西南交通大学：卫星定位技术与方法（中英文）：200510301201[24311]

1 卫星定位技术与方法 第十讲 袁林果 Email: lgyuan@home.swjtu.edu.cn 西南交通大学土木工程学院测量工程系 卫星定位技术与方法2005-4-29 2 讲授内容 ?静态相对定位的单基线平差模型 ?观测方程的线性化及平差模型 ?观测量的线性组合的相关性 ?整周未知数确定方法 ?交换接收机天线法 ? P码双频技术 ?整周未知数搜索法 ? LAMBDA方法 ?周跳 2 卫星定位技术与方法2005-4-29 3 静态相对定位的平差模型 一．单基线平差模型 ?模型简单、易于编程实现 ?基线之间相关性被忽略 ?不易发现粗差 一．多基线（网络）平差模型 ?理论严密 ?基线之间相关性被考虑 ?模型复杂 卫星定位技术与方法2005-4-29 4 假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线 上进行了同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平 差原理，讨论载波相位观测量不同线性组合的平差模 型。这些模型易于推广到多台接收机观测情况。 1.观测方程线性化及平差模型 在协议地球坐标系中，若观测站T i 待定坐标的近似 向量为X i0 =[X i0 Y i0 Z i0 ] T ,其改正数向量为δX i =[δX i δY i δZ i ] T ，则观测站T i 至所测卫星s j 的距离按泰勒级数展开并 取其一次微小项， §7.4静态相对定位的单基线平差模型 3 卫星定位技术与方法2005-4-29 5 可得 上式中X j (t), Y j (t), Z j (t)为卫星s j 于历元t的瞬时坐标。 下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始 点坐标已知的情况下。 [][][]{} 21 2 0 2 0 2 00 0 )()()( )()()()( i j i j i jj i i i i j i j i j i j i j i ZtZYtYXtX Z Y X tntmtlt ?+?+?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ρ δ δ δ ρρ 卫星定位技术与方法2005-4-29 6 任取两观测站T 1 和T 2 ，并以T 1 为已知起始点，根据载波相位单差 模型 可得单差观测方程线性化形式 取符号 [] jjjj Nttftt c f t ???+?=? )()()()( 12 ρρ? [] jjj jjjj Nttftt Z Y X tntmtlt ???+?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=? )()()( 1 )()()( 1 )( 120 2 2 2 222 ρρ λ δ δ δ λ ? [])()( 1 )()( 120 ttttl jjjj ρρ λ ? ???=? （1）单差模型 4 卫星定位技术与方法2005-4-29 7 相应的误差方程为 若两观测站同步观测卫星数为n j ,则误差方程组为： 或 )()()()()( 1 )( 2 2 2 222 tlNttf Z Y X tntmtltv jjjjjj ?+?+?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? δ δ δ λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )( ... )( )( ... )( 1 ... 1 1 )()()( ......... )()()( )()()( 1 )( ... )( )( 2 1 2 1 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 tl tl tl N N N ttf Z Y X tntmtl tntmtl tntmtl tv tv tv jjjjjj nnnnnn δ δ δ λ )()()()()()( 2 tttttt ltcNbXav +?+?+= δ 卫星定位技术与方法2005-4-29 8 若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为n t ，则相应 的误差方程组为 相应的法方程式及其解 其中 P为单差观测量的权矩阵。 UNY UYN 1 0 ? ?=? =+? PLCBAU CBAPCBAN tNXY T T T )( )()( 2 = = ? ? ? ? ? ? ??=? δ )()()()(2)()( tttttt ltCNBXAV +?+?+= δ 5 卫星定位技术与方法2005-4-29 9 两观测站，同步观测卫星s j 和s k ，并以s j 为参考卫星，则 双差观测方程 线性化的形式为 [] kjkjk jkk Ntttt f c ttt ???+??= ???=?? )()()()( )()()( 1122 ρρρρ ??? [] kjkjk kkkk Ntttt Z Y X tntmtlt ???+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=?? )()()()( 1 )()()( 1 )( 112020 2 2 2 222 ρρρρ λ δ δ δ λ ? （2）双差模型 卫星定位技术与方法2005-4-29 10 上式中 若取符号 则得误差方程式： 若同步观测卫星数为n j ,则有误差方程组 jkk jk jk jk k k k NNN tntn tmtm tltl tn tm tl ???=?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )()( )()( )()( )( )( )( 22 22 22 2 2 2 [])()()()( 1 )()( 120120 ttttttl jjkkkk ρρρρ λ ? +?????=?? )()()()( 1 )( 2 2 2 222 tlN Z Y X tntmtltv kkkkkk ??+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= δ δ δ λ )()()()( 2 tttt lNbXav ??+??