第十一章 机器的运转及其速度
波动的调节
§ 12-1 研究机器运转及其速度波动调节的目的
一、研究机器运转的目的
确定原动件真实运动规律 → 确定其它运动构件的运动规律，参数
二、调节机器速度波动的目的
1、周期性速度波动
危害,① 引起动压力,η ↓ 和可靠性。
② 可能在机器中引起振动，影响寿命、强度。
③ 影响工艺,↓ 产品质量。
2、非周期性速度波动
危害：机器因速度过高而毁坏，或被迫停车。
§ 11-2 机器等效动力学模型
研究机器运动和外力的关系时，必须研究所有运动构件的动能
变化和所有外力所作的功。这样不方便。
单自由度的机械系统：
某一构件的运动确定了 → 整个系统的运动确定了。
∴ 整个机器的运动问题 化为 某一构件的运动问题。
为此，引出等效力、等效力矩、等效质量、等效转动惯量概念
一、等效力和等效力矩
研究机器在已知力作用下的运动时，作用在机器某一构件上
的假想 F或 M代替 作用在机器上所有已知外力和力矩。
代替条件：机器的运动不变
即：假想力 F或力矩 M所作的功或所产生的功率等于所有
被代替的力和力矩所作的功或所产生的功率之和。
假想力 F—— 等效力
假想力矩 M—— 等效力矩
等效力或等效力矩作用的构件 —— 等效构件
等效力作用的点 —— 等效点
通常，选择根据其位置便于进行机器运动分析的构件为
等效构件。
90 °
A
M
?
F
B
v B
等效力或等效力矩所产生的功率
BFVP ?
或 P=Mω
设 Fi,Mi—— 作用在机器第 i个构件上的已知力和力矩
Vi —— 力 Fi 作用点的速度
Wi——构件 i的角速度
θ i——Fi和 Vi夹角
作用在机器所有构件上的已知力和力矩所产生的功率：
???
???
??? k
i
ii
k
i
iii
k
i
i WMVFP
111
c o s ?
Mi和 ω i同向取, +”，否则, -”
??
??
??? k
i
ii
k
i
iiiB WMVFFV
11
c o s ?或 ??
??
??? k
i ii
k
i iii
WMVFMW
11
c o s ?
??
??
??? k
i B
i
i
k
i B
ii
i V
WM
V
VFF
11
c o s ? ??
??
??? k
i
iik
i
iii
W
WM
W
VFM
11
c o s ?
公式讨论：
① 等效力 F和等效力矩 M只与各速度比有关,∴ F和 M是机构
位置的函数。
② 各个速度比可用任意比例尺所画的速度多边形中的相应
线段之比来表示。不必知道各个速度的真实数值,∴ 可在
不知道机器真实运动的情况下，求出 F,M。
?
A
v B
90 °
F d
B
90 °
F r
M d
M F
③ 选绕固定轴线转动的构件为等效构件。
WFlFVMWP ABB ???
ABFlM ?
④ Fi,Mi随时间或角速度变化,F,M也
是时间和角速度函数
F和 M可用速度多边形杠杆法求出
方法：作机构的转向速度多边形，并将等效力（或等效力矩）
及被代替的力和力矩平移到其作用点的影像上，然后使两者对
极点所取的力矩大小相等、方向相同，便可求出 F,M，若取移
动的构件为等效构件,F用公式求,VB=构件移动速度。
注意, F和 M是一个假想的力和力矩，它不是被代替的已知力
和力矩的合力或合成矩。求机构各力的合力时不能用
等效力和等效力矩的原理。
二、等效质量和等效转动惯量
使用等效力和等效力矩的同时，用集中在机器某一构件上选
定点的一个假想质量代替整个机器所有运动构件的质量和转
动惯量。
代替条件：机器的运动不变。
即假想集中质量的功能等于机器所有运动构件的功能之和。
等效质量；等效点；等效构件。
为方便，等效力和等效质量的等效点和等效构件是同一点和
同一构件
等效转动惯量。（当取绕固定回转的构件为等效构件时，可
用一个与它共同转动的假想物体的转动惯量来代替机器所有
运动构件的质量和转动惯量。条件：假想惯动惯量的功能等
于机器所有运动构件的功能之和）。
2
2
1
BmVE ?
