对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分
布的一系列 随机数,?
定义 设随机变量 X（总体）服从某种随机分
布，对其进行了 n次独立观察,得到一组简单随
机样本 X1,X2,…, Xn,满足
1) X1,X2,…, Xn相互独立；
2) 每一个 X1,X2,…, Xn都与总体 X 同分布,
一．随机数的概念
利用某种方法得到一串 数列 r1,r2,…,rn
在一定的统计意义下可作为随机样本
X1,X2,…, Xn
的一组样本值，称 r1,r2,…,rn一组具有与 X
相同分布的 随机数,
例 7.2.1设随机变量 X～ B(1,0.5),模拟该随机
变量 X的一组样本值, 一种简单的方法是
抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，
出现正面记为数值, 1”,否则记为, 0”得：
可看成 总体 X的一系列样本值,或称产生了
一系列 具有两点分布的随机数,
0,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0，
0,1,1,0,1,0,…
数学软件有产生常用分布随机数的功能
对特殊分布 需要数据量很大时
不太有效
需要寻求一种简便、经济、可靠,并能
在计算机上实现的产生随机数的方法,
二,均匀分布随机数的产生
最常用、最基础 的随
机数是在（ 0,1）区间
内均匀分布的随机数
(简记为 RND)
理解为：随机
变量 X～ U(0,1)
的 一组样本值
的模拟值
一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，
在计算机上运算来得到,
通常是利用递推公式：
),,,( 21 knnnn f ???? ???? ?
给定 k个初始值 ξ1,ξ2,…,ξ k,利用递推公式
递推出一系列随机数 ξ 1,ξ 2,…, ξ n,…
乘同余法
混合同余法
常
用
方
法
具有较好的
统计性质
1,乘同余法 递推公式为
?
?
?
?
??
Mxr
Mxx
nn
nn )( m o d1 ?
用 M 除 λxn后
得到的余数记
为 xn+1
其中 λ是乘因子,M为模数 (modulus),第一
式是以 M为模数 的 同余式,
给定初值 x0 (称为 种子 ),递推计算出
r1,r2,…
即在 (0,1)上均匀分布的随机数序列,
例 7.2.2 取 x0=1,λ=7,M=103,有
λx0=7× 1=7,x1=7,r1=7/1000=0.007
λx1=7× 7=49,x2=49,r2=49/1000=0.049
λx2=7× 49=343,x3=343,r3=343/1000=0.343
λx3=7× 343=2401,x4=401,r4=401/1000=0.401
λx4=7× 401=2807,x5=807,r5=807/1000=0.807
其余类推,
2,混合同 余法 递推公式为
?
?
?
?
???
Mxr
MCxx
nn
nn )( m o d1 ? 用模 M 去除
λxn+C的余数
其中,C是非负整数,
例 7.2.3 选 λ=97,C=3,M=1000,得递推公式
?
?
?
?
???
1000
)1000( m o d3971
nn
nn
xr
xx
取定种子 x0=71,得
97x0＋ 3=6890,x1=890,r1=0.890
97x1＋ 3=86333,x2=333,r2=0.333
97x2＋ 3=32304,x3=304,r3=0.304
97x3＋ 3=29491,x4=491,r4=0.491
97x4＋ 3=47830,x5=630,r5=0.630
余类推，接下来的随机数是：
0.113,0.964,0.511,0.570,0.293,0.424，
0.131,0.710,0.873,0.684,0.351,0.050，
0.853…
有下述问题：
1.数列 {rn}是有周期的，周期 L≤M（ 模数） ；
因 0≤xn≤M,数列 {xn}最多有 M个相异值,
从而 {rn}也同样如此,
2,数列 {rn}本质上是实数列,给定初始值由递
推公式计算出的一串确定的数列,
不能简单等同于真正意
义的随机数,
解决方法
与思路：
1,选择合适模拟参数
2,对数列进行统计检验
从计算机中直接调用某种分布的随机数同
样存在类似问题,
1,选择模拟参数
1) 周期的长度取决于参数 x0,λ,M的选择 ；
2) 通过适当选取参数可以改善随机数的统计
性质,
x0=1,λ=513,M=236 （ L=234≈2× 1010）
几组供参考的参数值：
x0=1,λ=7,M=1010 （ L=5× 107）
在计算机上编程产生随机数还应注意
浮点运算对周期的影响
x0=1,λ=517,M=212 （ L=240≈1012）
2,对数列进行统计检验
无论用哪一种方法产生的随机数序列 (实
数列 ) RND,都存在问题：
将其 看着是在 (0,1)上均匀分布的连续型随
机变量 X 的独立样本值, 能？
否？
对应的样本是否可以看成 X的简单随机样本：
1） X1,X2,…, Xn相互独立 ；
2） Xi ～ U(0,1),(i=1,2,…, n)
需判断是否具有较好的统计性质：
独立性 均匀性 进行统计检验
样本平均值和理论平均值的 差异性检验,
1.参数检验
对在 (0,1)上均匀分布随机变量 X,有
2
1
3
1121
45
4
D(X)= ; D(X2)=
E(X)= ； E(X2) =
如果 r1,r2,…, rN 是 X 的 N个独立观测值，
令
?