+= δ 6 卫星定位技术与方法2005-4-29 11 若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为n t ， 则相应的误差方程组为 [] [])(...)()( )(...)()( )(...)()( )(...)()( )( 21 21 21 21 2 nt nt nt nt ttt ttt ttt ttt vvvV lllL bbbB aaaA L N X BAV = ??????= = = + ? ? ? ? ? ? ?? = δ 卫星定位技术与方法2005-4-29 12 相应的法方程式及其解可表示为 其中 P为双差观测的权矩阵。 UNY UYN 1 0 ? ?=? =+? PLBAU BAPBAN NXY T T T ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ??=? 2 δ 7 卫星定位技术与方法2005-4-29 13 假设于基线两端，同步观测GPS卫星的历元为t 1 、t 2 ，则 三差方程线性化形式为 上式中 [] [])()()()( 1 1 )( 120120 2 2 2 222 tttt Z Y X nmlt jjkk kkkk δρδρδρδρ λ δ δ δ δδδ λ ?δ +??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=?? )()()( 12 ttt kkk ???δ ?????=?? （3）三差模型 卫星定位技术与方法2005-4-29 14 其中 若取 则得误差方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )()( )()( )()( )()( )( )( )( )( )()( )()( )()( )( )( )( 1121 120220 1121 120220 1 20 1 20 1222 1222 1222 2 2 2 tt tt tt tt t t t t tntn tmtm tltl tn tm tl jj jj kk kk j j k k kk kk kk k k k ρρ ρρ ρρ ρρ δρ δρ δρ δρ δ δ δ [])()()()( 1 )()( 120120 ttttttl jjkkkk δρδρδρδρ λ ?δδ +?????=?? [])()()()( 1 )( 2 2 2 222 tl Z Y X tntmtltv kkkkk ??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= δ δ δ δ δδδ λ 8 卫星定位技术与方法2005-4-29 15 当同步观测卫星数为n j ，并以某一卫星为参考卫星 时，可得误差方程组为 [] [])(...)()()( )()()( ......... )()()( )()()( 1 )( )(...)()()( )()()( 1 111 1 21 222 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 21 2 tltltlt tntmtl tntmtl tntmtl t tvtvtvt ttt j jjj j n nnn n ? ??? ? ??????= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = += δδδ δδδ δδδ δδδ λ δ l a v lXav 卫星定位技术与方法2005-4-29 16 如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为n t ，并以 某一历元为参考历元，则误差方程组为： 相应法方程组及其解为： 其中P为相应三差观测量的权矩阵。 [] [] )(...)()( )(...)()( )(...)()( 121 2222 121 121 2 ? ? ? = = = = += nt T T nt T nt ttt ZYX ttt ttt lllL X aaaA vvvV LXAV δδδδ δ ( ) ( ) ()()PLAPAAX PLAXPAA TT TT 1 2 2 0 ? ?= =+ δ δ 9 卫星定位技术与方法2005-4-29 17 ?一般，两个观测量之间的相关性分为物理相关和数 学相关。 ?例如：两个观测站同步观测同一卫星，所得观测量 在物理上是相关的，而在数学上是不相关的，因此 认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之 间的相关性一般均指其间的数学相关性，同时假设 独立观测量的误差属于正态分布，数学期望为零， 方差为σ 2 。 2.观测量线性组合的相关性 卫星定位技术与方法2005-4-29 18 由两观测站于历元t同步观测卫星s j 的观测量之差为 若同一历元同步观测另一卫星，则有 上两式可表示为 以矩阵形式表示 )()( 12 tt jjj ??? ?=? )()( 12 tt kkk ??? ?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? )( )( )( )( 1100 0011 )( )( 2 1 2 1 t t t t t t j j k k j k ? ? ? ? ? ? )()()( ttt ?? r=? （1）单差观测量的相关性 10 卫星定位技术与方法2005-4-29 19 如果?(t)的方差阵为D ? (t)，根据方差与协方差传播定律， 可得观测量单差的方差阵 考虑 E(t)为单位矩阵。则 表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差，其间仍 不相关。该结论可推广到一般情况。 )()()()( tttt T rDrD ?? = ? )()( 2 tt ED σ ? = )(2)( )( 10 01 2)()( )()()( 2 2 tt ttt ttt T T ED Err rrD σ σ ? ? = ? ? ? ? ? ? = = ? ? 而 卫星定位技术与方法2005-4-29 20 如果在基线两端同步观测n j 颗卫星，观测历元数为n t ，则由此组 成单差的方差和协方差阵形式为： 其中， 相应的权矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )(...00 ............ 0...)(0 0...0)( 2 1 nt t t t E E E E ED 2 2)( σ ? = ? × t ntnntn jj EDP 2 1 2 1 σ ?? == ? ?? 