数学模型的建立与建模目的密切相关
几类常见 建模 目的,
1,描述 或 解释 现实世界的 各类现象
(常采用机理分析的方法,探索研究对象的
内在规律性 )；
2,预测 感兴趣的事件是否会发生,或者事物
的发展趋势,
(常采用数理统计或模拟的方法 )；
需合理地定义可量化的评价指标及评价方法,
建
模
过
程
中
的
几
个
要
点
模型的整体设计
合理的假设
建立数学表达式
建立数学结构
3,优化 管理,决策 或者 控制 事物
时刻
牢记
建模
目的
完整的数学模型应该同时描述出
有关因素之间的 数量关系 和 结构关系
应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个
模型中的 地位 和 作用,
例 3.4.1 考虑一个简化的城镇供水系统,水
是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用
户供水,
问题 怎样才能 有效地保障 各用户的正常用水？
一, 模型的整体设计
按下述步骤对模型进行整体设计
1,分析系统的组成部分 （研究对象、实体）
相关实体有：水库,管道,水箱和用户,
* 实体间的 结构关系 可表示如下：
水库 管道 水箱 用户
* 以上各实体都可能是我们的研究对象,
* 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响
(见教材 P47表 3.3).
2,分析各实体之间的关系,找出联系各实体
的变量,
实体之间的作用关系图
各
实
体
之
间
的
关
系
管道与水箱：管道的水流量
水库与管道：水库的水深
水箱与用户：出水口的水流量
（或有效水深 ）
用户：总用水量
3,根据各实体的相互关系,提炼整理需考虑
的变量 以及变量之的关系表达式,
假设,水库能保证管道所需的水流量”,
现需考虑 t 时刻以下变量：
* 总需水量 D(t)；
* 水箱的有效储水量 Q(t)及 QM ；
或流出水流量 F(t) 及 FM ；
* 管道能提供的供水量 G(t)及 GM.
分析各变量的特征：
* D(t)不可控，但可以对其进行描述；
* G(t)是可控变量,
4,用数学语言描述 要解决的问题
选择适当的函数 G(t)，使得
有 Q(t)=G(t)－ F(t),F(t)=D(t),
0＜ G(t)＜ GM,0＜ Q(t)＜ QM，
同时成立,
建模工作的整体设计,
1) 确定需求函数 D( t ),是保证有效控制
的基础；
2) 制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；
3) 求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；
4) 分析各种参数对方案的影响；
5) 分析随机因素的影响,
模型整体设计的作用
1) 可将整个建模过程分解为一些可串行
或并行的子任务。
2) 可把握住工作的重点、要点和难点,
做出模型的整体设计后,着手建立模型
之前，撰写一份工作提纲,
建议,
二, 做出假设
根据对象的特征和建模的目的对问题进行
必要的、合理的简化，用精确的语言做出假
设，是建模的 关键步骤 。
合
理
假
设
的
作
用
简化问题
明确问题
限定模型的
适用范围
一个实际问
题不经过简
化假设,很难
抽象转化为
数学问题。
例 3.4.2 飞行管理问题中有叙述,,对以下 数据
进行 计算 （方向角误差 不超过 0.01度 ）,
如何理解？
通过假设：
* 所给飞行方向角数据的误差不超过 0.01度,
或 *数据的运算结果误差限控制为 0.01度,
使问题完全明确,
例 3.4.3 渔业管理问题中关于, 季节性集中
产卵繁殖,,如何理解, 产卵孵化期是一
年
的最后四个月,？有以下几种假设,
*产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，
从而孵化也是均匀进行,
* 产卵时间服从方差很小的正态分布,
* 鱼群的个体在后四个月的第一天集中产
卵,在最后一天孵化出来, 哪一条“最好”？
第三种与第二种没有本质的差别，处理较
容易,
分析：
第一种不符合鱼类的生物学实际；
第二种比较符合实际，但大大增加了解决
问题的难度；
假设起到简化问题的作用
假设, 渔场是非开放式的,不与其它水域发生
关系，从而构成独立的生态群落,
设计假设应遵循的原则
*假设应是有依据的,基于对问题内在规
律的认识和对数据及现象的分析；
* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量
使问题简化,
* 避免过于简单、过于详细或不合理,
将建立的数学模型限定在一定的适用范围,
例 3.4.4 渔业管理问题中有条件：“平均每条
4 龄鱼的产卵量为 1.109× 105个,3 龄鱼的产
卵量为这个数的一半,2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵”,
分析, 为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件,
有两种假设：
* 雌雄鱼的比例是 1:1；
*“平均每条鱼的产卵量, 理解为对所有鱼的
平均,故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区别,
哪一种较为合理？
可假设：
* 每到次年初，头一年的 1,2,3 龄鱼均
增 1岁，将 5 龄鱼归并为 4 龄鱼,
问题, 当年的 4 龄鱼,第二年如何处理？
合理性解释,事实上，资料表明此种鱼的
寿命一般为 3年，另一方面经过捕捞后 4 龄
鱼的数量很少，可以忽略不计,
对于假设：
* 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；
* 应意识到隐含的假设,
例 3.4.5 零件的参数设计 （ 1997年 A题）
一件产品由若干零件组装而成，标志产品
性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件
参数包括标定值和容差两部分,
1.进行零件参数设计，就是要确定标定值
和容差，需考虑两方面因素 ;
2,当各零件组装成产品时,如果产品参数
偏离预先设定的目标值就会造成质量损失，
偏离越大，损失越大；
3.零件容差的大小决定了其制造成本,容差
设计得越小，成本越高,
试通过如下的具体问题给出一般的零件参
数设计方法
粒子分离器某参数（记作 y）由 7个零件
的参数 (记作 x1,x2,…,x7)决定,经验公式为
76
16.1
2
42/356.0
2
4
85.0
12
3
2
1
721
)(])(36.01[62.21
))((42.174
),,,(
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxfy
?