?
?
N
i
iN rr
1
1 ?
?
?
N
i
irr N
1
22 1
它们的平均值和方差为
2
1
3
1N121
N45
4
D( )= ; D( ) =
E( ) = ； E( ) =
r
r 2r
2r
由中心极限定理知统计量
)21(12
)(
)(
1 ??
?? rN
rD
rErU
)
3
1(45
2
1
)(
)( 2
2
22
2 ??
?
? rN
rD
rEr
U
渐近服从正态分布 N(0,1).
给定显著性水平,根据正态分布确定临界值,
判断 与 E(X),与 E(X2)的差异是否显著,
从而决定能否把 r1,r2,…, rN看成 (0,1)上
均匀分布的随机变量 X的 N个独立样本值,
r 2r
2,分布均匀性检验
均匀性检验又称 频率检验,用来检验用随机
数（样本值）确定的经验频率和均匀分布理
论频率是否有显著性差异,
常用的统计检验方法有,
Χ2 检验 和 累积频率检验 (K－ S检验 )，
一般数理统计
书中能查到,
3,独立性检验
检验随机数 r1,r2,…, rN中前后各数的
统计相关性是否显著,
两个随机变量的相关系数反映它们之间的
线性相关程度
若两个随机变量相互独立,则它们的相关系
数必为零 (反之不一定 ),故可以利用相关系数
来检验随机数的独立性,
设给定 N 个随机数 r1,r2,…, rN,计算前后
相距为 k 的样本相关系数
?,2,1,/][ 22
1
1 ??? ?
?
?
?? kSrrrR
kN
i
kiikNk
?
?
??
N
i
iN rrS
1
212 )(其中
原假设 H0,ρk=0,k=1,2,···
若原假设成立,则当 N充分大时 (例如 N－ k
＞ 50)时统计量 Rk渐近服从正态分布 N(0,1),可
采用大样本检验法,
在给定显著性水平下,若拒绝了原假设,可认
为随机 r1,r2,…, rN有一定程度的线性相关
性,更不可能是相互独立的,
设随机变量 X的分布律为
),2,1(,}{ ???? ipxXP ii
三, 任意分布随机数的模拟
l.离散型随机数的模拟
?,2,1,,0
1
)()0( ??? ?
?
n
n
i
ipPP
n令
P(0) P(1) P(2) P(3)
0 1
……
将 {P( n)}作为区间 (0,1)的分点,
若随机变量 R～ U(0,1),有
),2,1(
,}{ )1()()()1(
??
????? ??
n
pPPPRPP nnnnn
}{}{ )()1( nnn xXPRP ?????令
),2,1(,}{ ???? npxXP nn有
产生 X 分布 的随机数的 算法步骤,
(1) 产生 1个 均匀分布随机数 r(RND);
(2) 若 P(n－ 1)＜ r≤P(n), 则令 X取值为 xn.
例 7.2.4 离散型随机变量 X的分布律如下
X=x
P(x)
0 1 2
0.3 0.3 0.4
设 r1,r2,…, rN 是 RND 随机数, 令
?
?
?
?
?
?
??
??
?
i
i
i
i
r
r
r
x
6.0,2
6.03.0,1
3.00,0
从理论上讲,已解决了 产生具有任何离散
型分布的随机数 的问题,
具体执行仍有困难,如 X 的取值是无穷多个
的情况,
可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法,
例 7.2.5 随机变量 X～ B(n,p),其分布律为
),,2,1(,)1(}{ nkppCkXP knkkn ????? ?
