1 卫星定位技术与方法 第八讲 袁林果 Email: lgyuan@home.swjtu.edu.cn 西南交通大学土木工程学院测量工程系 卫星定位技术与方法2005-4-15 2 第七章GPS相对定位原理 ?利用GPS进行绝对定位时，定位精度受卫星轨道误 差、钟差及信号传播误差等因素影响，尽管其中的一 些系统误差，可以通过模型加以消除，但残差仍不可 忽视。实践表明，目前静态绝对定位精度为米级，动 态绝对定位精度仅为10-40 m。 ? GPS相对定位也叫差分GPS定位，是目前GPS定位中 精度最高的一种，广泛用于大地测量、精密工程测 量、地球动力学研究和精密导航。 2 卫星定位技术与方法2005-4-15 3 参考站参考站 . 卫星定位技术与方法2005-4-15 4 ?相对定位是利用两台GPS接收机，分别安置在基线的 两端，同步观测相同的GPS卫星，以确定基线端点在 协议地球坐标系中的相对位置或基线向量。相对定位 方法一般可推广到多台接收机安置在若干条基线的端 点，通过同步观测GPS卫星，以确定多条基线向量。 ?在两个观测站或多个观测站，同步观测相同卫星的情 况下，卫星的轨道误差、卫星钟差、接收机钟差以及 电离层的折射误差等，对观测量的影响具有一定的相 关性，所以利用这些观测量的不同组合，进行相对定 位，便可以有效地消除或减弱上述误差的影响，从而 提高相对定位的精度。 ?相对定位可分为静态和动态两种模式。 §7.1相对定位方法概述 3 卫星定位技术与方法2005-4-15 5 ?安置在基线端点的接收机固定不动，通过连续观 测，取得充分的多余观测数据，改善定位精度。 ?静态相对定位一般均采用载波相位观测值（或测相 伪距）为基本观测量，对中等长度的基线（100- 500km），相对定位精度可达10 -8 -10 -9 甚至更好。 ?在载波相位观测的数据处理中，为可靠地确定载波 相位整周未知数，静态相对定位一般需要较长的观 测时间（1.0-1.5小时），如何缩短观测时间，是研 究和关心的热点。缩短静态相对定位的观测时间关 键在于快速而可靠地确定整周未知数。 1.静态相对定位 卫星定位技术与方法2005-4-15 6 ?理论和实践表明，在载波相位观测中， 如果整周未知数已经确定，则相对定位 精度不会随观测时间的延长而明显提 高。 ? 1985年美国的里蒙迪（Remondi, B. W.）发展了一种快速相对定位模式，基 本思想是：利用起始基线向量确定初始 整周未知数或称初始化，之后，一台接 收机在参考点（基准站）上固定不动， 并对所有可见卫星进行连续观测；而另 一台接收机在其周围的观测站上流动， 并在每流动站上静止进行观测确定 4 卫星定位技术与方法2005-4-15 7 在高精度静态相对定位中，当仅有两台接收机 时，一般应考虑将单独测定的基线向量联结成向量 网（三角网或导线网），以增强几何强度，改善定 位精度。当有多台接收机时，应采用网定位方式， 可检核和控制多种误差对观测量的影响，明显提高 定位精度。 卫星 卫星定位技术与方法2005-4-15 8 2.动态相对定位 ?用一台接收机安置在基准站上固定不动，另一台接收机安 置在运动载体上，两台接收机同步观测相同卫星，以确定 运动点相对基准站的实时位置。 ?动态相对定位根据采用的观测量不同，分为以测码伪距为 观测量的动态相对定位和以测相伪距为观测量的动态相对 定位。 ?测码伪距动态相对定位，目前实时定位精度为米级。以相 对定位原理为基础的实时差分GPS可有效减弱卫星轨道误 差、钟差、大气折射误差以及SA政策影响，定位精度远 远高于测码伪距动态绝对定位。 5 卫星定位技术与方法2005-4-15 9 ?测相伪距动态相对定位是以预先初始化或动态解算载波相位 整周未知数为基础的一种高精度动态相对定位法，目前在较 小范围内（小于20km），定位精度达1-2cm。 ?动态相对定位中，根据数据处理方式不同，可分为实时处理 和后处理。 ?数据的实时处理要求在观测过程中实时地获得定位结果，无 需存储观测数据，但在流动站和基准站之间必须实时地传输 观测数据或观测量的修正数据，这种处理方式对运动目标的 导航、监测和管理具有重要意义。 ?数据的后处理要求在观测过程结束后，通过数据处理而获得 定位结果。该处理方式可以对观测数据进行详细分析，易于 发现粗差，不需要实时传输数据，但需要存储观测数据。后 处理方式主要应用于基线较长，不需实时获得定位结果的测 量工作。 ?由于建立和维持一个数据实时传输系统（包括无线电信号的 发射和接收设备），不仅技术复杂，而且花费较大，一般除 非必须获得实时定位结果外，均采用观测数据的测后处理方 式。 卫星定位技术与方法2005-4-15 10 1.基本观测量及其线性组合 假设安置在基线端点的接收机T i (i=1,2)，对GPS卫星s j 和 s k ，于历元t 1 和t 2 进行了同步观测，可以得到如下的载波 相位观测量：? 1 j (t 1 )、? 1 j (t 2 )、? 1 k (t 1 )、? 1 k (t 2 )、 ? 2 j (t 1 )、? 2 j (t 2 )、? 2 k (t 1 )、? 