§ 18-8 势阱中的粒子 势垒 谐振子
1.一维无限深势阱
若质量为 m的粒子，在保守力场的作用下，被限
制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型 —— 无限深势阱。
一维无限深势阱：
?
?
?
?
?
0
)( xU ax ??0
axx ??,0 a
? ?
x
o
保守力与势能之间的关系：
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的
力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概
率为 0。
势阱内的一维定态 薛定谔方程为：
x
xUF
d
d )(??
i
i E
xm ?
? ??
2
2
d
d
2
2?
2
2 2
?
mEk ?
解为,)s i n ()( ?? ?? kxCxi
一维无限深势阱
由边界条件得：
据归一化条件，得
得波函数表达式：
0s i n)(
0s i n)0(
??
??
kaCa
C
i
i
?
??
?3,2,1,
0
??
?
nnka ?
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1ds i nd),(
2
0
2
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a
xnCxtx aa ?
aC
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Eti
i xea
n
a
tx ?
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?? ?s i n2),(
一维无限深势阱
(1)粒子能量不能取连续值
????? 3,2,1,2 22
22
nnmaE n ??得
能量取分立值（能级），能量量子化
是粒子处于束缚态的所具有的性质。
a
nKmEK n ??,2
2
2
?＝
由
讨 论：
一维无限深势阱
（ 2）粒子的最小能量不等于零
最小能量 2
22
1 2 ma
nE ??
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
一维无限深势阱
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
不受外力的粒子在 0到 a 范围内
出现概率处处相等。
量子论观点, )(s in2)( 22 x
a
n
axΨ
??
0 a =1
=2
=3
=4n
n
n
n
)(xΨ
0 a
2)( xΨ
当 很大
时,量子
概率分布
就接近经
典分布
n
经典观点：
一维无限深势阱
（ 4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
如果势阱不是
无限深，粒子的能
量又低于势璧，粒
子在阱外不远处出
现的概率不为零。
2)(xΨ
0 a
经典理论无
法解释，实验得
到证实。
一维无限深势阱
得到两相邻能级的能量差
2
2
81 )12( ma
hnn nEEE ????? ?
例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别
为 1.0× 10-2m和 10-10m 。试讨论这两中情况下
相邻能级的能量差。
解,根据势阱中的能量公式
当 a=1cm时
2
8
2
2 2
2
2
22 nnE
ma
h
ma ??
? ?
eVn
Jn
nE
mkg
sJ
215
234
2
)10(1011.98
)63.6(
1037.3
1004.6
2231
234
???
???
?
?
?
???
??
??
?
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而
且与粒子的质量 m和势阱的宽度 a有关。
一维无限深势阱
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我
们可以把电子的能级看作是连续的。
eVnE 27.37 ??
当 a=10-10m时
eVnE 7.37)12( ????
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，
这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
一维无限深势阱
n
n
n
E
E
ma
h
ma
h
n
n 2
2
28
22
28
2
???
n
nEE???n
可见能级的相对间隔 随着 n的增加成反比地
减小。当 时, 较之 要小的多。这时，
能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的
，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可
以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。
nE?
nE
??n
当 n>>1 时,能级的相对间隔近似为
一维无限深势阱
例题 18-16 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大
值的位置。
解,一维无限深势阱中粒子的概率密度为
?,3,2,1s i n)( 222 ??? ? nxn anan
将上式对 x求导一次，并令它等于零
0c o ss i n2
2
4
0
)( ??
?
xx anan
a
m
x
dx
xd n ????
因为在阱内，即 0s i n,0 ??? xax
an ?
只有 0c o s ?x
an ?
一维无限深势阱
于是 1,,2,1,0)12(
2 ???? nNNxan ???
由此解得最大值得位置为
naNx 2)12( ??
例如
最大值位置
0,1 ?? Nn ax 21?
,1,0,2 ?? Nn 最大值位置 aax 4341,?
,2,1,0,3 ?? Nn 最大值位置,,,6
56361 aaax ?
可见，概率密度最大值的数目和量子数 n相等。
一维无限深势阱
nax ??
这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布
成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
相邻两个最大值之间的距离
如果阱宽 a不变，当
0?x
??n 时
一维无限深势阱
2.一维势垒 隧道效应
一维方势阱如图
o a x
0U
U
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E?
?
??
0
)( 0
U
xU
axx
ax
??
??
,
0
粒子沿 方向运动,当
粒子可以通过势垒。
x 0?E
0?E当,实验证明粒子也能通过势垒,这只有
由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 321,,???
在各区域薛定谔方程分别为
32
3
22
2202
2
22
12
1
22
d
d
2
d
d
2
d
d
2
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E
xm
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令 为实数,0UE ? 2k
一维势垒
0
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k
x
k
x
k
x
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解为,xikxik
xkxk
xikxik
eCCex
eBBex
eAAex
11
22
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)(
)(
)(
3
2
1
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???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
一维势垒
三个区域中波函数的
情况如图所示：
隧道效应
在粒子总能量低于势
垒壁高的情况下,粒子有
一定的概率穿透势垒, 此
现象称为 隧道效应。
贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与
入射波的强度之比：
ax?
)(2
2
2
3 02)( EUmae
A
aT ????
?
?
