欧几里德在不加证明而直接采用基本概念和
公理的基础上,运用逻辑推理方法得出了一系
列定理、推论,从而建立了完整的欧几理德几何
学,这一辉煌的成果至今仍然是人类宝贵财富,
逻辑推理建模方法是一种重要的建模方法
一, 合作对策模型
从事某一项活动若能多方合作,往往可以获得
更大的总收益 (或受到更小的损失 ).合作中应该
如何分配收益（或分摊损失）?
合作对策模型基本思想,采用公理化方法，
从问题应当具有的基本属性出发，运用逻辑
推理方法导出满足这些基本属性的解,
例 5.3.1 有三个位于一条河流同一侧的城镇，
三城镇的污水必须经过处理才能排入河中, 三
方商议共建一座污水处理厂,
城 1 城 2 城 3
20公里 38公里
污水厂
筹建处
问题：
（ 1）三个城镇怎样 建厂可使总开支最少？
（ 2）每一个城镇的费用各分摊多少？
分析,有五种方案可供选择
(1) 三城各建一个处理厂；
(2) 城 1与城 2合建一个厂,城 3单独建一个；
(3) 城 2与城 3合建一个厂,城 1单独建一个；
(4) 城 1与城 3合建一个厂,城 2单独建一个；
(5) 三城合作建一个处理厂；
条件,建设污水处理厂的费用有公式：
)(7 3 0 7 1 2.01 万元QC ?
管道费用：
)(6.6 51.02 万元LQC ?
Q—污水排放量； L—管道长度 (公里 ).
三个城镇的污水排放量分别为
Q1=5米 3/秒, Q2=3米 3/秒, Q3=5米 3/秒,
对各个方案进行费用测算，得
方案 总投资 城 1投资 城 2投资 城 3投资
（ 1） 6200 2300 1600 2300
（ 2） 5800？？ 2300
（ 3） 5950 2300？？
（ 4） 6230？ 1600？
（ 5） 5560？？？
方案 (5):三个城市合作建厂总投资最少,
问题,三个城市如何分摊费用？
经商讨定下几条原则：
1,建厂费用按 3个城市的污水量之比 5:3:5
分摊；
2,城 2到城 3的管道费按 5:3由城 1和城 2分摊；
3,城 1到城 2的费用由城 1自行解决,
思考,他们的原则是否有道理？
城 1市长的“可行性论证”,
1,建厂总费用为 730× (5+3+5)0.712 =4530(万元 ),
城 1负担费用为 4530× 5/13≈1742(万元 );
2,城 1至城 2的管道费用为
6.6× 50.51× 20≈300(万元 )；
3,城 2至城 3的管道费用为
6.6× （ 5+3） 0.51× 38≈724(万元 )
城 1负担 724× 5/8=425.5(万元 );
城 1总共负担,1742+300+425.5=2467(元 ).
市长的 结论,不能接受这样的合作,
n人合作对策模型
设 I={1,2,…,n},,i,代表第 i个可能参加
的合作者,
定义 1 I 每一个子集 S,对应一个确定的实
数 V(S),V(S)满足：
(1) V(S)≥0,对所有的 I 的子集 S；
(2) V(φ)= 0；
(3) V(S1∪ S2)≥V(S1)+V(S2),对一切满足
S1∩S2=φ的 S1,S2成立,
称 V(S)为 I 上的 特征函数,
本例中特征函数 V(S)的实际意义是若 S中的
人参加一种合作,这一合作的 总获利数,
例 将三个城市记为 I={1,2,3},则 {1},{1,2}、
{1,3},{1,2,3}都是 I的子集,分别对应有城市
1参加的各种合作方式,
用 V(S)表示以单干为基准的合作获利值,有
V({1})= 0；
V({1,2})=(2300+1600)－ (5800－ 2300)=400(万元 )；
V({1,3})=0
(因为 (2300＋ 2300)－ (6230－ 1600)=－ 30(万元 ))；
V({1,2,3})=(2300+1600+2300)－ 5560=640(万元 ).
三城市合作能产生效益 640万元,如何分配？
定义 2 定义合作 V(S)（ SI）的分配为
Ψ(V)=（ ψ1(v),ψ2(v),…, ψn(v)）
其中 ψi (v)表示第 i个人在这种合作下分配到
的获利,称 Ψ(V)为合作对策,
不同的合作应有不同的分配,问题归结为寻
求一个合理的分配原则,
Shapley 公理
公理 1,合作获利者对每个人的分配与此人的
标号无关；
公理 2 每人分配数的总和等于总获利数：
公理 3 若对所有包含 i 的子集 S,有 V(S－ {i})
=V(S),则 ψi (v)=0；
公理 4 若 n个人同时进行两项互不影响的合
作,则两项合作的分配也应互不影响,
Shapley定理 满足公理 1～ 4 的 Ψ( V)存在
并且唯一，由下式给出：
)1(})]{()()[()( ?
?
????
iTS
i iSVSVSWV
)2(
!
)!()!1()(
n
SnSSW ???
Ti 是 I 中包含 i 的一切子集构成的集族,
表示集合 S中的元素个数,
S
注 在 (1)式中
V(S)－ V(S－ {i}) ━ 可视为第 i 人在合作 S中所
做的贡献；
━ 可看成第 i人的贡献在总贡献中所占
的权重,
)( SW
0 0 0 250V(S－ {1})
0 67 0 130 W( ) [V(S) － V(S－ {1})]
1 2 2 3
1/3 1/6 1/6 1/3W( )
0 400 0 390V(S) － V(S－ {1})
0 400 0 640 V(S)
{1} {1,2} {1,3} {1,2,3}S
S
S
S
续例 1计算城市 1应承担的费用
T1={{1},{1,2},{ 1,3},{1,2,3}}，
根据公式 (1)
?