2 k (t 2 )。若取符号?? j (t)、 ?? i (t)和δ? i j (t)分别表示不同接收机之间、不同卫星之间 和不同观测历元之间的观测量之差，则有 )()()( )()()( )()()( 12 12 ttt ttt ttt j i j i j i j i k ii jjj ??δ? ??? ??? ?= ?=? ?=? §7.2静态相对定位的观测方程 6 卫星定位技术与方法2005-4-15 11 在上式中，观测量的一般形式为： 目前普遍采用的差分组合形式有三种： ?单差（Single-Difference——SD）:在不同观测站，同步观 测相同卫星所得观测量之差。表示为 ?双差（Double-Difference——DD）：在不同观测站，同步 观测同一组卫星，所得单差之差。符号表示为 )()()( 12 ttt jjj ??? ?=? [ ])()()()()()()( 1212 ttttttt jjkkjkk ??????? +??=???=?? )]()([)()]()([)()( 0 tTtI c f tNttttft c f t j ip j i j i j i j i j i ?+?+??+= δδρ? 卫星定位技术与方法2005-4-15 12 ?三差（Triple-Difference——TD）：于不同历元，同步观 测同一组卫星，所得观测量的双差之差。表达式为： [] )()()()( )()()()( )()()( 11121112 21222122 12 tttt tttt ttt jjkk jjkk kkk ???? ???? ???δ +??? +??= ?????=?? 7 卫星定位技术与方法2005-4-15 13 ?载波相位原始观测量的不同线性组合，都可作为相对定位的 相关观测量 ?优点： ?消除或减弱一些具有系统性误差的影响，如卫星轨道误差、 钟差和大气折射误差等。 ?减少平差计算中未知数的个数。 ?缺点： ?原始独立观测量通过求差将引起差分量之间的相关性。 ?平差计算中，差分法将使观测方程数明显减少。 ?在一个时间段的观测中，为了组成观测量的差分，通常应选 择一个参考观测站和一颗参考卫星。如果某一历元，对参考 站或参考卫星的观测量无法采用，将使观测量的差分产生困 难。参加观测的接收机数量越多，情况越复杂，此时将不可 避免地损失一些观测数据。 ?因此，应用原始观测量的非差分模型，进行高精度定位研 究，也日益受到重视。 卫星定位技术与方法2005-4-15 14 根据单差的定义，可得 若取符号： 则单差方程可写为 )()( )()( )()( )()()( 12 12 0102 12 tTtTT tItII tNtNN tttttt jjj p j p j p j jjj ???=?? ???=?? ?=? ?=? δδ [] ][)()()()( 12 TI c f Nttftt c f t j p jjjjj ??+??+???+?=? ρρ? [][][] [][])()()()( )()()()()()( )()()( 1212 01021212 12 tTtT c f tItI c f tNtNttttftt c f ttt jj p j p j jjjj jjj ???+???+ ???+?= ?=? δδρρ ??? 2.单差（SD）观测方程 8 卫星定位技术与方法2005-4-15 15 ?在上式中，卫星钟差的影响已经消除，这是单差模型的优点。 两观测站接收机的相对钟差，对同一历元两站接收机同步观测 量所有单差的影响均为常量。而卫星轨道误差和大气折射误 差，对两站同步观测结果的影响具有相关性，其对单差的影响 明显减弱。 ?如果对流层对独立观测量的影响已经根据实测大气资料利用模 型进行了修正；而电离层的影响也利用模型或双频技术进行了 修正，则载波相位观测方程中相应项，只是表示修正后的残差 对相位观测量的影响。这些残差的影响，在组成单差时会进一 步减弱。 T 1 T 2 S j 1 () j tφ 2 () j tφ 卫星定位技术与方法2005-4-15 16 如果忽略残差影响，则单差方程可简化为： 若取 则单差观测方程改写为： 如果以n i 表示观测站数，以n j 和n t 表示所测卫星数和观测历元 数，并取一个观测站作为固定参考点，则单差观测方程总数为(n i - 1) n j n t ，而未知参数总数为(n i -1) (3+n j +n t )，为了通过数据处理得到 确定的解，必须满足条件：(n i -1) n j n t ≥ (n i -1) (3+n j +n t )，由于(n i -1) ≥ 1，则有n j n t ≥ (3+n j +n t )，即 [] jjjj Nttftt c f t ???+?=? )()()()( 12 ρρ? )()()( 1 t c f ttF jjj ρ? +?=? jjj Nttft c f tF ???+=? )()()( 2 ρ 1 3 ? + ≥ j j t n n n 9 卫星定位技术与方法2005-4-15 17 ?上式表明，必要的历元数只与所测的卫星数有关，与观 测站的数量无关。