数学建模的一个重要工作是建立变量间的
数学关系式,但公式中几乎总是涉及一些参数,
如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对
土豆产量的影响：
xbeay ???
1磷肥：
要得到最终可应用于实际的经验模型，
必须确定公式中的各个参数
,2210 xbxbby ???氮肥：
.CxBeAy ???或
求模型中参数的估计值有三种常用方法：
图解法、统计法、机理分析法。
对经验模型的精度要求不高,只需对参数做
出粗略估计时可采用图解法,
例 6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式
需估计三个参数 A,B,C,观察图 7.3,数据
点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来
越靠近这条直线,可以估计 A=43,
1．图解法
CxBeAy ???
例 6.2.2(见 P158例 7.2.1)表中给出了 12月 1日
(星期二 )和 12月 2日 (星期三 )两天内的海浪潮
高度值 (相对于海堤上的零标尺记号,以米为
单位 ),能依据此表来预测 12月 5日 (星期六 )下
午 1:00的海浪高度值吗？
分析 根据对数据散布图的分析,采用函数
需估计振幅 a 和 频率 b.
)1(,0)()],(s i n [)( ??? ?? txttbatx 其中
)2()c o s ()s i n ()( btcbtatx ??或
解决方法,直接量出高低浪之间的高度差为
6.6米,)(3.3? 米?a
量出海浪变化周期约为 12.3小时
3.122 ?b? )(511.0? 每小时?b
得经验模型
.0)],(5 1 1.0s i n [3.3)( ??? ? ttttx
将频率的估计代入 (2)式,有
)5 1 1.0c o s ()5 1 1.0s i n ()( tctatx ??
代入 x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6 7.2? ??a
得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型
.0),511.0c o s (4.2)511.0s i n (7.2)( ???? ttttx
模型应用
预测 12月 5日下午 1:00的海浪潮高度为
x(109) = 2.4cos(5.11× 109) － 2.7sin(5.11× 109)
=2.4cos(55.7)－ 2.7sin(55.7)
=2.4cos(5.430－ 2.7sin(55.7)≈3.6(米 ).
误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为 4.1
米,相对误差大约是 12%,请考虑一下成因,
仔细分析图 5.5,可发觉图中
(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值 ;
(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大,
思考 怎样考虑这些细节来修改模型,以获得
更准确的预报呢？
2,统计法
参数估计的统计处理,往往运用最小二乘法
估计,
设有一组样本值,
),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx ?
对选定的一元回归函数,回归模型为)(x?
～ N(0,σ2),???,)( ?? xY
称令,,,2,1),(? nixy ii ??? ?
? ? ?????
? ?
n
i
n
i
iiii xyyyS
1 1
22 )]([)?(
为模型的 残差平方和,
应选取 μ(x)中的未知参数,使 S达最小值
当回归函数为 μ(x)=a +bx,回归模型
～ N(0,σ2) ??,??? bxaY
称为一元线性回归模型,其残差平方和为
?
?
???
n
i
ii bxayS
1
2)(
对 S 分别求关于 a,b 的偏导数,并令其等于零
得线性方程组如下：
?
?
?
?
?
?
?
? ????
? ????
?
?
n
i
iii
n
i
ii
xbxay
bxay
1
1
0)(2
,0)(2
整理得正规方程 (组 )如下：
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
???
??
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxbxa
yxbna
11
2
1
11
,
?
?
?
?
?
??
?
xbya
l
l
b
xx
xy
??
?求得解
,
1
1
?
?
?
n
i
ixnx ?
?
?
n
i
iyny
1
1其中
一元线性回
归模型参数
估计公式
?
?
??
n
i
ixx xxl
1
2)(
?
?
???
n
i
iixy yyxxl
1
))((
部分 非线性 回归函数经变量代换可化为 线性
函数,利用线性 参数估计公式进行估计,如
例 6.3.1 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为
xbeay ???
1
，令 xex
y
y ?????,1 xbay ????
对数据进行相应变换,可估计出
,0 2 3 2.0? ?a,0 0 7 3.0? ?b
得到磷施肥量和土豆产量的经验公式
.0,
0 0 7 3.00 2 3 2.0
1 ?
?
? ? x
e
y x
分析 有 43
l i m ??? yx
例 6.3.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆
产量的回归函数
与目测法的结论
惊人一致,
,0,43 ??? ? xBey Cx
得令,43 yz ??
,0,?? ? xBez Cx
相对于新变量 x,lnz,这是一元线性函数,
特点,统计分析法应用于变量间存在相关
关系的情形,并且需要较多数据为基础,
3,机理分析法
通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间
的因果关系,从而确定出参数,
两边取对数,有,lnln CxBz ??
例 6.3.3 录像机磁带计数器模型
在一台录像机上有一个四位数字的记数器,
1.在磁带开始运行时设置为, 0000”,,180分
钟, 结束时显示读数为, 1849”,实际所花的
时间为 185分 20秒,
2.记数器从, 0084”转到, 0147”时用了 3分 21
秒的时间,
现在记数器上显示为, 1428”,问余下的磁带
是否足够再记录 60分钟长的节目？
已建立经验公式
])[(2)( 2/12 rrw v t
w
ktn ??? ?
?
?
其中 w — 录象带的厚度； r — 转动轴半径；
v— 转动速度； k— 显示读数和旋转周
数的比例系数,
通过进一步分析简化模型,使所含的未知参
数尽可量少,用很少的几个数据求得参数的
估计值,
wvk /2 ?? ?,/2 wvr?? ?
上式化为 )()( ??? ??? ttn
可利用的数据如下
时间 t 0 t1 t1+3.35 185.33
读数 n(t) 0 0084 0147 1849
t=0,n=0是模型的初始条件,将后三组数据
代入 得关于 t1,α与 β 的三元方程组
注
1.由于数据个数太少,不能用统计法估计参数；
2,这里采用机理分析法求参数的估计值,可
利用的数据个数已是允许的最少个数了,