或 2
2
1 JWE ?
设 ω i—— 第 i个构件的角速度
Vsi—— 第 i个构件质心 Si的速度
mi—— 第 i个构件质心质量
Jsi—— 对质心轴线的转动惯量
整个机器的功能：
???
???
??
k
i
iSi
k
i
sii
k
i
i WJVmE
1
2
1
2
1 2
1
2
1
? ?
? ?
?? k
i
k
i
iSiSiiB WJVmmV
1 1
222
2
1
2
1
2
1 或 ? ?
? ?
?? k
i
k
i
iSiSii WJVmJW
1 1
222
2
1
2
1
2
1
??
??
???
?
???
??
???
?
???
?? k
i B
i
Si
B
Si
k
i
i V
WJ
V
Vmm
1
22
1
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?? k
i
i
Si
Si
k
i
i W
WJ
W
VmJ
1
22
1
公式讨论：
① m和 J由速度比的平方而定，总为正值； m和 J仅是机构
位置的函数。
② 不必知道各速度的真实值。
③ 等效构件为绕固定轴线旋转
2222 212121 WmlmVJWE ABB ???
2ABmlJ ?
取移动构件为等效构件
求 m,VB=移动速度
注意,m,J是假想的，不是
机器所有运动构件的质量
和转动惯量的合成总和
§ 11-3 机器运动方程式的建立及解法
一、机器运动方程式的建立
1、动能形式的机器运动方程式
如不考虑摩擦力，将重力看作驱动力或阻力
设 WFd—— 某一位移过程中等效驱动力所作的功
WMd—— 某一位移过程中等效驱动力矩所作的功
WFr—— 某一位移过程中等效阻力所作的功
WMr—— 某一位移过程中等效阻力矩所作的功
m—— 某一位移结束时的等效质量
m0—— 某一位移开始时的等效质量
J—— 某一位移结束时的等效转动惯量
J0—— 某一位移开始时的等效转动惯量
V（ W） —— 某一位移结束时等效点的速度（角速度）
V0(ω 0)—— 某一位移开始时等效点的速度（角速度）
机器的动能方程式可写成
2002 2121 VmmVWW FrFd ???
或 2
002 2
1
2
1 WJJWWW
MrMd ???
动能形式的机器运动方程式。
2、力或力矩形式的机器运动方程式
? ? ? ??????? S S S S SSrdSrSdFrFd FddFFdFdFWW 0 0 0 0)(
rd FFF ?? S为等效点的位移
????? s sFrFd FdVmmVWW 02002 2121
将上式微分 0)
2
1()( 2
0 ??? mVd
dFd
d
d
S
S
S
S
)(221//221
2
2
S
mV
S
m
S
V
d
dV
dt
dm
d
dV
dtd
dtdVmF ????????
)(2
2
S
mt
d
dVmaF ?? 其中 at→ 等效点的切向加速度
若用 Md,Mr表示,ψ → 等效构件的转角； α → 等效构件角加速度
)(2
2
?
? ddWJM J??
二、机器运动方程式的解法
注意机器的机械特性 —— 表示机器力参数与运动参数间的关系。
如：有的机器的驱动力是机构位置的函数
有的机器的驱动力是速度的函数
有的驱动力是常数。
阻力可能是机构位置的函数
也可能是速度位置的函数，或者是常数。
机器的等效质量（等效转动惯量）是机构位置的函数
∴ 研究机器的真实运动时，必须分别情况加以处理。
实际中解决很多机器的真实运动时，近似地认为驱动力和
阻力是其中 机构位置 的函数。
因此，解机器运动方程式时，主要研究力是机构位置函数时
其等效构件的真实运动。
1、解析法
当等效力（力矩）是机构位置的函数时，宜采用动能形式
的运动方程式
若等效构件为移动构件，采用 2
002 2
1
2
1 VmmVWW
FrFd ???
若等效构件为 转动构件,采用 2002 2121 ?? JJWW MrMd ???
（ 1）求等效构件的角速度 ω
角位移 ?? ?0 rd MMM ??
? ????????? ?? ???0 0
2
00
2
22 EEE
JJMdWWW
MrMd
W—— 该区间的剩余功（盈亏功）
△ E—— 动能增量
J
JW
J
JMd
J
2
00
2
00 22
0
???? ?