例如当观测站所测卫星数为4，可得 观测历元数应大于7/3，而历元数为整数，故历元数为 4。即在观测卫星数为4的条件下，在两个或多个测站 上，对同一组4颗卫星至少同步观测4个历元，按单差模 型平差计算时，才能唯一确定全部未知参数。 ?综上，独立观测方程数为n i n j n t ，单差观测方程比独立观 测方程减少了n j n t 个。例如2个测站，3个历元，同步观 测4颗卫星，则独立观测量方程总数为24，单差观测方 程为12，单差观测方程比独立观测方程减少了12个。 卫星定位技术与方法2005-4-15 18 将单差观测方程， 应用于两测站、两同步观测卫星，并忽略大气折射残差的影响， 可得双差观测方程： [] kjkjk jkk Ntttt c f ttt ???+??= ???=?? )()()()( )()()( 1122 ρρρρ ??? [][][] [][])()()()( )()()()()()( )()()( 1212 01021212 12 tTtT c f tItI c f tNtNttttftt c f ttt jj p j p j jjjj jjj ???+???+ ???+?= ?=? δδρρ ??? 3.双差（DD）观测方程 10 卫星定位技术与方法2005-4-15 19 上式中 双差模型的优点是消除了接收机钟差的影响。如果取观测站T 1 作 为已知参考点，并取符号 则非线性化双差观测方程： 该式中除了含有观测站T 2 的位置待定参数外，还包含一个与 整周未知数有关的参数。为了方便构成双差观测方程，一般取 一个观测站为参考点，同时取一颗观测卫星为参考卫星。 jkk NNN ???=?? [])()( 1 )()( 11 ttttF jkk ?? λ ? ?+??=?? [] kkk NtttF ????=?? )()( 1 )( 12 ρρ λ 卫星定位技术与方法2005-4-15 20 如果以n i 表示观测站数，以n j 和n t 表示所测卫星数和观测历 元数，则双差观测方程总数为(n i -1) (n j -1) n t 。而待定参数总数 为3(n i -1)+ (n i -1)(n j -1)，式中第一项为待定点坐标未知数，第二 项为双差模型中出现的整周未知数数量。为了通过数据处理得 到确定的解，必须满足条件：(n i -1) (n j -1) n t ≥ 3(n i -1)+ (n i -1)(n j - 1)，由于(n i -1) ≥ 1，则有(n j -1) n t ≥ n j +2，，即 1 2 ? + ≥ j j t n n n T 1 T 2 S 1 S k )t( k 1 φ )t( j 2 φ )( 1 t j φ )t( k 1 φ 11 卫星定位技术与方法2005-4-15 21 上式表明：双差观测的必要历元数只与同步观测的卫星数有 关，与观测站的数量无关。当同步观测的卫星数为4，则可算 得观测历元数大于等于2。说明，为了解算观测站的坐标未知 数和载波相位的整周未知数，在由两个或多个观测站同步观测 4颗卫星时，至少必须观测2个历元。双差观测方程的缺点是可 能组成的双差观测方程数将进一步减少。双差观测方程数与独 立观测方程总数相比减少了(n i + n j -1) n t ，与单差相比减少了(n i - 1) n t。 例如2个测站，2个历元，同步观测4颗卫星，则独立观测 量方程总数为16，双差观测方程为6，双差观测方程比独立观 测方程减少了10个，比单差减少2个。 卫星定位技术与方法2005-4-15 22 根据三差定义和二差观测方程， 可得 仍以观测站T 1 为参考点，取 [] kjkjk jkk Ntttt f c ttt ???+?? ???=?? )()()()( )()()( 1122 ρρρρ ??? [] )()()()( 1 )()()()( 1 )()()( 11111212 21212222 12 tttt tttt ttt jkjk jkjk kkk ρρρρ λ ρρρρ λ ???δ +??? +??= ?????=?? [])()()()( 1 )( 11112121 tttttF jkjkk ρρρρ λ ?δδ +??+??=?? 4.三差（TD）观测方程 12 卫星定位技术与方法2005-4-15 23 则非线性三差方程为： 可见出现在方程右端的未知数只有观测站T 2 的坐标，三差 模型的优点是消除了整周未知数的影响，但使观测方程的数量 进一步减少。当观测站数为n i ，相对某一已知参考点可得未知 参数总量为3(n i -1)，此外，在组成三差观测方程时，若取一观 测卫星为参考卫星，并取某一历元为参考历元，则三差观测方 程总数为(n i -1) (n j -1)(n t -1)。为确定观测站未知数，必须满足(n i - 1) (n j -1)(n t -1) ≥ 3(n i -1)，即(n j -1)(n t -1) ≥ 3，或n t ≥ (n j +2)/(n j -1)。 说明为确定未知参数所必需的观测历元数与观测站数无关，只 与同步观测卫星数有关。 [])()()()( 1 12122222 ttttF jkjk ρρρρ λ δ +??=?? 卫星定位技术与方法2005-4-15 24 ?三差观测方程的数量与独立观测量方程相比减少了n j n t + (n i -1)(n j +n t -1) ，与单差观测方程相比减少了(n i -1)(n j +n t -1) ，与双差相比 减少了(n i -1)(n j -1) 。 ?当n i =2，n j =4，n t =2时，三差观测方程数比独立观测量减少了13 个，比单差减少了5个，比双差减少了3个。 ?注意：由于三差模型使观测方程数目明显减少，对未知参数的 解算可能产生不利影响。一般认为，实际定位工作中，采用双 差模型较为适宜。 T 1 T 2 t 1 t 2 t 1 t 2 )t( j 11 φ )t( j 12 φ )t( j 21 φ )t( j 22 φ )t( k 11 φ )t( k 22 φ )t( k 21 φ )t( k 21 φ 13 卫星定位技术与方法2005-4-15 25 ?在准动态相对定位中，接收机在观测点上进行观测时是 处于静止状态，定位模式仍属于静态相对定位。准静态 相对定位是以载波相位观测量为根据，并假设相位观测 方程中整周未知数已预先确定，因此同步观测时间可大 大缩短，定位精度接近于经典静态相对定位结果。 ?测相伪距观测方程中，整周未知数的数量，只与观测站 数以及同步观测卫星数有关。以双差模型为例，待定参 数总数为3(n i -1)+ (n i -1)(n j -1)，整周未知数的总量为(n i - 1)(n j -1) ，与双差观测方程中待定参数的总量之比为(n j - 1)/(n j + 2) 。 5.准动态相对定位模型 卫星定位技术与方法2005-4-15 26 如果测相伪距观测方程中整周未知数已经确定，不仅大 大减少了待定参数的数量，而且测相伪距观测方程的形 式也与测码伪距观测方程一致。测相伪距观测方程 可改写为 若忽略大气折射残差影响，可得单差观测方程 其中 [ ] )()()()( ~ 12 ttctttr jjj ?+?=? ρρ )()()( )( ~ )( ~ )( ~ 12 12 tttttt trtrtr jjj δδ ?=? ?=? [ ] )()()()()()()( 0 tTtItNttttctt j ip j i j i j i j i j i ?+?+??+= λδδρλ? [ ] )()()( ~ )()()()()()( ~ 0 tNttr tTtIttttcttr j i j i j i j ip j i j i j i j i λλ? δδρ += ?+?+?+= 14 卫星定位技术与方法2005-4-15 27 此时，单差观测方程数为n j n t (n i -1)，待定参数总数(n i - 1)(3+n t )，定位条件为n t ≥ 3/(n j -1)。即当两站同步观测卫 星数为4，即使每一流动站同步观测一个历元，也可获 得唯一定位解。 当采用双差模型，则有 其中 此时，双差观测的历元数与观测卫星数之间关系与单差 模型相同。 [ ])()()()()( ~ 1212 tttttr jjkkk ρρρρ +??=?? )( ~ )( ~ )( ~ trtrtr jkk ???=?? 卫星定位技术与方法2005-4-15 28 ?在整周未知数已经确定的情况下，测相伪距差分观测方 程与测码伪距差分观测方程的表达形式完全相同。 ?显然，以测相伪距为观测量进行准动态相对定位的关键 是在观测工作之初，首先准确地测定载波相位的整周未 知数，即进行初始化工作，并在观测工作开始后至少保 持对4颗卫星的连续跟踪。 ?如果在流动的观测站上，通过短时间的观测，就能可靠 地确定整周未知数，则接收机在流动观测站上移动时， 就不再需要对所测卫星进行连续跟踪，从而使相对定位 更简便、快速。快速、准确地测定载波相位的整周未知 数，是发展高精度快速相对定位的基础。 15 卫星定位技术与方法2005-4-15 29 ?动态相对定位是将一台接收机安设在一个固定站上，另一台接 收机安置在运动载体上，在运动中与固定观测站的接收机进行 同步观测，确定运动载体相对固定观测站（基准站）的瞬时位 置。 ?动态相对定位的特点是要实时确定运动点相应每一观测历元的 瞬时位置。 §7.3动态相对定位的观测方程 卫星定位技术与方法2005-4-15 30 ?假设在协议地球参考坐标系中，所测卫星s j 的瞬时位置 向量为ρ j (t)，运动点的瞬时位置向量为ρ i (t)，则于任一 历元t，运动点至所测卫星的几何距离为ρ i j (t)=| ρ j (t) - ρ i (t) |。 ?动态相对定位与静态相对定位的基本区别是动态观测站 的位置也是时间函数。但动态相对定位与静态相对定位 一样，可以有效地消除或减弱卫星轨道误差、钟差、大 气折射误差的系统性影响，显著提高定位精度。 ?根据采用的伪距观测量的不同，一般分为测码伪距动态 相对定位和测相伪距动态相对定位。 