??
?
?
?
? ?
y的目标值 (记作 y0)为 1.50,当 y偏离 y0± 0.1时,产
品为次品,质量损失为 1 000元 ;当 y 偏离 y0 ± 0.3
时,产品为废品,损失为 9 000元,
……
请你综合考虑 y偏离 y0造成的损失和零件成本,
问题分析 需要建立损失函数,参数 y与 y0的偏
离是由 7 个参数综合确定,可假设
* 零件参数 Xi,i=1,2,…, 7 是相互独立
的同服从正态分布的随机变量,
对于随机变量
),,,( 721 XXXfY ??
假设：
* 随机变量 Y 是服从正态分布的随机变量,
可以利用两种方法进行检验
1,利用泰勒公式做近似；
2,利用计算机模拟结合数理统计分析,
三, 现实问题与数学表达式
绘
图
法
表
格
法
数
学
解
析
式
建立变量间的关系
是建立数学
模型的一项
重点工作
三种形式可以相互转换
翻译能力, 将变量间关系的中文语言描述
转化为教学表达式
例 3.4.6 突然间下了 20分钟雨，收集到 1/2
英寸的雨量。现要建立一个函数 R(t),用来
描述降雨量随时间变化的规律,
用中文语言描述数量现象往往是含混的,
许多可能的选择,譬如：
（ 1）假设 雨连续稳定地下落,
可理解成降雨保持恒定速度，即
40
1)( ?
dt
tdR,0≤t≤20
(2) 降雨开始较慢,中间逐渐地加快,达到
最大速度后又减小,
若假设降雨速度先线性增长后又线性减小,得
线性降雨模型：
?
?
?
???
??
?
.2010,005.01.0;100,005.0)(
tt
tt
dt
tdR
或考虑另一个降雨模型：
btabtat
dt
tdR ????,)( 2
模型中有两个待定参数 a 和 b.
分析评价以下质量损失函数
续例 3.4.5 零件的参数设计
?
?
?
?
?
??
???
??
?
.3.0,9000;3.01.0,1000;1.0,0
)(
0
0
0
yy
yy
yy
yL
是,y的目标值（记为 y0）为 1.50,当 y与 y0的
偏离为 0.1时，产品为次品，质量损失为 1 000
元；当 y偏离 y0为 0.3时,产品为废品，损失为 9
000元” 的 数学描述,
对损失的理解还需深入,
* 此产品只是最终产品的某一部件,y 对 y0
的偏离会,连续地,影响最终产品的质量；
* 题目中“如果产品参数偏离预先设定的
目标值就会造成质量损失,偏离越大，损
失越大, 提示损失是具有社会性的,
质量损失函数 L(y)应是 （ y－ y0） 的 连续 函
数,应选择以下哪一个函数？
204 )()( yykyL ??
)()( 02 yykyL ??
303 )()( yykyL ??
)()( 01 yykyL ??
常见的变量间关系描述：
1.当自变量 t 变大 (小 )时,因变量 y 会怎样
变化?
2,有没有使 y 取极大值或极小值的 t 值？
3,有没有使 y=0 的 t 值?
4,y 是否随 t 作做周期性变化？
5,感兴趣的是 t 的全部值，还是一定范围内
的值，如 t＞ 0或 0＜ a＜ t＜ b？
例 3.4.7 扑灭森林失火
森林失火了！消防站接到报警后派多少消
防队员前去救火？要综合考虑森林损失费、
救援费和消队员人数之间的关系，以总费用
最小来决定派出队员的数目,
问题分析 损失费正比于森林烧毁面积,现考
虑森林烧毁面积函数 B(t).
变量说明 t=0,森林开始失火的时刻；
t1, 开始救火的时刻；
t2, 火扑灭的时刻,
假设
*1 在消防队员到达之前,火势越来越大,
火势蔓延速度与时间成正比，即
tdtdB ??
解释 火势从某个中心开始，以均匀速度
成环形向外蔓延,蔓延半径 r(t)∝ t,又因
B(t)∝ r2(t)，故
dt
dB ∝ t
*2 派出 x名消防队员,开始救火以后,火势蔓
延速度为 β－ λx(<0),有
211 ),( tttttxtdt
dB ???????
建立函数关系 森林烧毁面积为
?? 202 )( t dtdtdBtB
0,
)(22
1)( 2 ?
???
?? t
x
bbttB解得