?
???? ?
若从起动开始算起 WEE ???,0,0 00?
J
EMd
J
22
0
?? ??? ??
)(),( ?? JJMM ?? )(??? ?
（ 2）求等效构件的角加速度
?
???
?
???
d
d
dt
d
d
d
dt
d ???
?
?
d
d 可由
J
EMd
J
22
0
?? ??? ?? 求导得
（ 3）求机器的运动时间 t
dt
d?? ?
?
?ddt ? ? ??t
t
ddt
0 0
?
? ?
?
??? ?? ??00 dtt ??? ?? ??
0
0
dtt
若从起动开始算起 00 ?t
?? ?? ?0 Wdt
以上求解过程说明，
知,便能准
确求出机器的真实运动规律。
)(),( ?? JJMM ??
2、图解法
)(),( ?? JJMM ?? 以线图或表格的形式给出，用图解法
较方便，但精度较差。
（ 1）求曲线 )(??? ?
J
EMd
J
22
0
?? ??? ??
∴ ω只与 E和 J有关,可借助 )(),( ?? JJEE ?? 确定 )(?? ?
先求出曲线 )(),( ?? rrdd MMMM ?? 将两曲线相减得 )(?MM ?
根据 ?? ?
? ?0 MdE 得曲线 )(?EE ?
再根据 )(?JJ ?
将两图中各个位置对应的 E和 J代入式 JEMdJ 22
0
?? ??? ??
求得 ω 再作出曲线 )(??? ?
（ 2）求曲线 )(??? ?
求出 曲线 )(??? ? 微分 ???? dd?
（ 3）求曲线 )(?tt ?
)(??? ? → 倒函数曲线 )(11 ??? ?
?? ?? ?0 Wdt )(?tt ?
§ 11-4 机器周期性速度波动的调节方法和设计指标
一、调节方法
机器中某一回转轴上加一适当的质量 —— 飞轮
飞轮：调速，克服载荷的提高
二、设计指标
)(??? ? ?? p d
p
m
? ??
?? 0
1
ψ p→ 一个运动循环中等效构件的转角
工程中
2
m i nm a x ??? ??
m
绝对不均匀度,主轴的 ω max与 ω min之差
表示主轴速度
波动的大小。
并不表示机器
运转不均匀的
程度。
机器运转的不均匀系数,绝对不均匀度对机器平均角速度之比
衡量机器运转的不均匀程度。
m?
??? m i nm a x ??
如知,δ和 ωm 便可求的
)21(m a x ??? ?? m
)21(m i n ??? ?? m
22m i n2m a x 2 m???? ??
由式
m?
??? m i nm a x ?? ω m一定,ε ↓, ω max-ω min↓
机器运转愈平稳
对于各种机器,δ 因工作性质不同而不同
ω m, ε 是设计飞轮的设计指标。
§ 11-5 飞轮设计
一、基本问题
根据 ω m和许可 δ 确定 J飞
JMM rd ?? 为常数 —— ω为常数,∴ 不需要飞轮
JMM rd ?? 为变量 —— 速度波动，需安装飞轮
研究：在稳定运动时期内的任一个运动循环。
Eb—— 一个运动循环开始时的动能
E—— 运动循环内等效构件在任一位置 ψ 时的动能
△ E—— 动能的增量
EEE b ???
若在等效构件安装飞轮
RFVCF JJJJJJ ?????
常
数
变
量 机构位置的函数
机器的总动能
RFRF EEJJE ????
22
2
1
2
1 ??
22
2
1
2
1 ??
RbFRbF JEEJEEEE ?????????
该式为确定飞轮转动惯量的基本方程式
二、飞轮尺寸的确定
前面求 JF假设飞轮装在等效构件上。
设飞轮装在某一构件 x上,JFx与 JF的关系
2
)(
2
22
xFxF JJ ?? ?
2)(
x
FFx JJ ?
??
??? Fxx JW ∴ 飞轮装在速度高的轴上。
JFx为常数, 必须 常数
x?