16 卫星定位技术与方法2005-4-15 31 测码伪距观测方程的一般形式为： 如果将运动点T i (t)与固定点T 1 的同步测码伪距观测量求差，可得 单差模型： 若略去大气折射残差的影响，则简化为 )()()()( ~ 1 ttcttt jj i j δρρρ +?=? )()()()()()( ~ tTtIttcttctt j ig j i j i j i j i ?+?+?+= δδρρ )]()([)]()([ )]()([)()()( ~ 11 11 tTtTtItI ttttcttt jj ig j g j i i jj i j ???+???+ ?+?=? δδρρρ 1.测码伪距动态相对定位法 卫星定位技术与方法2005-4-15 32 若仍以n i 和n j 表示包括基准站在内的观测站总数和同步观测卫星 数，则单差方程数为(n i -1)n j ，未知参数总量为4(n i -1)，求解条件 为(n i -1)n j ≥ 4(n i -1)，即n j ≥ 4。 对于观测量的双差，可得观测方程： 类似分析表明，求解条件仍为n j ≥ 4。 利用测码伪距的不同线性组合（单差或双差）进行动态相对定 位，与动态绝对定位一样，每一历元必须至少同步观测4颗卫星。 [ ])()()()()( ~ 11 ttttt jj i kk i k ρρρρρ +??=?? 17 卫星定位技术与方法2005-4-15 33 如果要实时地获得动态定位结果，则在基准 站和运动站之间，必须建立可靠的实时数据 传输系统。根据传输数据性质和数据处理方 式，一般分以下两种： （1）将基准站上的同步观测数据，实时地传 输给运动的接收机，在运动点上根据收到的 数据，按模型进行处理，实时确定运动点相 对基准站的空间位置。该处理方式理论上较 严密，但实时传输的数据量大，对数据传输 系统的可靠性要求也较严格。 卫星定位技术与方法2005-4-15 34 （2）根据基准站精确已知坐标，计算该基准站至所测卫星的瞬 时距离，及其与相应的伪距观测值之差，并将差值作为伪距修 正量，实时传输给运动的接收机，改正运动接收机相应的同步 伪距观测量。该处理方式简单，数据传输量小，应用普遍。在 基准站T 1 已知的条件下，可得 若取基准站的伪距测量值与相应计算值之差为 则 )()( ~ )( 111 ttt jjj ρρρ ?=? )()()()()()( ~ 11111 tTtIttcttctt j g jjjj ?+?+?+= δδρρ )()()()()( 1111 tTtIttcttct j g jjj ?+?+?=? δδρ 18 卫星定位技术与方法2005-4-15 35 在任一运动站T i (t)上，站星之间距离与相应伪距观测值之差可类 似的写出： 若取符号： 可得 )()()( ~ )( )()()( 1 1 tttt ttt jjj i j i jjj i ρρρρ ρρρ ?????= ??+?=? )()()()( )()( ~ )( tTtIttcttc ttt j ig j i j i j i j i j i ?+?+?= ?=? δδ ρρρ )()()( )()()( )()()( )()()( 1 1 1 1 tTtTtT tItItI tttttt ttt jj i j i g j g j i j i i jj i j ???=?? ???=?? ?=? ???=?? δδδ ρρρ )()()()( tTtIttct j ig j i j ??+??+?=?? δρ 卫星定位技术与方法2005-4-15 36 如果忽略大气折射对不同观测站伪距观测量的不同影响，以及 不同接收机钟差变化，则近似有 如果将基准站T 1 的伪距差作为差分GPS（DGPS）的修正量，则 根据修正后的测码伪距观测量所确定的运动点的实时位置精度 主要取决于： ?运动点离开基准站的距离。 ?修正量的精度及其有效作用期。 目前，应用C/A码的定位精度，在距离基准站50-100km的范围 内，可达米级。修正量的更新率可按用户要求而定，取为数秒 钟至数分钟，或更长。 )()( ~ )( ttt j i j i j i ρρρ ??≈ 19 卫星定位技术与方法2005-4-15 37 ?由于测相伪距为观测量的动态相对定位，存在整周未知数的解算 问题，因此在动态相对定位中，目前普遍采用的是以测码伪距为 观测量的实时定位方法。但以载波相位为观测量的高精度实时动 态相对定位方法（Real Time DGPS—RTDGPS，RTK）的研究与 开发已经得到普遍关注，并取得了重要进展。 ?与实时动态绝对定位一样，以测相伪距为观测量，进行实时动态 相对定位的关键仍然是载波相位整周未知数的解算问题。 2.测相伪距动态相对定位法 卫星定位技术与方法2005-4-15 38 ?如果在动态观测开始之初，首先用快速解算整周未知 数的方法，准确确定了载波相位观测量的整周未知 数，即进行了初始化工作。在接收机载体运动过程 中，保持对所测卫星（至少4颗）的连续跟踪，则根据 运动点和基准站的同步观测量，可精确确定运动点相 对基准站的瞬时位置。目前该方法在小范围内（小于 20km）得到了普遍应用。