1.氢原子的薛定谔方程
r
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0
2
4 ??
??氢原子中电子的势能函数
0)
4
(2
0
2
2
2 ???? Ψ
r
eEmΨ
???
定态 薛定谔方程
222 zyxr ???
为使求解的问题变得简便,
通常采用球坐标 。),,( ??r x y
z
θ
φ
r
电子
原核子
§ 18-9 量子力学中的氢原子问题
拉普拉斯算符变为：
2
2
22
2
2
2
2
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1
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rr
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设波函数为 )()()(),,( ????? ??? rRr
代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常
微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准
条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。
氢原子
（ 1）能量量子化
同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认
为的假设。
在求解 得到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR
2
222
0
4
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称为主量子数n
氢原子
n =1 基态能量 eV6.13
1 ??E
eV6.131 ??? EE
n =2,3,… 对应的 能量称为激发态能量
eV40.32 ??E eV51.13 ??E
当 n很大时，能级间隔消失而变为连续 。
对应于电子被电离,
氢原子的电子电离能为：
??n
当, 0??E??n
1
1E
2
3
2E
3E
4
5
4E
?E ?
氢原子
说明角动量只能取由 l 决定的一系列分立值，
即角动量也是量子化的。
（ 2）轨道角动量量子化和角量子数
处于能级 的原子,其角动量共有 n 种可
能值，即,用 s,p,d,… 表示角
动量状态。
nEl =0,1,2,...,n-1( )
在求解角量 为变量的函数所满足的方程时，
进一步得到角动量量子化的结果。
??,
称 为 角量子数, 或 副量子数 。l
?)1( ?? llL )1(,3,2,1 ?? nl ?
氢原子
氢原子内电子的状态
n =1
n =2
n =3
n =4
n =5
n =6
l = 0 l = 1 l = 5l = 4l = 3l = 2
( s ) ( p ) ( h )( g )( f )( d )
1s
5f5d5p5s
6s 6p 6d 6f 6g 6h
4s
3s 3p
4f
3d
4p 4d
5g
2p2s
氢原子
（ 3） 轨道角动量空间量子化和磁量子数
,?lz mL ? lm l ????,.,,,2,1,0
称为 磁量子数 。对于一定的角量子数
可以取 个值。
lm lml,)1(2 ?l
氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分
离值，其方向也有一定限制。若取外磁场 B的方向
为 轴，角动量在 轴上的投影 只能取
zLz
z
氢原子
)(zB
o
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?6?L
2?l
角动量的空间量
子化
氢原子
例 19-10 设氢原子处于 2p态，求氢原子的能量、角动量大小
及角动量的空间取向。
解, 2p态表示 n=2,l=1。
得 eV40.3eV
2
6.13
22 ????E
角动量的大小为 ?? 2)1( ??? llL
当 l=1时,ml的可能值是 -1,0,+1，角动量方向
与外磁场的夹角可能值为：
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43
2
4
)1(
a rc c os
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氢原子
3.氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道
定态波函数,),()( ???
lmnln l m YrR?
称为径向函数；)(rRnl
),( ??lmY 称为角分布函数。
以下给出前几个函数：
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r
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为玻尔半径0a
电子的概率分布
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电子的径向分布概率为 )(rP
表示电子出现在 至 的球壳中的概率。r drr ?
电子的概率分布
氢原子中电子径向概率分布
电子的概率分布
电子的角分布概率由 决定。 ),( ??lmY
与 无关，表示角向概率密度对于 轴
具有旋转对称性
2),( ??lmY ? z
由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小?
氢原子中电子的角分布
2
0,0Y
2
1,1Y 20,2Y
电子的概率分布
电子的角分布概率由 决定。 ),( ??lmY
与 无关，表示角向概率密度对于 轴
具有旋转对称性
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由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小?
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电子的概率分布
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定态 薛定谔方程
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为使求解的问题变得简便,
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§ 18-9 量子力学中的氢原子问题
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微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准
条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。
氢原子
（ 1）能量量子化
同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认
为的假设。
在求解 得到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR
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称为主量子数n
氢原子
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当 n很大时，能级间隔消失而变为连续 。
对应于电子被电离,
氢原子的电子电离能为：
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氢原子
说明角动量只能取由 l 决定的一系列分立值，
即角动量也是量子化的。
（ 2）轨道角动量量子化和角量子数
处于能级 的原子,其角动量共有 n 种可
能值，即,用 s,p,d,… 表示角
动量状态。
nEl =0,1,2,...,n-1( )
在求解角量 为变量的函数所满足的方程时，
进一步得到角动量量子化的结果。
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称 为 角量子数, 或 副量子数 。l
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氢原子
氢原子内电子的状态
n =1
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( s ) ( p ) ( h )( g )( f )( d )
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氢原子
（ 3） 轨道角动量空间量子化和磁量子数
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称为 磁量子数 。对于一定的角量子数
可以取 个值。
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氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分
离值，其方向也有一定限制。若取外磁场 B的方向
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氢原子
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角动量的空间量
子化
氢原子
例 19-10 设氢原子处于 2p态，求氢原子的能量、角动量大小
及角动量的空间取向。
解, 2p态表示 n=2,l=1。
得 eV40.3eV
2
6.13
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角动量的大小为 ?? 2)1( ??? llL
当 l=1时,ml的可能值是 -1,0,+1，角动量方向
与外磁场的夹角可能值为：
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3.氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道
定态波函数,),()( ???
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称为径向函数；)(rRnl
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以下给出前几个函数：
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角分布函数：
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为玻尔半径0a
电子的概率分布
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电子的径向分布概率为 )(rP
表示电子出现在 至 的球壳中的概率。r drr ?
电子的概率分布
氢原子中电子径向概率分布
电子的概率分布
电子的角分布概率由 决定。 ),( ??lmY
与 无关，表示角向概率密度对于 轴
具有旋转对称性
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由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小?
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电子的概率分布
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电子的概率分布