? ∴ 装在与主轴有定传动比的构件上
飞轮：轮形，盘形。尺寸确定方法（自己看书）
波动的调节
§ 12-1 研究机器运转及其速度波动调节的目的
一、研究机器运转的目的
确定原动件真实运动规律 → 确定其它运动构件的运动规律，参数
二、调节机器速度波动的目的
1、周期性速度波动
危害,① 引起动压力,η ↓ 和可靠性。
② 可能在机器中引起振动，影响寿命、强度。
③ 影响工艺,↓ 产品质量。
2、非周期性速度波动
危害：机器因速度过高而毁坏，或被迫停车。
§ 11-2 机器等效动力学模型
研究机器运动和外力的关系时，必须研究所有运动构件的动能
变化和所有外力所作的功。这样不方便。
单自由度的机械系统：
某一构件的运动确定了 → 整个系统的运动确定了。
∴ 整个机器的运动问题 化为 某一构件的运动问题。
为此，引出等效力、等效力矩、等效质量、等效转动惯量概念
一、等效力和等效力矩
研究机器在已知力作用下的运动时，作用在机器某一构件上
的假想 F或 M代替 作用在机器上所有已知外力和力矩。
代替条件：机器的运动不变
即：假想力 F或力矩 M所作的功或所产生的功率等于所有
被代替的力和力矩所作的功或所产生的功率之和。
假想力 F—— 等效力
假想力矩 M—— 等效力矩
等效力或等效力矩作用的构件 —— 等效构件
等效力作用的点 —— 等效点
通常，选择根据其位置便于进行机器运动分析的构件为
等效构件。
90 °
A
M
?
F
B
v B
等效力或等效力矩所产生的功率
BFVP ?
或 P=Mω
设 Fi,Mi—— 作用在机器第 i个构件上的已知力和力矩
Vi —— 力 Fi 作用点的速度
Wi——构件 i的角速度
θ i——Fi和 Vi夹角
作用在机器所有构件上的已知力和力矩所产生的功率：
???
???
??? k
i
ii
k
i
iii
k
i
i WMVFP
111
c o s ?
Mi和 ω i同向取, +”，否则, -”
??
??
??? k
i
ii
k
i
iiiB WMVFFV
11
c o s ?或 ??
??
??? k
i ii
k
i iii
WMVFMW
11
c o s ?
??
??
??? k
i B
i
i
k
i B
ii
i V
WM
V
VFF
11
c o s ? ??
??
??? k
i
iik
i
iii
W
WM
W
VFM
11
c o s ?
公式讨论：
① 等效力 F和等效力矩 M只与各速度比有关,∴ F和 M是机构
位置的函数。
② 各个速度比可用任意比例尺所画的速度多边形中的相应
线段之比来表示。不必知道各个速度的真实数值,∴ 可在
不知道机器真实运动的情况下，求出 F,M。
?
A
v B
90 °
F d
B
90 °
F r
M d
M F
③ 选绕固定轴线转动的构件为等效构件。
WFlFVMWP ABB ???
ABFlM ?
④ Fi,Mi随时间或角速度变化,F,M也
是时间和角速度函数
F和 M可用速度多边形杠杆法求出
方法：作机构的转向速度多边形，并将等效力（或等效力矩）
及被代替的力和力矩平移到其作用点的影像上，然后使两者对
极点所取的力矩大小相等、方向相同，便可求出 F,M，若取移
动的构件为等效构件,F用公式求,VB=构件移动速度。
注意, F和 M是一个假想的力和力矩，它不是被代替的已知力
和力矩的合力或合成矩。求机构各力的合力时不能用
等效力和等效力矩的原理。
二、等效质量和等效转动惯量
使用等效力和等效力矩的同时，用集中在机器某一构件上选
定点的一个假想质量代替整个机器所有运动构件的质量和转
动惯量。
代替条件：机器的运动不变。
即假想集中质量的功能等于机器所有运动构件的功能之和。
等效质量；等效点；等效构件。
为方便，等效力和等效质量的等效点和等效构件是同一点和
同一构件
等效转动惯量。（当取绕固定回转的构件为等效构件时，可
用一个与它共同转动的假想物体的转动惯量来代替机器所有
运动构件的质量和转动惯量。条件：假想惯动惯量的功能等
于机器所有运动构件的功能之和）。
2
2
1
BmVE ?