上述方法的缺点是在观测过 程中，要保持对所测卫星的连续跟踪，在实践中往往 比较困难，一旦失锁，则需重新进行初始化工作。 ?测相伪距动态相对定位法依据数据处理方式的不同， 分为实时处理和测后处理两种。 20 卫星定位技术与方法2005-4-15 39 假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进行了 同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差原理，讨论载 波相位观测量不同线性组合的平差模型。这些模型易于推广到 多台接收机观测情况。 1.观测方程线性化及平差模型 在协议地球坐标系中，若观测站T i 待定坐标的近似向量为 X i0 =[X i0 Y i0 Z i0 ] T ,其改正数向量为δX i =[δX i δY i δZ i ] T ，则观测站 T i 至所测卫星s j 的距离按泰勒级数展开并取其一次微小项， §7.4静态相对定位的单基线平差模型 卫星定位技术与方法2005-4-15 40 可得 上式中X j (t), Y j (t), Z j (t)为卫星s j 于历元t的瞬时坐标。 下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始 点坐标已知的情况下。 [][][]{} 21 2 0 2 0 2 00 0 )()()( )()()()( i j i j i jj i i i i j i j i j i j i j i ZtZYtYXtX Z Y X tntmtlt ?+?+?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ρ δ δ δ ρρ 21 卫星定位技术与方法2005-4-15 41 任取两观测站T 1 和T 2 ，并以T 1 为已知起始点，根据载波相位单差模 型 可得单差观测方程线性化形式 取符号 [] jjjj Nttftt c f t ???+?=? )()()()( 12 ρρ? [] jjj jjjj Nttftt Z Y X tntmtlt ???+?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=? )()()( 1 )()()( 1 )( 120 2 2 2 222 ρρ λ δ δ δ λ ? [])()( 1 )()( 120 ttttl jjjj ρρ λ ? ???=? （1）单差模型 卫星定位技术与方法2005-4-15 42 相应的误差方程为 若两观测站同步观测卫星数为n j ,则误差方程组为： 或 )()()()()( 1 )( 2 2 2 222 tlNttf Z Y X tntmtltv jjjjjj ?+?+?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? δ δ δ λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )( ... )( )( ... )( 1 ... 1 1 )()()( ......... )()()( )()()( 1 )( ... )( )( 2 1 2 1 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 tl tl tl N N N ttf Z Y X tntmtl tntmtl tntmtl tv tv tv jjjjjj nnnnnn δ δ δ λ )()()()()()( 2 tttttt ltcNbXav +?+?+= δ 22 卫星定位技术与方法2005-4-15 43 若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为n t ，则相应 的误差方程组为 相应的法方程式及其解 其中 P为单差观测量的权矩阵。 UNY UYN 1 0 ? ?=? =+? PLCBAU CBAPCBAN tNXY T T T )( )()( 2 = = ? ? ? ? ? ? ??=? δ )()()()(2)()( tttttt ltCNBXAV +?+?+= δ 卫星定位技术与方法2005-4-15 44 两观测站，同步观测卫星s j 和s k ，并以s j 为参考卫星，则 双差观测方程 线性化的形式为 [] kjkjk jkk Ntttt f c ttt ???+??= ???=?? )()()()( )()()( 1122 ρρρρ ??? [] kjkjk kkkk Ntttt Z Y X tntmtlt ???+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=?? )()()()( 1 )()()( 1 )( 112020 2 2 2 222 ρρρρ λ δ δ δ λ ? （2）双差模型 23 卫星定位技术与方法2005-4-15 45 上式中 若取符号 则得误差方程式： 若同步观测卫星数为n j ,则有误差方程组 jkk jk jk jk k k k NNN tntn tmtm tltl tn tm tl ???