11 卫星定位技术与方法2005-4-29 21 假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k，并取i为 参考卫星，则有 用矩阵表示为 )()()( )()()( ttt ttt ikk ijj ??? ??? ???=?? ???=?? [] T kji k j tttt t t t t ttt )()()()( 101 011 )( )( )( )( )()()( ???? ? ? ? ?? ???=? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?? ?? =?? ?=?? r r 其中 （2）双差观测量的相关性 卫星定位技术与方法2005-4-29 22 观测量双差的方差与协方差阵为 表明：不同卫星同步观测量所组成的双差，其间是相关 的。相应的权矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? 21 12 3 1 2 1 )( 2 σ ? tP ? ? ? ? ? ? = = = ?? ?? ??? 21 12 2)( )()(2)( )()()()( 2 2 σ σ ? ? ?? t ttt tttt T T D rrD rDrD 12 卫星定位技术与方法2005-4-29 23 当两个观测站同步观测的卫星数为n j ，则权矩阵的形式为 此时，权矩阵的维数仅取决于同步观测的卫星数。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? = ?? ?? 1...11 ............ 1...11 1...11 1 2 1 2 )1)(1( )( j j j j nn n n n n t jj σ ? P 卫星定位技术与方法2005-4-29 24 如果同步观测的历元数为n t ，则相应双差的权矩阵为 一般，不同历元同步观测的卫星数可能不同，因而 上式中相应每一观测历元的双差权阵维数，只与相应历 元观测的卫星数有关。 关于三差观测量相关性的推导与双差类似。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? ?? ?? ?? ?×? )(...00 0......... 0...)(0 0...0)( 2 1 )1()1( nt nnnn t t t t j t j ? ? ? ? P P P P 13 卫星定位技术与方法2005-4-29 25 在观测站1和卫星j之间，载波相位的变化为 当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观 测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数 不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结 果。 因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者 快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时 间。 )()()()( 00 tNttNtt j i j i j i j i +?+=Φ δ? §7.5整周未知数的确定方法 卫星定位技术与方法2005-4-29 26 ?如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数 一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将 需要长达1-3小时的观测时间。因为在同步观测4 颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上 至少观测3个历元。如果同步观测时间很短，所 测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化 也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在 平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的 可靠性。 ?准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对 定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领 域，都有重要意义。 14 卫星定位技术与方法2005-4-29 27 The one at left shows the results without resolving the ambiguities, the so-called 'float solution'. The spread in position amounts up to ten meters, In the plot at right, the integer ambiguities have been successfully resolved ('fixed solution'). The precision of the position is now at the millimeter level. 卫星定位技术与方法2005-4-29 28 ? 100 experiments ? 2.2 km baseline ? dual frequency phase data ? 3D coordinate system: local North, East, Up ? 7 satellites ? 2 epochs of data with 5 seconds in between 15 卫星定位技术与方法2005-4-29 29 ?按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算 法。 ?经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中 求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。 ?快速解算法包括：交换天线法、P码双频技术、滤波 法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般 为数分钟。 ?按接收机状态区分；静态法和动态法。前述的快速算 法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收 机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。 整周未知数解算方法分类： 卫星定位技术与方法2005-4-29 30 该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，其数 学模型有单差和双差模型。也可采用三差模型，首先消除整 周未知数，在观测站坐标确定后，再根据单差和双差模型， 求解相应的整周未知数。 在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况： 1.整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知数取为相近 的整数，并作为已知数代入原方程，重新解算其它待定参 数。当观测误差和外界误差（或残差）对观测值影响较小 时，该方法较有效，一般应用于基线较短的相对定位中。 2.非整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，求 解的整周未知数精度较低(误差影响大于半个波长)，将其凑成 正数，无助于提高解的精度。此时，不考虑整周未知数的整 数性质，平差计算所得的整周未知数，不再进行凑整和重新 计算。一般用于基线较长相对定位中。 1.确定整周未知数的经典静态相对定位法 16 卫星定位技术与方法2005-4-29 31 基本原理 在观测之前，先在基准站附近5-10m处选 择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安 置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互 交换天线，并继续观测若干历元；最后将两天 线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点 之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线 交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而 确定整周未知数。 2.交换接收天线法 卫星定位技术与方法2005-4-29 32 假设在固定站1和天线交换点2的接收机，于历元t 1 同步观测了卫星j、k，在忽略大气折射影响的情况下， 可得单差观测方程： 相应的双差观测方程为 上式中 [] [] )()()( 1 )( )()()( 1 )( 111121 111121 ttfNttt ttfNttt kkkk jjjj ?+???=? ?+???=? ρρ λ ? ρρ λ ? [] jkjjkk NNttttt ?+??+??=?? )()()()( 1 )( 111211121 ρρρρ λ ? )()( )()( 0102 0102 tNtNN tNtNN kkk jjj ?=? ?=? 17 卫星定位技术与方法2005-4-29 33 当两接收机交换天线后，于历元t 2 同步观测相同卫星j、 k，则单差观测方程为： 相应的双差观测方程为 [] [] )()()( 1 )( )()()( 1 )( 221222 221222 ttfNttt ttfNttt kkkk jjjj ?+?+?=? ?+?+?=? ρρ λ ? ρρ λ ? [] jkjjkk NNttttt ???++??=?? )()()()( 1 )( 212221222 ρρρρ λ ? 2 1 S j (t 1 )S k (t 1 ) 1 S j (t 2 )S k (t 2 ) 2 T 1 T 2 T 1 T 2 卫星定位技术与方法2005-4-29 34 取相应历元t 1 、t 2 的双差之和，则有 其中 上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是 根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所 选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对 该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相 同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确 定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较 高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。 [])()()()( 1 1122 tttt jkjk ρρρρ λ ? ???+???=?? ∑ )()()( )()()( )()()( )()()( 11121 11121 21222 21222 ttt ttt ttt ttt jjj kkk jjj kkk ρρρ ρρρ ρρρ ρρρ ?=? ?=? ?=? ?=? 18 卫星定位技术与方法2005-4-29 35 ?所谓P码双频技术也称扩波技术是指通过P 码与载波相位观测量的综合处理，来确定整 周未知数的方法。 （1）双频载波相位观测量的线性组合 假设相应载波L 1 、L 2 的相位观测量分别为 Φ L1 (t)和Φ L2 (t)，经过电离层折射改正后，可 得载波信号的传播时间： 21 )()( )( 21 f t f t tT LL Φ = Φ =? 2.确定整周未知数的P码双频技术 卫星定位技术与方法2005-4-29 36 若取上述载波相位观测量的线性组合 其中m、n为任意整数值，则有 其中相应组合波的频率和波长分别为 若以符号N L1 、N L2 分别表示载波L 1 、L 2 相位的整周未知 数，则组合波的相位整周未知数为 )()()( 21 tmtnt LLmn Φ?+Φ?=Φ ? mn mn f t tT ? ? Φ =? )( )( mn mn mn f c fmfnf ? ? ? = ?+?= λ 21 21 LLmn NmNnN ?+?= ? 19 卫星定位技术与方法2005-4-29 37 当载波L 1 、L 2 相位观测量误差为σ ? 时，则组合量的误差为 由于电离层影响与频率有关，由此引起的电磁波信号延 迟或时间延迟不同。