随机变量 X是 n 次独立贝努里试验中,事件
A 发生的总次数,其中 p=P(A).
x1,,x2,…,xN 即具有 X的分布律的随机数,
在计算机上模拟 n 重贝
努里试验来产生二项分布
的随机数,
当 p 较大而
计算精度要
求较高时
算法步骤：
1） 产生 n个 RND r1,r2,…, rn；
2） 统计 ri （ i=1,2,…, n） 中使得
ri≤ p
的个数 ni., 0 1
p
重复循环得到, n1,n2,…, nk即所求随
机数列,
利用在 (0,1) 区间上均匀分布的随机数来模
拟 具有给定分布的连续型随机数,
两种方法 反函数法 舍选法
练习题：如何模拟参数为 λ的泊松分布
随机数？
2,连续型随机数的模拟
1) 反函数法
设连续型随机变量 Y 的概率函数为 f(x),
需产生给定分布的随机数,
1） 产生 n个 RND 随机数 r1,r2,…, rn；
算法步骤;)()2 iyi ydyyfr i 中解出从等式 ? ???
所得 yi,i=1,2,…,n 即所求,
反函数法算法原理分析
重要结论,设随机变量 Y的分布函数 F(y)是连
续函数,而且随机变量 X～ U(0,1)，令 Z=F－ 1(X),
则 Z与 Y有相同分布,
证明 FZ(z)= P{F－ 1(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}
=G(F(z)) = F(z)
因 G(x)是随机变量 X 的分布函数：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.1,1;10,;0,0
)(
x
xx
x
xG
若 Y的概率密度为 f(y),由 Y=F－ 1(X)可得
? ???? Y dyyfYFX )()(
对给出定的 (0,1)上均匀分布随机数 ri，
则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
? ??? iyi dyyfr )(
解出,
例 7.2.6 模拟服从参数为 λ的指数分布的随
机数, 其概率密度函数为
?
?
?
?
?? ?
.0,0
,0,)(
x
xexf x??
? ??? iyi dyyfr )(代入公式
iyiy xi edxer ??? ?? ??? ? 1
0有
)1l n (1 ii ry ?? ?可得
若随机变量 ) X～ U(0,1)
1－ X～ U(0,1)
(1－ ri)与 ri 均为 RND 随机数
模拟公式可改写为
ii ry ln1??
见 P21穿越公路
模型中两辆车之
间距离的模拟
问题：请考虑如何利用此公式
模拟泊松流？
优点,一种普通而适用的方法；
缺点,当反函数不存在或难以求出时,不宜
于使 用,
2）舍选法
基本思想,实质上是从许多 RND 随机数
中选出一部分,使之成为具有给定分布的随
机数,
设随机变量 X的概率密度函数为 f(x),存在
实数 a<b,使 P{a<X<b}=1，
算法步骤：
(1) 选取常数 λ,使 λf(x)＜ 1,x∈ (a,b)；
(2) 产生两个 RND 随机数 r1, r2,令
y= a＋ (b－ a)ri ；
(3) 若 r2≤λf(y),则令 x=y,
否则剔除 r1和 r2,重返步骤 (2).
重复循环,产生的随机数 x1,x2,…, xN
的分布由概率函数 f(x) 确定,
注,1)( ?? b
a dxxf若不满足条件：
可选取有限区间 (a1,b1),使得
???? 1)(1
1
b
a dxxf
ε是很小的正数,
例如取 a1=μ－ 3σ,b1=μ＋ 3σ,有
0 0 3.011
1
2
2)(
2
2
1 ??? ?
??
??
?
dxe
b
a
x
在区间 (a1,b1)上应用舍选法,不会出现较大
的系统误差,
产生正态分布
随机数的方法
反
函
数
法
舍
选
法
坐
标
变
换
法
中
心
极
限
定
理
3．正态随机数的模拟
1） 坐标变换法
设 r1,r2 是 RND随机数, 令
??
?
?
?
??
??
)2s i n ()ln2(
)2c o s ()ln2(
2
2/1
12
2
2/1
11
rrx
rrx
?
?
则 x1,x2是相互独立的标准正态分布的随机数,
概率讲义有
证明
2） 利用中心极限定理
产生服从 N(μ,σ2)随机数的算法步骤：
(1) 产生 n 个 RND 随机数,r1,r2,…, rn，
(n≥12);/)()2(
1
122?
?
??
n
i
nn
irx计算
若取 n=12,简化为计算
?
?
??
12
1
6
i
irx
x 是服从标
准正态分布
的随机数
(3) 计算 y=σx+μ.
y 是服从 N(μ,σ2) 分布的随机数,
原理分析
设 ζ1,ζ2,…, ζn是 n个相互独立的随机变
量,且 ζi～ U(0,1),i= 1,2,…,n,
,
12
1)()(
2
1 ??
ii DE ??,有
由中心极限定理知
?
?
??
n
i
nn
i
1
122
/)( ??
渐近服从正态分布 N(0,l ).