=?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )()( )()( )()( )( )( )( 22 22 22 2 2 2 [])()()()( 1 )()( 120120 ttttttl jjkkkk ρρρρ λ ? +?????=?? )()()()( 1 )( 2 2 2 222 tlN Z Y X tntmtltv kkkkkk ??+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= δ δ δ λ )()()()( 2 tttt lNbXav ??+??+= δ 卫星定位技术与方法2005-4-15 46 若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为n t ， 则相应的误差方程组为 [] [])(...)()( )(...)()( )(...)()( )(...)()( )( 21 21 21 21 2 nt nt nt nt ttt ttt ttt ttt vvvV lllL bbbB aaaA L N X BAV = ??????= = = + ? ? ? ? ? ? ?? = δ 24 卫星定位技术与方法2005-4-15 47 相应的法方程式及其解可表示为 其中 P为双差观测的权矩阵。 UNY UYN 1 0 ? ?=? =+? PLBAU BAPBAN NXY T T T ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ??=? 2 δ 卫星定位技术与方法2005-4-15 48 假设于基线两端，同步观测GPS卫星的历元为t 1 、t 2 ，则 三差方程线性化形式为 上式中 [] [])()()()( 1 1 )( 120120 2 2 2 222 tttt Z Y X nmlt jjkk kkkk δρδρδρδρ λ δ δ δ δδδ λ ?δ +??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=?? )()()( 12 ttt kkk ???δ ?????=?? （3）三差模型 25 卫星定位技术与方法2005-4-15 49 其中 若取 则得误差方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )()( )()( )()( )()( )( )( )( )( )()( )()( )()( )( )( )( 1121 120220 1121 120220 1 20 1 20 1222 1222 1222 2 2 2 tt tt tt tt t t t t tntn tmtm tltl tn tm tl jj jj kk kk j j k k kk kk kk k k k ρρ ρρ ρρ ρρ δρ δρ δρ δρ δ δ δ [])()()()( 1 )()( 120120 ttttttl jjkkkk δρδρδρδρ λ ?δδ +?????=?? [])()()()( 1 )( 2 2 2 222 tl Z Y X tntmtltv kkkkk ??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= δ δ δ δ δδδ λ 卫星定位技术与方法2005-4-15 50 当同步观测卫星数为n j ，并以某一卫星为参考卫星 时，可得误差方程组为 [] [])(...)()()( )()()( ......... )()()( )()()( 1 )( )(...)()()( )()()( 1 111 1 21 222 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 21 2 tltltlt tntmtl tntmtl tntmtl t tvtvtvt ttt j jjj j n nnn n ? ??? ? ??????= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = += δδδ δδδ δδδ δδδ λ δ l a v lXav 26 卫星定位技术与方法2005-4-15 51 如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为n t ，并以 某一历元为参考历元，则误差方程组为： 相应法方程组及其解为： 其中P为相应三差观测量的权矩阵。 [] [] )(...)()( )(...)()( )(...)()( 121 2222 121 121 2 ? ? ? = = = = += nt T T nt T nt ttt ZYX ttt ttt lllL X aaaA vvvV LXAV δδδδ δ ( ) ( ) ()()PLAPAAX PLAXPAA TT TT 1 2 2 0 ? ?