假设电离层对载波L 1 、L 2 相位观测 量的影响分别为δΦ IL1 、δΦ IL2 ,则对组合波的影响可表示 为 电离层对载波影响的一般形式（已知）为 ?? σσ 2122 )( mn mn += ? 21 ILILmIn mn Φ?+Φ?=Φ ? δδδ f N f C I I ∑ ? × ?=?=Φ 7 103436.1 δ 卫星定位技术与方法2005-4-29 38 于是，电离层引起的组合波相位延迟和时间延迟分别为 可见，系数m、n的不同取值，可得到具有不同波长 的组合波。但对实际，只有以下两种取值情况具有重要意 义。 [] ? ? ? ? ? ? ?+? ?+? × ?= ?+? × ?=Φ ? ? 21 12 21 12 21 fmfn fmfn ff C t fmfn ff C I mIn I mIn δ δ 20 卫星定位技术与方法2005-4-29 39 ? n=1, m=-1：相应的组合波称为宽波，若以下标w表示，其 特征量为 电离层引起的相位延迟和时间延迟分别为 21 21 21 )()()( LLw w w w LLw NNN f c fff ttt ?= = ?= Φ?Φ=Φ λ 21 21 ff C t f ff C I Iw w I Iw × += × +=Φ δ δ 卫星定位技术与方法2005-4-29 40 ? n=1, m=1：相应的组合波为窄波，其相应的特征量，若 以下标n表示，有 电离层折射引起的相位延迟和时间延迟为 21 21 21 )()()( LLn n n n LLn NNN f c fff ttt += = += Φ+Φ=Φ λ 21 21 ff C t f ff C I In n I In × ?= × ?=Φ δ δ 21 卫星定位技术与方法2005-4-29 41 -C I /(f 1 ×f 2 )0.107m274×f 0 L N +C I /(f 1 ×f 2 )0.862m34×f 0 L W -C I /f 2 0.244m120×f 0 L 2 -C I /f 1 0.190m154×f 0 L 1 时间延迟主项波长频率电磁波 对GPS而言，组合波的特征量如下表 F 0 为基准频率10.23 ×10 6 Hz, C I = 1.3436 ×10 -7 N Σ ，N Σ 为 电磁波传播路径上的电子总量 卫星定位技术与方法2005-4-29 42 ?由于电离层的弥散性质，对码信号与载波信号的传播影 响不同，直接利用码信号的原始观测量与载波信号观测 量相比较，不利于准确解算整周未知数。为此与载波相 位观测量相类似，需讨论P码相位观测量的线性组合。 ?假设相应载波L 1 、L 2 的P码相位观测量分别为Φ PL1 (t)和 Φ PL2 (t)，f P 为P码信号频率。同时定义虚拟P码相位观测 量如下 )()( )()( 2 2 2 1 1 1 t f f t t f f t PL P L PL P L Φ=Φ Φ=Φ （2）P码相位观测量的线性组合 22 卫星定位技术与方法2005-4-29 43 类似可取线性组合的一般形式为 电离层对该虚拟码相位组合量的影响（相位延迟和时间延 迟）为： 若定义 )()()( 21 tmtnt LLnm Φ?+Φ?=Φ ? ? ? ? ? ? ?+? ?+? × = ?+? × =Φ 21 12 21 12 21 ][)( fmfn fmfn ff C t fmfn ff C t I Inm I Inm δ δ )1,1()()()( )1,1()()()( 21 21 ==Φ+Φ=Φ ?==Φ?Φ=Φ mnttt mnttt LLn LLw 卫星定位技术与方法2005-4-29 44 相应电离层折射影响分别为： 码信号观测量的不同组合，电离层引起的时间延迟数值 相等符号相反。 21 21 ff C t f ff C I Iw w I Iw × ?= × ?=Φ δ δ 21 21 ff C t f ff C I In n I In × += × +=Φ δ δ 23 卫星定位技术与方法2005-4-29 45 利用载波相位和P码相位观测量的线性组合量，解算 整周未知数的综合方法。 载波L 1 、L 2 的观测方程为 可得 )()]()([)()( 21 tT c f f ff C Nttttft c f t j i w w Ij iw j iw j i wj iw ?+ × +??+= δδρ? )()]()([)()( 21 tT c f f ff C Nttttft c f t j i n n Ij in j in j i nj in ?+ × ???+= δδρ? )]()([)()]()([)()( 1 1 011 1 1 tTtI c f tNttttft c f t j i L p j i j iL j i j i j iL ?+?+??+= δδρ? )]()([)()]()([)()( 2 2 022 2 2 tTtI c f tNttttft c f t j i L p j i j iL j i j i j iL ?+?+??+= δδρ? （3）整周未知数的确定 卫星定位技术与方法2005-4-29 46 或表示为 根据测码伪距观测方程，相应L 1 和L 2 可得 由于 可得 )()]()([)()( )()]()([)()( 21 21 tT ff C cNttttctt tT ff C cNttttctt j i Ij inn j i j i j inn j i Ij iww j i j i j iww ?+ × ???+= ?+ × +??+= λδδρ?λ λδδρ?λ [] )()()()()()( ~ )()()()()()( ~ 22 11 tTtIttttctt tTtIttttctt j igL j i j i j i j iL j igL j i j i j i j iL ?+?+?+= ?+?+?+= δδρρ δδρρ )()( ~ tt pp j i Φ= λρ [][] [][])()()()()()( )()()()()()( 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 tTtI c f ttttft c f t tTtI c f ttttft c f t j igL j i j i j i j iL j igL j i j i j i j iL ?+?+?+=Φ ?+?+?