?
????
1
})]()()[()(1
TS
iSVSVSWV
从而城市 1应承担投资额为
2300－ 197=2103(万元 ).
= 67+130=197(万元 )，
例 5.3.2 调整气象观察站问题
某地区内有 12个气象观察站（位置如图 ),
有 10年各观察站的年降水量数据,为了节省
开支,想要适当减少气象站,
问题, 减少哪些观察站可以使得到的降水
量的 信息量 仍然足够大？
二,信息模型
x1
x2
x3 x4x
5
x6 x7
x8
x9
x10
问题,怎样比较信息的大小？
信息的多少能不能度量？
降水量的 信息量 仍然足够大？
1,信息量
认识问题的过程：
* 对一个问题毫无了解时,对它的认识是不确
定的,
* 在了解过程中,通过获得信息,逐渐消除了
不确定性,获得的信息越多,消除的不确定性
就越大,
用消除不确定性的多少来度量信息量
例 1：到影院寻找一个人，已问到：
(1) 甲告诉两条消息：他不坐在前十排,他
也不坐在后十排；
(2)乙告诉一条消息：他坐在第十五排,
问题：甲、乙谁提供的消息信息量更大？
答案,乙的消息总信息量更大,因其不确定
性消除得更多,
例 2.若在盛夏预报“明日无雪”,这条消息的信
息量为零,因根本不存在不确定性,
美国贝尔实验室的学者香龙（ Shannon） 应用
概率知识和逻辑方法推出了信息量的计算公式,
他提出信息度量应满足的公理：
公理 1 信息量是该事件发生概率的连续函数；
公理 2 如果 A B，则 A发生的信息量 ≥B
发生的信息量；
?
公理 3 若 A与 B相互独立，则 A与 B同时发生的
信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和；
公理 4 任何信息的信息量都是有限的,
将事件 A 发生的信息记为 M,概率记为 p,
记信息的信息量为 I(M)
定理,满足公理 1～ 4的信息量函数必为
I(M)=－ C loga p (1)
其中 C 是任意正整数,对数的底 a 可取不为
1的正实数,
注 取 a=2,C=1,信息量的单位称为 比特取 a=10,C=1,信息量的单位称为 迪吉特
例 3.某剧院有 1280个座位,32排,每排 40座,
现从中找出某人,求以下信息的信息量,
1,A：他在第十排； 2,B,他在第 15座
3,C,他在第十排第 15座,
解 在未知任何信息的条件下,认为他坐在各排
的概率是均等的,坐在各座位的概率也相等,
I(MA)= － log2 （ 比特 ),
5321 ?
I(MB)=－ log2 （ 比特 ),
32.5401 ?
I(MC)=－ log2 （ 比特 ),
32.101 2 8 01 ?
有,I(MC)=I(MA) ＋ I(MB).
满足公理 3,对完全独立的几条信息,其总信
息量等于各条信息的信息量总和,
2,平均信息量（熵）
定义,一随机试验有 N个可能结果,出现的
概率分别为 p1,p2,…,pN,出现第 i组结果的信
息量为 － log2pi,该试验的不确定性可由这组
信息量的平均信息量度量,
)1(l o g
1
2?
?
??
N
i
ii ppH
称 H为 熵 (或 负熵 ).
对具有连续分布 p(x) 的随机试验,熵的定义为,
? ?????? dxxpxppH )(l o g)()( 2
注 1.此定义与物理中的熵相差一个负号,2,熵度量试验的不确定程度，熵越大试
验的不确定程度越大,
例 4．有三名射手的射击情况如下：
??
?
?
??
?
?
5.05.0
AA
甲：
??
?
?
??
?
?
01.099.0
AA
乙,??
?
?
??
?
?
3.07.0
AA
丙：
其中 A 表示射击命中目标, 哪一个射手的
射击情况最不确定？
解 需求三个射击试验的熵
3 0 1 0.02lg21lg2121lg21 ?????甲H
0243.001.0lg01.099.0lg99.0 ????乙H
2 6 5 3.03.0lg3.07.0lg7.0 ????丙H
其中,取 a =10,甲的熵值最大,乙的最小,
结论？
例 5.若 随机试验的随机变量 X～ N(0,σ2),求试
验的熵值,
解 X 的 概率密度为
,,
2
1
)(
2
2
2 Rxexp
x
??
?
?
??
?
??
??
? ?? dxxepH x ]
2
2[ l o g
2
1)(
2
2
2/ 22
?
??
??
?
.2l o g
2
1l o g2l o g ??????? e
思考 分析熵与随机变量方差的关系
重要结论,
1.若试验仅有有限种结果,S1,S2,…,S n,其发
生的概率分别为 p1,p2,…,pn,当
p1= p2= …= pn=1/n，
试验具有最大熵,
2,若试验是连续型随机试验,其概率密度 P(x)
在 [ a,b]以外均为零,则均匀分布具有最大熵,
3,对于一般连续型随机试验,在方差一定的前
提 下,正态分布具有最大熵,
定理,(最大熵原理） 受到相互独立且均匀
而小的随机因素影响的系统,其状态的概率分
布将使系统的熵最大,
问题,怎样将熵用于解决气象观察站调整问题？