在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”
数,而是反映事物某一特性的度量,
用数加单位来表示具体度量；
用量纲的概念来表示被度量的特性,
量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一,单位
SI 国际单位制（米 — 千克 — 秒）；
fps 英制单位制（英尺 — 磅 — 秒）
一个模型中单位必须统一
二,量纲
时间 （ T）
基
本
物
理
量
质量 （ M）
长度 （ L）
力学中，任何物理量
都可以表示为其组合形
式,称这种组合形式为
物理量的量纲,
称为
基本量
纲
其中 [质量 ]=[ m ]=M,
[长度 ]=[ l ]=L,
[时间 ]=[ t ]=T,
例 4.1.1
[加速度 ]=[ a ] =LT－ 2 ;
因为力 F=ma,故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－ 2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
2
21
r
mmKf ?
中的引力常数 K的量纲为
]][[
]][[
][
21
2
21
2
mm
rf
mm
fr
K
?
?
?
?
?
?
?
?
?
[速度 ]=[v ]=[ ] = =LT－ 1 ;
dt
ds
213
2
22
??
?
?? TML
M
LL M T
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
［ 角度 ］ =LL— 1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位 (弧度 ).
量 纲 独 立 于 单 位
三, 量纲齐次性 （ Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则,任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边 ] = [右边 ]
1,对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验,
2,无量纲化方法减少参数个数,
例 4.1.2 非线性震荡运动方程
F
dt
dx
CKx
dt
xd
m ???
2
2
?
?
?
??
?
?
????
?
.
,
FCvKx
dt
dv
m
v
dt
dx
或
模型中有参数, m,K,C
令 x0=x(0),w0 =,v0=x0 w0,
mK
根据量纲齐次性,有
[ w0 ]=T－ 1,[ F ]=MLT－ 2,
[ K ]=MT－ 2,[ C ]= MT－ 1.
引进无量纲量：
T=w0t,X=x/x0,V=v/v0
v
dT
dXv
dT
dXxw
w
T
d
Xxd
dt
dx
???? 000
0
0
)(
)(
得
V
v
v
dT
dX ??
0
特点？
dT
dV
vmw
d
Vvd
m
dt
dv
m
w
T 00
0
)(
)(
0
??将
代入原方程，有
000000 vmw
Fv
vmw
Cx
vmw
K
dT
dV ????
0000020
)()(
vmw
F
v
v
mw
C
x
x
mw
K
????
= － X－ AV+F0
其中，因 v0=x0w0,w0= mK
原方程变形为
XFAV
dT
dV ???
0
优点：
1,减少了参数的个数；
2,方程中的变量 X,V,T都是无量纲量,