+=Φ δδρ δδρ 24 卫星定位技术与方法2005-4-29 47 由此得虚拟码相位观测量的线性组合形式 或 将上式与虚拟载波相位观测量的线性组合比较可得 [] [] )()()()()( )()()()()( 21 21 tT c f f ff C ttttft c f t tT c f f ff C ttttft c f t j i n n Ij in j i nj in j i w w Ij iw j i wj iw ?+ × +?+=Φ ?+ × ??+=Φ δδρ δδρ [] [] )()()()()( )()()()()( 21 21 tT ff C cttttctt tT ff C cttttctt j i Ij i j i j inn j i Ij i j i j iww ?+ × +?+=Φ ?+ × ??+=Φ δδρλ δδρλ j iww j inn j iww Ntt λλ?λ ?=Φ? )()( 卫星定位技术与方法2005-4-29 48 于是 对GPS卫星，则有 ?当宽波的整周未知数确定后，即可利用相关观测量方程，求解 其它待定参数。 ?在具有P码双频接收机的条件下，只要观测一个历元便可解算宽 波的整周未知数。增加观测历元，只是增加多余观测量。该方 法对缩短相对定位的观测时间，加快作业速度和开拓在动态相 对定位中的作用有重要意义。 )]()([ ttN j in w nj iw j iw Φ??= λ λ ? )]( 137 17 )([ ttN j in j iw j iw Φ??= ? 25 卫星定位技术与方法2005-4-29 49 ?由于P码的保密性，使得P码双频技术的应用受到 了限制。同时由于多路径效应的大小与波长成正 比，实际分析表明：多路径效应对测相伪距的影 响约为数厘米，而对P码伪距的影响达数米。对于 静态GPS用户，慎重确定观测站位置、选择适宜天 线、并适当延长观测时间，可减弱多路径效应的 影响。 卫星定位技术与方法2005-4-29 50 1990年E. Frei和G. Beutler提出了一种快速解算整周 未知数的方法（fast ambiguity resolution approach—— FARA）。 基本思想：以数理统计理论的参数估计和假设检验 为基础，利用初始平差的解向量（点的坐标和整周未知 数的实数解）及其精度信息（方差与协方差和单位权中 误差），确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解 的组合，然后将整周未知数的每一组合作为已知值，重 复进行平差计算，其中使估值的验后方差（或方差和） 为最小的一组整周未知数就是所搜索的整周未知数的最 佳估值。 3.确定整周未知数的搜索法 26 卫星定位技术与方法2005-4-29 51 现以载波相位观测值双差模型为例： 假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为n j ）进行同步 观测，观测历元数为n t ，相应的误差方程组已知为 其中 经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数阵为 Q NN , 单位权验后方差估算式： 其中n为观测方程数，u为未知量个数，n-u为自由度。 L N X BAV + ? ? ? ? ? ? = 2 )( δ [] 1 21 2222 ... ? = = j n T NNN ZYX N X δδδδ )( 2 0 un m T ? = PVV 卫星定位技术与方法2005-4-29 52 则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为 在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信区 间为 i=1,2, …,n j -1 其中t(α/2)为显著水平α和自由度的函数。当α和自 由度确定后，t(α/2)值可由t值分布表中查得。 例如：当取α=0.001，n-u=40时，得t(α/2)=3.55。如 果初始平差后得N i =9.05, m Ni =0.78, 则N i 的置信区间为 6.28≤ N i ≤ 11.8。其置信水平为99.9%，在上述区间整数 N i 的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。 iiN NNmm i 0 = )2/()2/( αα tmNNtmN ii NiiNi +≤≤? 27 卫星定位技术与方法2005-4-29 53 设C i 为N i 的可能取值数，由向量N=(N 1 , N 2 , …, N nj-1 ), 可得 整数组合的总数 ?如果观测的卫星数为n j =6, 而每个整周未知数在其置信区间 内均有7个可能的整数取值，按上式可能的组合数为7 5 = 16807，对双频接收机则为33614。 ?将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，代 入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取坐标值的 验后方差为最小的一组平差结果，作为整周未知数的最后 取值。 1 21 1 1 ... ? ? = ?== Π j j n i n i CCCCC 卫星定位技术与方法2005-4-29 54 ?在双差平差模型中，整周未知数的可能取值数 量，在置信水平确定的情况下主要取决于初始平 差后所得的整周未知数方差的大小以及所观测的 卫星数量。 ?当同步观测时间较短，经初始平差后，所得整周 未知数的方差较大，计算工作量将会很大。为了 减少整周未知数可能的整数取值，即在置信水平 确定的条件下，缩小其置信区间，以提高搜索整 周未知数最佳估值的速度，一般有如下两种方 法： 28 卫星定位技术与方法2005-4-29 55 1.利用初始平差所获得的整周未知数的实数解及其方 差，对所取的整周未知数的整数解进行检验，剔除那 些不能通过检验的整周未知数的组合，缩小搜索整周 未知数最佳估值的范围。 仍以载波相位观测的双差模型为例。假设经初始 平差后所得的整周未知数的实数解向量为 在置信水平（1- α）条件下，每一个N i 的整数取值为 () T n j NNN 1 21 ,..., ? =N C IIII NNNN ,...., 21 = 卫星定位技术与方法2005-4-29 56 取符号 则在置信水平为（1- α）的情况下，整周未知数整数解 之差应满足 凡不能满足上述条件的整周未知数的组合，均剔除，有 效地缩小搜索范围。 中的相应元素为协因数阵 差的验后均方差为整周未知数实数解之 之差为整周未知数的整数解 之差为整周未知数的实数解 NNN NN III ikik ik ikik ikik q qmm NNN NNN Q 21 0 )(= ?