量纲分析是 20世纪初提出的在物理领域中
建立数学模型的一种方法,
对所设问题有一定了解，在 实验和经验 的
基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之
间的关系,
例 4.2.1 单摆运动
将质量为 m 的一个小球系在长度为 l 的线的
一端,稍偏离平衡位置后小球在重力 mg的作用
下 (g为重力加速度 ),做往复摆动, 忽略阻力,
求摆动周期 t的表达式,
求解 考虑问题中出现的物理量 t,m,l,g，
假设它们之间有关式
321 ????? glmt
其中 α 1,α 2,α 3是待定常数,λ 是无量纲的
比例常数,上式的量纲表达式为
? ? 321 ][][][ ??? glmt ?
(1)
将 [ t ]=T,[m]=M,[ l ]=L,[g ]=LT－ 2 代入得
3321 2 ???? ??? TLMT
(2)
按照量纲齐次性,有
?
?
?
?
?
???
????
??
12
0
0
3
32
1
求解为
2
1,
2
1,0
321 ???? ???
代入式 (1) 得
g
lt ??
续例 4.2.1 单摆运动的抽象
设变量关系为
f (t,m,l,g) =0,(3)
假设各变量间的关系如下：
??4321 yyyy glmt (4)
其中 y1～ y4是待定常数,π是无量纲量,
各变量的量纲用基本量纲表示如下,
[ t ]=L0M0T1,[ m ]=L0M1T0,
[ l ]=L1M0T0,[ g ]=L1M0T－ 2,
(4) 式的量纲表达式为
0002 41243 TMLTML yyyyy ???
根据量纲齐次性，有线性方程组成立
?
?
?
?
?
??
?
??
02
,0
,0
41
2
43
yy
y
yy
?
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?
?
0
0
0
0
2001
0010
1100
4
3
2
1
y
y
y
y
AY
解得方程组的一个解为
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
1
1
0
2
4
3
2
1
y
y
y
y
代入 (4)式有
??? glt 12
g
lt ??
0)( 12 ??? ? ?? gltF或者
(5)
将此例一般化有以下定理
Buckingham Pi定理：
设有 m 个物理量 q1,q2,… q m,而
f (q1,q2,… q m )=0 (6)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。 X1,X2,
…,X n 是基本量纲,其中 n≤m,q1,q2,… q m
的量纲可表为
? ? ?
?
? ??
n
i
ij mjXq
ij
1
,,2,1,?
矩阵 A={ai,j}n× m称为 量纲矩阵, 若 A的秩
Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是 m维向量 )的
m－ r个基本解为,
ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m － r
?
?
??
m
j
y
js
sjq
1
则
为 m－ r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1,π2,…, πm－ r)=0 (7)
与 (6) 式等价,其中 F的形式未知,
例 4.2.2 航船阻力
长度为 l、吃水深度 h的船以速度 v 航行,若不
考虑风的影响,那么航船受到的阻力 f除依赖船
的诸变量 l,h,v 以外,还与水的参数 — 密度 ρ,
粘性系数 μ,以及重力加速度 g有关,
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量
之间的关系,
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f,l,h,v,ρ,μ,g)=0 (8)
2.这是力学问题,基本量纲选为 L,M,T,
各物理量的量纲表示为
? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
??
?
,,
,,
,][,][
211
31
2
LTgMTL
MLLTv
LhLtL M Tf
3.写出量纲矩阵
)(
)(
)(
2101002
0110001
1131111
73
T
M
L
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
方程有 m－ r=7－ 3=4个基本解,可取为
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因 Rank (A)=r=3
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
T
T
T
T
Y
Y
Y
Y
)0012021(
)0111010(
)1002010(
)0000110(
4
3
2
1
5,给出 4个相互独立的无量纲量
?
?
?
?
?
?
?
???
????
??
??
???
?
?
?
122
4
1
3
2
2
1
1
vfl
lv
glv
lh
(9)
式 (9) 与 φ(π1,π2,π3,π4)=0 等价,φ 是
未定的函数,两式表达了航船问题中各物
理量之间的全部关系,
为得到阻力 f的表达式，由式 (1)及式 (9)中
π4的式子可写出
f=l2v2ρψ(π1,π2,π3)
其中 ψ表示一个未定函数
用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量
之间的关系，这个结果用通常的机理分析法
难以得到
虽然函数 ψ 的形式无从知道,但这个表达式
在物理模拟问题中仍有用途,
例 4.2.3 物理模拟中的比例模型
利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航
船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力
量纲不变性,无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量：
原型中的各物理量：
gvhlf,,,,,,??
gvhlf ???????,,,,,,??
有
),,(
lg
22
?
??? lvv
h
lvlf ?
),,(
gl
22
?
???
?
???
??
?
?
?????? vlv
h
lvlf
当无量纲量
?
?
?
?
?
???
??
?
?
? ??? vllv
vl
vv
h
l
h
l,,
lg
成立时,可得
?
? ???? ? 2)(
lv
vl
f
f
原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他
有关量算出,
应用量纲分析法建立数学模型应注意：
1,正确确定模型中所含 物理量
主要靠经验和背景知识,没有一般的方法可以
保证得到的结果是正确或有效,
2,合理选择 基本量纲
3,应根据特定的建模目的恰当地构造基本解,
一般，在力学中选取 L,M,T即可,热学问题
加上温度量纲 Θ，电学问题加上电量量纲 Q).
量纲分析建模方法有如下优缺点,
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，
可以得到用其他复杂方法难以得到的结果,
2,可将无关的物理量去掉,
3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量,
4,方法有局限性,PI定理中的等价方程 F(·)=0,
仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量,
5,物理定律中常见的函数，如三角函数 sin(·),
指数函数 exp(·)等是无量纲的,不可能用量纲分
析法得到,
任何建模方法都有局限性