或 2
2
1 JWE ?
设 ω i—— 第 i个构件的角速度
Vsi—— 第 i个构件质心 Si的速度
mi—— 第 i个构件质心质量
Jsi—— 对质心轴线的转动惯量
整个机器的功能：
???
???
??
k
i
iSi
k
i
sii
k
i
i WJVmE
1
2
1
2
1 2
1
2
1
? ?
? ?
?? k
i
k
i
iSiSiiB WJVmmV
1 1
222
2
1
2
1
2
1 或 ? ?
? ?
?? k
i
k
i
iSiSii WJVmJW
1 1
222
2
1
2
1
2
1
??
??
???
?
???
??
???
?
???
?? k
i B
i
Si
B
Si
k
i
i V
WJ
V
Vmm
1
22
1
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?? k
i
i
Si
Si
k
i
i W
WJ
W
VmJ
1
22
1
公式讨论：
① m和 J由速度比的平方而定，总为正值； m和 J仅是机构
位置的函数。
② 不必知道各速度的真实值。
③ 等效构件为绕固定轴线旋转
2222 212121 WmlmVJWE ABB ???
2ABmlJ ?
取移动构件为等效构件
求 m,VB=移动速度
注意,m,J是假想的，不是
机器所有运动构件的质量
和转动惯量的合成总和
§ 11-3 机器运动方程式的建立及解法
一、机器运动方程式的建立
1、动能形式的机器运动方程式
如不考虑摩擦力，将重力看作驱动力或阻力
设 WFd—— 某一位移过程中等效驱动力所作的功
WMd—— 某一位移过程中等效驱动力矩所作的功
WFr—— 某一位移过程中等效阻力所作的功
WMr—— 某一位移过程中等效阻力矩所作的功
m—— 某一位移结束时的等效质量
m0—— 某一位移开始时的等效质量
J—— 某一位移结束时的等效转动惯量
J0—— 某一位移开始时的等效转动惯量
V（ W） —— 某一位移结束时等效点的速度（角速度）
V0(ω 0)—— 某一位移开始时等效点的速度（角速度）
机器的动能方程式可写成
2002 2121 VmmVWW FrFd ???
或 2
002 2
1
2
1 WJJWWW
MrMd ???
动能形式的机器运动方程式。
2、力或力矩形式的机器运动方程式
? ? ? ??????? S S S S SSrdSrSdFrFd FddFFdFdFWW 0 0 0 0)(
rd FFF ?? S为等效点的位移
????? s sFrFd FdVmmVWW 02002 2121
将上式微分 0)
2
1()( 2
0 ??? mVd
dFd
d
d
S
S
S
S
)(221//221
2
2
S
mV
S
m
S
V
d
dV
dt
dm
d
dV
dtd
dtdVmF ????????
)(2
2
S
mt
d
dVmaF ?? 其中 at→ 等效点的切向加速度
若用 Md,Mr表示,ψ → 等效构件的转角； α → 等效构件角加速度
)(2
2
?
? ddWJM J??
二、机器运动方程式的解法
注意机器的机械特性 —— 表示机器力参数与运动参数间的关系。
如：有的机器的驱动力是机构位置的函数
有的机器的驱动力是速度的函数
有的驱动力是常数。
阻力可能是机构位置的函数
也可能是速度位置的函数，或者是常数。
机器的等效质量（等效转动惯量）是机构位置的函数
∴ 研究机器的真实运动时，必须分别情况加以处理。
实际中解决很多机器的真实运动时，近似地认为驱动力和
阻力是其中 机构位置 的函数。
因此，解机器运动方程式时，主要研究力是机构位置函数时
其等效构件的真实运动。
1、解析法
当等效力（力矩）是机构位置的函数时，宜采用动能形式
的运动方程式
若等效构件为移动构件，采用 2
002 2
1
2
1 VmmVWW
FrFd ???
若等效构件为 转动构件,采用 2002 2121 ?? JJWW MrMd ???
（ 1）求等效构件的角速度 ω
角位移 ?? ?0 rd MMM ??
? ????????? ?? ???0 0
2
00
2
22 EEE
JJMdWWW
MrMd
W—— 该区间的剩余功（盈亏功）
△ E—— 动能增量
J
JW
J
JMd
J
2
00
2
00 22
0
???? ?