= ?= )2/()2/( αα tmNNtmN ikikik NikINik +≤≤? 29 卫星定位技术与方法2005-4-29 57 1.利用对双频观测数据的检验，缩小搜索整周未知数最 佳估值范围。 假设N L1 、N L2 为相应载波L 1 、L 2 的整周未知数的实数 解向量，N IL1 、N IL2 为相应载波L 1 、L 2 的整周未知数的 整数向量，并取 在置信水平（1- α）的情况下，应满足 21 21 1 2 1 2 ILILI LLR NNN NNN λ λ λ λ ?=? ?=? )2/()2/( αα tmtm LRILR +?≤?≤?? NNN 卫星定位技术与方法2005-4-29 58 ?上式中m L 为?N R 的后验均方差。经过上述检验，剔除不 满足条件的整周未知数界的各种可能组合，使搜索范围 进一步缩小。 ?该方法在Leika公司开发的SKI软件系统中得到有效应 用。实践表明，在基线小于15km，根据数分钟的双频 观测结果，即可精确确定整周未知数的最佳估值，相对 定位精度达到厘米级或更好水平。目前在快速静态定位 中得到广泛应用。 30 卫星定位技术与方法2005-4-29 59 前述的各种快速确定整周未知数方法， 共同特点是需要通过对GPS卫星的静态观测 来实现，只是静态观测时间较短，仍属于静 态法。在高精度动态相对定位中，为确定运 动载体的实时位置，要求接收机在预先确定 初始整周未知数或初始化后，必须至少保持 对4颗卫星连续跟踪。而在载体运动过程中， 一旦所测卫星失锁，则必须停下，采用某种 适宜方法，重新确定整周未知数或重新初始 化，严重限制了载波相位法在高精度动态定 位中的应用。 4.确定整周未知数的动态法 卫星定位技术与方法2005-4-29 60 ? 1993年Leica公司开发了一种动态确定整周未知数法 （Ambiguity Resolution On the Fly—AROF）或动态初始 化法。 ?基本思想：根据运动过程中GPS接收机对卫星载波信号 的短时间观测值，与参考站的同步观测值一起，利用快 速解算整周未知数技术（如搜索法），确定初始整周未 知数。在上述初始化所进行的短时间观测过程中，载体 的瞬时位置则是根据随后确定的整周未知数，利用所谓 逆向求解方法来确定。该方法的特点是当载体在运动过 程中所观测的卫星一旦失锁，为重新确定整周未知数， 运动载体不再需要停下来重新进行初始化，而是在载体 运动过程中实现。 31 卫星定位技术与方法2005-4-29 61 动态初始化（AROF）示意图 参考站 0秒200秒 出发 整周未知数 被确定瞬间 正向推算 逆向求解 卫星定位技术与方法2005-4-29 62 假设在高精度动态相对定位中，流动站与参考站 同步观测的卫星数为n j ，观测的历元数为n t ，则双 差的误差方程组为 [] [])(...)()( )(...)()( )(...)()( )(...)()( )( 21 21 21 21 2 nt nt nt nt ttt ttt ttt ttt vvvV lllL bbbB aaaA L N X BAV = ??????= = = + ? ? ? ? ? ? ?? = δ 32 卫星定位技术与方法2005-4-29 63 对某一流动站来说，待求的未知数总数为3n t +(n j -1)，双 差观测方程总数为(n j -1)n t ，为得到确定解，需满足 ?可见，为动态确定整周未知数，所必须观测的历元数与 卫星数有关，同步跟踪的卫星数至少为5，而观测历元 数不少于4。 ?实际中为增加解的可靠性和准确性，观测的历元数明显 大于上述理论值。1994年Leica公司推出的软件系统要 求的观测时段长度约为200秒。 4 1 )1(3)1( ? ? ≥ ?+≥? j j t j tt j n n n nnnn 即 卫星定位技术与方法2005-4-29 64 LAMBDA方法方法 ?英文全称：Least-squares AMBiguity Decorrelation Adjustment method ?双差模糊度之前存在较强的相关性 ? LAMBDA方法目的：消除或降低双差模糊度 之间的相关性 ?结果：模糊度搜索超椭球的拉长，搜索更 快、更有效 33 卫星定位技术与方法2005-4-29 65 LAMBDA：流程：流程 ?浮点解浮点解 ?整数最小二乘估计整数最小二乘估计 ?整周模糊度降相关 ?实际整周模糊度估计（序贯条件平差、模糊度搜 索、确认） ? a 卫星定位技术与方法2005-4-29 66 LAMBDA：解算方法：解算方法 ?整数最小二乘估计整数最小二乘估计 目标函数： 无标准解（不是普通最小二乘问题） 最简单的情况：如果方差矩阵是对角阵，直接凑整 ，也就是所有模糊度是完全不相关的 ( ) ( )min ,  a a a a a with a Z T a m ?? ∈ ? θ 1 34 卫星定位技术与方法2005-4-29 67 LAMBDA：解算方法：解算方法 ?整数最小二乘估计（续）整数最小二乘估计（续） 也就是说，如果进行了降相关处理，问题就变为相 互独立模糊度的搜索问题： 现在，直接凑整！ ( ) min  aaZ aa m i a i m i 1 2 2 1 " ∈ ? = ∑ σ 卫星定位技术与方法2005-4-29 68 ?目标：目标：替代所有拥有较小子集的整数Z m 的空间，基于 前面的目标函数，确定一个超椭球凑整域 ?结果：结果：模糊度搜索空间的中心位于浮点解上；它的形 状依方差矩阵而定，大小取决于选择的正常数 整数解就位于这个超脱球内（其中一整数解将最小化目 标函数） ( ) ( )  aa aa T a ??≤ ? θχ 12 χ θ a LAMBDA：解算方法：解算方法 35 卫星定位技术与方法2005-4-29 69 LAMBDA：解算方法：解算方法 ?搜索空间搜索空间：：考虑二维的情况（两个模糊度） ?相应搜索范围搜索范围为 ( ) ()   /  / aa a a aa11 2 2 21 2 2 22 121 ?+? ≤σσχ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     /   / aa aa a aaa a a a 11 2 22 21 2 2 2 1 2 111 2 22 1 21 1 1 ?≤ ?≤ =? ? σχ σλ χ λσ 卫星定位技术与方法2005-4-29 70 LAMBDA：解算方法：解算方法 ?模糊度变换模糊度变换基于条件最小二乘： 转换后的方差和模糊度为： 转化为可逆变换： a a a a aaa aa a = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?       