§ 18-7 波函数 薛定谔方程
1,波函数及其统计意义
得到描写自由粒子的平面波波函数：
利用关系
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系
的物质波，该函数表达式称为物质波的 波函数 。
机械波
PhhE ?? ??,
或
)(2
0),(
pxEthietx ??? ???
)(2c os),( 0 ??? xtytxy ??
)(2
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?? xtieytxy ???
物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明
物质波的
强度大
光强度大
光波振幅平方大 （波动观点）
光子在该处出现
的概率大 （微粒观点）
波函数振幅的平方大
单个粒子在该处出现
的概率大
（波动观点）
（微粒观点）
波函数
在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概
率正比于该时刻、该地点波函数的平方。
在空间一很小区域 (以体积元 dV=dx dy dz表征 )出
现粒子的概率为：
dVdV2 ?????
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单
位体积内粒子出现的概率。
2?
及单值、连续、有限等标准化条件
12 ???? dV? 归一化条件
波函数还须满足：
波函数
试求：（ 1）常数 A；
（ 2）粒子在 0到 a/2区域出现的概率；
（ 3）粒子在何处出现的概率最大？
例 18-8：作一微运动的粒子被束缚在 0<x<a的范围内 。
已知其波函数为 )s in ()( axAxΨ ??
解,（ 1）由归一化条件得,
2aA ?
（ 2）粒子的概率密度为,
a
x
aΨ
?22 s in2?
1)(s i n 20 2 ?? xaxAa d?
波函数
在 0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：
（ 3）概率最大的位置应满足
????????,3,2,1,0,2 kka x ??
因 0<x<a/2,故得
粒子出现的概率最大 。
2
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a
x
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aa ddV ?
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波函数
2,定态薛定谔方程
薛定谔建立的适用于低速情况的、
描述微观粒子在外力场中运动的微分
方程,称为 薛定谔方程 。
titzyxUzyxm ?
?????
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22
质量为 m 的粒子在势能为 的外力
场中运动，含时 薛定谔方程为：
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2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
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拉普拉斯算符
薛
定
谔
用分离变量法：
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到,
讨论势能函数与时间无关的情形，即,
此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状态
称为定态，对应的波函数称为定态波函数。
),,( zyxU
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定态薛定谔方程
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令等式两端等于同一常数
定态薛定谔方程
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在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概
率正比于该时刻、该地点波函数的平方。
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试求：（ 1）常数 A；
（ 2）粒子在 0到 a/2区域出现的概率；
（ 3）粒子在何处出现的概率最大？
例 18-8：作一微运动的粒子被束缚在 0<x<a的范围内 。
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2,定态薛定谔方程
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