?
???? ?
若从起动开始算起 WEE ???,0,0 00?
J
EMd
J
22
0
?? ??? ??
)(),( ?? JJMM ?? )(??? ?
（ 2）求等效构件的角加速度
?
???
?
???
d
d
dt
d
d
d
dt
d ???
?
?
d
d 可由
J
EMd
J
22
0
?? ??? ?? 求导得
（ 3）求机器的运动时间 t
dt
d?? ?
?
?ddt ? ? ??t
t
ddt
0 0
?
? ?
?
??? ?? ??00 dtt ??? ?? ??
0
0
dtt
若从起动开始算起 00 ?t
?? ?? ?0 Wdt
以上求解过程说明，
知,便能准
确求出机器的真实运动规律。
)(),( ?? JJMM ??
2、图解法
)(),( ?? JJMM ?? 以线图或表格的形式给出，用图解法
较方便，但精度较差。
（ 1）求曲线 )(??? ?
J
EMd
J
22
0
?? ??? ??
∴ ω只与 E和 J有关,可借助 )(),( ?? JJEE ?? 确定 )(?? ?
先求出曲线 )(),( ?? rrdd MMMM ?? 将两曲线相减得 )(?MM ?
根据 ?? ?
? ?0 MdE 得曲线 )(?EE ?
再根据 )(?JJ ?
将两图中各个位置对应的 E和 J代入式 JEMdJ 22
0
?? ??? ??
求得 ω 再作出曲线 )(??? ?
（ 2）求曲线 )(??? ?
求出 曲线 )(??? ? 微分 ???? dd?
（ 3）求曲线 )(?tt ?
)(??? ? → 倒函数曲线 )(11 ??? ?
?? ?? ?0 Wdt )(?tt ?
§ 11-4 机器周期性速度波动的调节方法和设计指标
一、调节方法
机器中某一回转轴上加一适当的质量 —— 飞轮
飞轮：调速，克服载荷的提高
二、设计指标
)(??? ? ?? p d
p
m
? ??
?? 0
1
ψ p→ 一个运动循环中等效构件的转角
工程中
2
m i nm a x ??? ??
m
绝对不均匀度,主轴的 ω max与 ω min之差
表示主轴速度
波动的大小。
并不表示机器
运转不均匀的
程度。
机器运转的不均匀系数,绝对不均匀度对机器平均角速度之比
衡量机器运转的不均匀程度。
m?
??? m i nm a x ??
如知,δ和 ωm 便可求的
)21(m a x ??? ?? m
)21(m i n ??? ?? m
22m i n2m a x 2 m???? ??
由式
m?
??? m i nm a x ?? ω m一定,ε ↓, ω max-ω min↓
机器运转愈平稳
对于各种机器,δ 因工作性质不同而不同
ω m, ε 是设计飞轮的设计指标。
§ 11-5 飞轮设计
一、基本问题
根据 ω m和许可 δ 确定 J飞
JMM rd ?? 为常数 —— ω为常数,∴ 不需要飞轮
JMM rd ?? 为变量 —— 速度波动，需安装飞轮
研究：在稳定运动时期内的任一个运动循环。
Eb—— 一个运动循环开始时的动能
E—— 运动循环内等效构件在任一位置 ψ 时的动能
△ E—— 动能的增量
EEE b ???
若在等效构件安装飞轮
RFVCF JJJJJJ ?????
常
数
变
量 机构位置的函数
机器的总动能
RFRF EEJJE ????
22
2
1
2
1 ??
22
2
1
2
1 ??
RbFRbF JEEJEEEE ?????????
该式为确定飞轮转动惯量的基本方程式
二、飞轮尺寸的确定
前面求 JF假设飞轮装在等效构件上。
设飞轮装在某一构件 x上,JFx与 JF的关系
2
)(
2
22
xFxF JJ ?? ?
2)(
x
FFx JJ ?
??
??? Fxx JW ∴ 飞轮装在速度高的轴上。
JFx为常数, 必须 常数
x?
? ∴ 装在与主轴有定传动比的构件上
飞轮：轮形，盘形。尺寸确定方法（自己看书）
