求数学模型的解重要而困难
求解纯数学问题求解数学模型
* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助
与背景知识,
* 针对现实问题建立的数学模型,往往仅可求
数值解,
* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解
答 (如微分方程定性分析 ),
例 3.5.1,稳定的椅子
将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地
面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？
假设
*1 地面为连续曲面,（在 Oxyz坐标系中，地
面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）
*2 相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长,
*3 将与地面的接触看成几何上的点接触,
建模
绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 O点旋转，
转动角度记为 θ.
O A
B
C
D
A'
C'
θ
引进函数变量：
f(θ) — A,C 两腿到地面的距离之和；
g(θ) — B,D 两腿到地面的距离之和；
由假设 *1,f(θ),g(θ)都是连续函数,
由 *2方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时
着地，故有
f(θ) g(θ) =0,θ∈ [0,2π]
不妨设 f(0)=0,g(0)＞ 0,方桌问题归结为
数学问题,
已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数 ； f(0)=0、
g(0)＞ 0,且对任意 θ,都有 f(θ)g(θ)=0，
求证,存在 θ0,使得 f(θ0)=g(θ0).
分析, 当 θ=π/2 时,即 AC 和 BD互换位置,
故有 f(π/2)＞ 0,g(π/2)=0
令 h(θ)=f(θ)－ g(θ),则有
h(0)＜ 0,h(π/2)＞ 0，
因 h(θ) 在 [0,π/2]上连续，根据闭区间
上连续函数的介值定理，存在 θ0∈ [0,π/2]，
使
f(θ0) = g(θ0)
因对任意 θ有,f(θ)g(θ)=0
f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
h(θ0)=f(θ0)－ g(θ0)=0
结论 对于四条腿等长,四脚呈正方形的桌子,
在光滑地面上做原地旋转,在不大于 π/2的角度
内，必能放平,
问题,任意矩形的桌子会怎样？
模型求解需要一定的技巧
例子中的建模及求解技巧：
1,用一元变量表示位置；
2,用 θ的函数表示距离；
3,利用问题的背景条件来求解,
建立坐标
一, 近似求解
1,减少模型中变量个数
初建立的模型往往包含许多变量，一些变量
对最终结果的影响会大于其他变量的影响；
减少模型中变量个数,简化模型,便于求解
比较变量的数量级,估计变量在模型中的
作用与地位,
用记号 x～ O(10)表示, 数量 x的数量级是 10”
或, x的值在 10的附近,
例 3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况，
建立如下模型
?
?
?
?
?
?
??
0)0(
,)1(
NN
N
N
N
r
dt
dN
M
分析,当时美国人口数量以百万为单位，即有
N(t)～ O(107)
最大容许量 NM的数量单位以亿计，即
NM～ O（ 109）
从而 N/NM～ O(10－ 2),原模型可以简化为
?
?
?
?
?
?
?
0)0(
,
NN
rN
dt
dN
其解为
0,)( 0 ?? teNtN rt
著名的
Malthus模型
2,利用泰勒展式近似求解
假定零件参数 Xi,i=1,2,…, 7 是相互独立
的同服从正态分布的随机变量，则函数
),,,( 721 XXXfY ??
服从什么分布？
将函数 y 在标定值 (μ1,μ2,…, μ7) 做泰
勒展开,得到 y 的一阶近似表达式：
例 3.4.3 零件的参数设计
?
?
?
?
?
?
??
7
1
721
721721
)(
),,,(
),,,(),,,(
i
ii
i
x
x
x
xxxy
fxxxf
?
?
???
??
?
??
Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性
组合,故可认为 Y近似服从正态分布,
例 3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题）
要使一个班中至少有两个人的生日相同的
概率超过 p (0<p<1,p+q=1),该班级至少
需有多少人？
建模,假设班中有 n个人,至少有两人的生
日相同的概率为
nnpnP 365/1)( 365??
求最小的整数 n，
更一般的提法是
xn
x
nxxxxnf
n ??
????? 1,)1()2)(1()( ?
求最小的整数 n,.)( qnf ?使
.3 6 5,)( 365 qPpnP nn ?? 或使
)11()21)(11()(
x
n
xx
nf ????? ?
求解
利用泰勒近似展开式
,1
x
e
Kx
K
??
?
K=1,2,…, n.
)()(
1321
ngeeeenf x
n
xxx ??
?????
?
有
令 g(n)=q,解出 n2－ n+2xlnq =0,
方程的正根为 xqn )( l n225.05.0 ???
当 q=0.5,则 xn 38629.125.05.0 ???
二, 减少参数的个数
初建立的数学模型往往带有较多的未知参数，
给模型求解造成很大困难，如
电铃振荡运动的方程
F
dt
dx
cKx
dt
xd
m ???
2
2
有未知参数 m,K,c.
用无量纲法、变量替换法
尽量减少参数个数，
例 3.5.5,在地面截击防卫战术的软件系统结
构设计中需要了解飞机在拉高过程中的高度
损失,建立飞行状态模型如下：
)c o s(
s i n
2 ?
?
? gkV
gV
d
dV
?
?
?
其中 k是比例系数,V是飞行速度的大小，
γ是飞行方向角,求 γ=0 时,V(0)=Vf 的解,
求解 已知方程解满足函数方程：
0s i n
3
1c o s
3
1
00
3
0
3 ???? ?? gVkVgVkV
V0是初始速度,γ0是初始飞行方向角,方程
中有未知参数 k,V0,γ0以及 g.当 γ=0,有
0s i n
3
1
3
1
00
3
0
3 ???? ?gVkVgVkV
ff
将方程两边同除以 kV03,并记 B=g/kV02,原
方程改写为
0s i n
3
1
)()(
3
1
0
0
3
0
???? ?B
V
V
B
V
V ff
将看 成新的变量,方程只有两个未知参数
γ0,B, 0V
Vf