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
一维势垒
扫描隧道显微镜 (STM)
原理：
利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层
电子云，电子云的密度随着
与表面距离的增大呈指数形
式衰减，将原子线度的极细
的金属探针靠近样品，并在
它们之间加上微小的电压，
其间就存在隧道电流，隧道
电流对针尖与表面的距离及
其敏感，如果控制隧道电流
保持恒定，针尖的在垂直于
样品方向的变化，就反映出
样品表面情况。
48个 Fe原子形成
,量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波。
STM的横向分辨率已达,纵向分辨达,
STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子
在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
nm1.0 nm01.0
扫描隧道显微镜
3.谐振子
谐振子的势能为
222
2
1
2
1 xmkxU ???
薛定谔方程为 0)2
1(2
d
d 22
22
2
??? ??? xmEmx ?
其能量本征值为
?? 3,2,1,0,)21( ??? nnE n ?
基态能 (零点能 ) ??2
1
0 ?E 能级间隔 ??
o x
U
0?n
2?n
1?n
3?n
??21
??23
??25
??27
一维谐振子的能级
谐振子
o x
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1?n
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??21
??23
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??27
一维谐振子的能级
谐振子
1.一维无限深势阱
若质量为 m的粒子，在保守力场的作用下，被限
制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型 —— 无限深势阱。
一维无限深势阱：
?
?
?
?
?
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)( xU ax ??0
axx ??,0 a
? ?
x
o
保守力与势能之间的关系：
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的
力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概
率为 0。
势阱内的一维定态 薛定谔方程为：
x
xUF
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2
2
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一维无限深势阱
由边界条件得：
据归一化条件，得
得波函数表达式：
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一维无限深势阱
(1)粒子能量不能取连续值
????? 3,2,1,2 22
22
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能量取分立值（能级），能量量子化
是粒子处于束缚态的所具有的性质。
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2
2
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由
讨 论：
一维无限深势阱
（ 2）粒子的最小能量不等于零
最小能量 2
22
1 2 ma
nE ??
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
一维无限深势阱
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
不受外力的粒子在 0到 a 范围内
出现概率处处相等。
量子论观点, )(s in2)( 22 x
a
n
axΨ
??
0 a =1
=2
=3
=4n
n
n
n
)(xΨ
0 a
2)( xΨ
当 很大
时,量子
概率分布
就接近经
典分布
n
经典观点：
一维无限深势阱
（ 4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
如果势阱不是
无限深，粒子的能
量又低于势璧，粒
子在阱外不远处出
现的概率不为零。
2)(xΨ
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经典理论无
法解释，实验得
到证实。
一维无限深势阱
得到两相邻能级的能量差
2
2
81 )12( ma
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例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别
为 1.0× 10-2m和 10-10m 。试讨论这两中情况下
相邻能级的能量差。
解,根据势阱中的能量公式
当 a=1cm时
2
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可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而
且与粒子的质量 m和势阱的宽度 a有关。
一维无限深势阱
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我
们可以把电子的能级看作是连续的。
eVnE 27.37 ??
当 a=10-10m时
eVnE 7.37)12( ????
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，
这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
一维无限深势阱
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n
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以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。
nE?
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当 n>>1 时,能级的相对间隔近似为
一维无限深势阱
例题 18-16 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大
值的位置。
解,一维无限深势阱中粒子的概率密度为
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将上式对 x求导一次，并令它等于零
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2
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因为在阱内，即 0s i n,0 ??? xax
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只有 0c o s ?x
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一维无限深势阱
于是 1,,2,1,0)12(
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由此解得最大值得位置为
naNx 2)12( ??
例如
最大值位置
0,1 ?? Nn ax 21?
,1,0,2 ?? Nn 最大值位置 aax 4341,?
,2,1,0,3 ?? Nn 最大值位置,,,6
56361 aaax ?
可见，概率密度最大值的数目和量子数 n相等。
一维无限深势阱
nax ??
这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布
成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
相邻两个最大值之间的距离
如果阱宽 a不变，当
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一维无限深势阱
2.一维势垒 隧道效应
一维方势阱如图
o a x
0U
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Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E?
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)( 0
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0
粒子沿 方向运动,当
粒子可以通过势垒。
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0?E当,实验证明粒子也能通过势垒,这只有
由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 321,,???
在各区域薛定谔方程分别为
32
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12
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一维势垒
0
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一维势垒
三个区域中波函数的
情况如图所示：
隧道效应
在粒子总能量低于势
垒壁高的情况下,粒子有
一定的概率穿透势垒, 此
现象称为 隧道效应。
贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与
入射波的强度之比：
ax?
)(2
2
2
3 02)( EUmae
A
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?
?
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
一维势垒
扫描隧道显微镜 (STM)
原理：
利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层
电子云，电子云的密度随着
与表面距离的增大呈指数形
式衰减，将原子线度的极细
的金属探针靠近样品，并在
它们之间加上微小的电压，
其间就存在隧道电流，隧道
电流对针尖与表面的距离及
其敏感，如果控制隧道电流
保持恒定，针尖的在垂直于
样品方向的变化，就反映出
样品表面情况。
48个 Fe原子形成
,量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波。
STM的横向分辨率已达,纵向分辨达,
STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子
在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
nm1.0 nm01.0
扫描隧道显微镜
3.谐振子
谐振子的势能为
222
2
1
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1 xmkxU ???
薛定谔方程为 0)2
1(2
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22
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其能量本征值为
?? 3,2,1,0,)21( ??? nnE n ?
基态能 (零点能 ) ??2
1
0 ?E 能级间隔 ??
o x
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0?n
2?n
1?n
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一维谐振子的能级
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