1 2 2 2 11 12 2 θ σ σ σσ []    /   a a Za a T aa a 1 21 21 12 1 10 1 ? ? ? ? ? ? == ? ? ? ? ? ? ?? σσ []    /   a a Za a T aa a 12 2 2 2 1 01 12 2 ? ? ? ? ? ? == ? ? ? ? ? ? ? ? σσ   zZZa ZZ ZZ TT z TT a == 21 21 11 θ θ ( ) aZZz TT = ? 21 1  36 卫星定位技术与方法2005-4-29 71 LAMBDA：二维图示：二维图示 卫星定位技术与方法2005-4-29 72 LAMBDA：例子：例子 ?输入数据输入数据 ?模糊度向量维数 ?模糊度浮点解 ?相应方差阵（下三角部分） ?输出输出 ?整周模糊度 ?后验单位权中误差 ?转换矩阵 37 卫星定位技术与方法2005-4-29 73 LAMBDA：例子：例子 输入输入: -28490.856 65752.629 38830.366 5003.708 -29196.069 -297.658 -22201.028 51235.837 30257.780 3899.403 -22749.185 -159.278 输出输出: -28451 65749 38814 5025 -29165 -278 -22170 51233 30245 3916 -22725 -144 卫星定位技术与方法2005-4-29 74 38 卫星定位技术与方法2005-4-29 75 LAMBDA方法参考及下载网址 http://enterprise.lr.tudelft.nl/mgp/modules.php?op= modload&name=Lambda&file=index&menu=6 卫星定位技术与方法2005-4-29 76 ?当接收机捕获卫星信号后，只要跟踪不中断（失 锁），接收机便会给出在跟踪期间载波相位整周数 的变化。实际中由于卫星信号被暂时遮挡或外界干 扰因素的影响，经常引起卫星跟踪信号的暂时中 断，导致接收机整周计数中断。 ?当接收机恢复对该卫星的跟踪后，所测相位的小数 部分不受跟踪中断的影响，仍是连续的，但整周计 数由于失去了在失锁期间载波相位变化的整周数， 不再连续，使其后的相位观测值，均含有同样的整 周误差。 §7.6周跳分析的基本思路 39 卫星定位技术与方法2005-4-29 77 时间 初始模糊度 在厉元t 0 发生周跳的情况 t 0 新模糊度 周跳在进行精密定位前必须发现并修复 卫星定位技术与方法2005-4-29 78 在GPS定位中，同一观测时段延续的时间越长， 产生周跳的可能性越大。在观测成果平差计算前，必 须对其中可能存在的周跳现象进行检测和修复。 1. 在不发生周跳的情况下，随着观测站与卫星间距离的 不断变化，载波相位观测值也将随之不断变化，但变 化应是平缓而有规律。一般情况下，对不同历元的相 位观测值，当取4至5次差之后，距离变化对整周数的 影响可忽略，其差值主要是由震荡器的随机误差引 起，具有随机特性。如果在观测过程中产生了周跳现 象，将破坏相位观测量的正常变化，使其高次项的随 机特性受到破坏，利用这一性质，可发现周跳现象。 40 卫星定位技术与方法2005-4-29 79 -0.42192.1976411.957614043.9953565574.8817 T8 -0.27212.6195409.760013632.0377551530.8864 T7 0.96392.8916407.140513222.2777537898.8487 T6 -0.57951.9277404.248912815.1372524676.5710 T5 2.5072402.321212410.8883511861.4338 T4 399.814012008.5671499450.5455 T3 11608.7531487441.9784 T2 475833.2251 T1 4次差3次差2次差1次差Φ i j (t)历元 卫星定位技术与方法2005-4-29 80 99.57812.1976411.957614043.9953565474.8817 T8 300.2721-97.3805409.760013632.0377551430.8864 T7 300.9639202.8916507.140513222.2777537798.8487 T6 100.5795-98.0723304.248912715.1372524576.5710 T5 2.5072402.321212410.8883511861.4338 T4 399.814012008.5671499450.5455 T3 11608.7531487441.9784 T2 475833.2251 T1 4次差3次差2次差1次差Φ i j (t)历元 41 卫星定位技术与方法2005-4-29 81 ?从上表中可见，4次差的异常与历元t 5 观测值 的周跳是相应的。某一历元的周跳发生后， 可根据该历元的前或后的正确观测值，利用 高次插值公式，恢复第一个观测值的正确整 周计数。 ?另外，根据相邻的几个正确的相位观测值， 采用n阶多项式拟合的方法，预估观测值并 与实测值比较，来发现周跳并修正整周计 数。该方法由于受到接收机震荡器的随机误 差影响，只能发现较大的周跳（大于5 周），无法判断只有几周的小周跳。 卫星定位技术与方法2005-4-29 82 2. 屏幕扫描法：如果观测值中出现整周跳变，则相 位观测值的变化率将不再连续。凡曲线出现不规 则变换时，就意味着在相应的观测值中出现了整 周跳变。该方法在早期GPS相位测量数据处理中应 用，主要靠作业人员依据变化率图象逐段检查。 此外，还可利用在卫星间求差以及根据平差后的 残差来发现和修复周跳。 探测和修复周跳的方法很多，采用何种方法 应根据实际情况而定。一般在开始时采用较简便 精度不高的方法发现和修复大周跳，然后用精度 较高的公式寻找并修复小周跳，并通过残差来加 以检验。 42 卫星定位技术与方法2005-4-29 83 ?整周跳变与接收机的质量和观测条件密切相关， 必须从选择机型、选点、组织观测时就注意，以 便获得一组质量较好的观测值，这是解决周跳的 根本途径。 ?一组包含了大量周跳的质量很差的观测数据，想 单纯依靠内业处理的方法加以修复以获取高精度 的结果，几乎是不可能的，而且将大大增加工作 量。因此，决不能因为存在用内业方法修复周跳 的可能性而放松外业观测要求。