随机事件 Ai 发生,随汽
车 连续不断地开到码头，就形成了一个事件流
A1,A2,…, Ai,… ；
*工作台上工件的逐件到达；
*机场跑道中飞机的逐架到达；
*港口船舶的逐艘到达；
*电话交换台电话的到达；
*餐厅顾客的到达 ;
*工厂中机器故障的发生,…
记 N(t) 为 [0,t]时间内各事件发生的总次数
N(t)是随
机变量
0 t)
N(t)=3
)
N(t)=7
随机变量族
｛ N(t),t＞ 0｝
是一个随机过程 (计数过程 ).
将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客
及破损的机器等统称为 顾客,
称 {N(t),t＞ 0｝为 顾客的 到达过程,
1) 对每一时刻 t,在 [0,t]时间内到达的顾
客数 N(t) 的分布；
2) 事件流 A1,A2,…, Ai,… 中两个事件
发生的间隔时间具有什么分布,
通常关心
重要定理：
1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，
则在 [0,t ]期间内有 n个顾客到达的概率为
?,2,1,
!
)()())(( ???? ? ne
n
ttPntNP tn
n
??
并且，顾客相继到达的时间间隔
T1,T2,…, Ti,…
相互独立,都服从参数为 λ的指数分布,
2,若顾客流到达的间隔时间是相互独立的
随机变量序列, T1,T2,…,T i,… 且 Ti,i=1,2,…
均服从参数为 λ 指数分布,则在 ［ 0,t］ 内顾
客到达数｛ N(t),t>0｝是一个泊松过程,
例 7.1.4,穿越公路模型（ P21）
用均值为 1/q 的指数分布随机变量模拟
两车经过同一地点的时间间隔,相当于假设
通过该点的汽车流构成了一个泊松流,[0,t]
时间内到达的汽车数目 N(t) 服从泊松分布,
思考, 艺术品展览的安全性 (p33)
如何模拟小偷的到来情况？