= =+ δ δ 卫星定位技术与方法2005-4-15 52 ?一般，两个观测量之间的相关性分为物理相关和数 学相关。 ?例如：两个观测站同步观测同一卫星，所得观测量 在物理上是相关的，而在数学上是不相关的，因此 认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之 间的相关性一般均指其间的数学相关性，同时假设 独立观测量的误差属于正态分布，数学期望为零， 方差为σ 2 。 2.观测量线性组合的相关性 27 卫星定位技术与方法2005-4-15 53 由两观测站于历元t同步观测卫星s j 的观测量之差为 若同一历元同步观测另一卫星，则有 上两式可表示为 以矩阵形式表示 )()( 12 tt jjj ??? ?=? )()( 12 tt kkk ??? ?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? )( )( )( )( 1100 0011 )( )( 2 1 2 1 t t t t t t j j k k j k ? ? ? ? ? ? )()()( ttt ?? r=? （1）单差观测量的相关性 卫星定位技术与方法2005-4-15 54 如果?(t)的方差阵为D ? (t)，根据方差与协方差传播定律， 可得观测量单差的方差阵 考虑 E(t)为单位矩阵。则 表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差，其间仍 不相关。该结论可推广到一般情况。 )()()()( tttt T rDrD ?? = ? )()( 2 tt ED σ ? = )(2)( )( 10 01 2)()( )()()( 2 2 tt ttt ttt T T ED Err rrD σ σ ? ? = ? ? ? ? ? ? = = ? ? 而 28 卫星定位技术与方法2005-4-15 55 如果在基线两端同步观测n j 颗卫星，观测历元数为n t ，则由此组 成单差的方差和协方差阵形式为： 其中， 相应的权矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )(...00 ............ 0...)(0 0...0)( 2 1 nt t t t E E E E ED 2 2)( σ ? = ? × t ntnntn jj EDP 2 1 2 1 σ ?? == ? ?? 卫星定位技术与方法2005-4-15 56 假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k，并取i为 参考卫星，则有 用矩阵表示为 )()()( )()()( ttt ttt ikk ijj ??? ??? ???=?? ???=?? [] T kji k j tttt t t t t ttt )()()()( 101 011 )( )( )( )( )()()( ???? ? ? ? ?? ???=? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?? ?? =?? ?=?? r r 其中 （2）双差观测量的相关性 29 卫星定位技术与方法2005-4-15 57 观测量双差的方差与协方差阵为 表明：不同卫星同步观测量所组成的双差，其间是相关 的。相应的权矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? 21 12 3 1 2 1 )( 2 σ ? tP ? ? ? ? ? ? = = = ?? ?? ??? 21 12 2)( )()(2)( )()()()( 2 2 σ σ ? ? ?? t ttt tttt T T D rrD rDrD 卫星定位技术与方法2005-4-15 58 当两个观测站同步观测的卫星数为n j ，则权矩阵的形式为 此时，权矩阵的维数仅取决于同步观测的卫星数。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? = ?? ?? 1...11 ............ 1...11 1...11 1 2 1 2 )1)(1( )( j j j j nn n n n n t jj σ ? P 30 卫星定位技术与方法2005-4-15 59 如果同步观测的历元数为n t ，则相应双差的权矩阵为 一般，不同历元同步观测的卫星数可能不同，因而 上式中相应每一观测历元的双差权阵维数，只与相应历 元观测的卫星数有关。 关于三差观测量相关性的推导与双差类似。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? ?? ?? ?? ?×? )(...00 0......... 0...)(0 0...0)( 2 1 )1()1( nt nnnn t t t t j t j ? ? ? ? P P P P