第二章 随机信号分析
2.1 引 言
l 随机信号和随机噪声的基本概念随机信号,实际通信系统中由信源发出的信息是随机的,或者说是不可预知的,因而携带信息的信号也是随机的,这种具有随机性的信号,称为 随机信号 。
随机噪声,携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染,而噪声也是随机的,称为 随机噪声 。
随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述,但它们都遵循一定的统计规律,我们可以用概率统计的方法进行研究 。
一,随机变量及其统计特性
1,随机变量的概念某随机实验可能有许多个结果,我们可以引入一变量 X,它将随机地取某些数值,用这些数值来表示各个可能的结果,这一变量 X就称之为随机变量 。
当随机变量 X的取值个数是有限的或可数无穷个时,则称它为 离散随机变量 ；否则,就称它为 连续随机变量,即可能的取值充满某一有限或无限区间 。
如果一个随机实验需要用多个随机变量 （ X1
,X2,…,Xn） 表示,则多个随机变量 （ X1,X2
,…,Xn） 的总体称之为 n维随机变量 。
2.2 随机过程的一般描述
2．随机变量的概率分布函数和概率密度函数用 P(X≤x)表示 X的取值不大于 x的概率,则定义函数为随机变量 X的 概率分布函数 。 这里,X可以是离散随机变量,也可以是连续随机变量 。
)12()()( xXPxF
若 X是连续随机变量,对于一非负函数 f（ x）
有下式成立则 f（ x） 称之为 X的 概率密度函数 （ 简称 概率密度 ） 。
)22()()( duufxF x
也可表示为对二维随机变量 （ X,Y）,我们把两个事件 （ X≤x） 和 （ Y≤y） 同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数同样，
称之为 二维概率密度 。
)32()()( xFdxdxf
)42(),(),( yYxXPyxF
)52(),(),(
2
yxF
yx
yxf
1,随机变量的数字特征
（ 1） 数学期望,反映了随机变量取值的集中位置 （ 均值 ）
设 P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量 X的取值
xi的概率,则其数学期望为对于连续随机变量 X,设 f(x)为其概率密度函数,则则其数学期望为
)62()(}{
1
K
i
ii xPxXE
)72()(}{
dxxxfXE
（ 2） 方差,反映了随机变量的集中程度；
方差定义为：
式中 m=E{X}。 而方差的平方根又称为均方差或标准偏差 。
（ 3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。
对两个随机变量 X,Y定义为 X,Y的 相关矩 或 协方差 。
)82()()(}){(}{ 222 dxxfmxmXEXD?
)92(),())(()})({( d x d yyxfmYmxmYmXE YXYX
[例 2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：
362
)()()(
0
42
)()(
0
2
1
)(
232
2
2
a
a
x
dx
a
x
dxxfmxxD
a
x
dx
a
x
dxxxfxE
x
axa
axf
a
a
a
a
a
a
a
a
解：
其它而 X,Y的归一化相关矩,称之为 X,Y的 相关系数,
定义为二,随机过程及其统计特性
1,随机过程的概念定义：设随机实验 E的可能结果为 ξ(t),实验的样本空间 S为 { x1(t),x2(t),…,xi(t)},i为正整数,xi(t)为第 i个样本函数 （ 又称之为实现 ）,每次实验之后,ξ(t)取空间 S
中的某一样本函数,于是称此 ξ(t)为随机函数 。 当 t代表时间量时,则称此 ξ(t)为 随机过程 。
)102(
}){(}){(
)})({( 11
22
YXYX
YX u
mYEmXE
mYmXE
如对同一台通信机作了 n次观测，得到的结果是不相同的，如图 2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻 ti这 n次观测的记录结果，可以由随机变量
X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果的集合 ξ(t)={ X(t1),X(t2),…,X(ti)，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个随机变量表述。
x
1
( t )
t
x
2
( t )
t
x
n
( t )
t
t
1 t 2
图 2 - 1 通信机的输出噪声波形
2,随机过程的概率分布函数和概率密度函数设 ξ(t)为一随机过程,则 ξ(t1)为一随机变量,此随机变量的分布函数为称之为随机过程 ξ(t)的一维分布函数 。 如果存在,则称为随机过程 ξ(t)的一维概率密度函数
。
)112(})({),( 11111 xtPtxF?
)122(),(),( 111
1
111
txf
x
txF
一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的,通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数 。
ξ(t)的 n维分布函数定义为如果存在,则称之为随机过程 ξ(t)的 n维概率密度函数 。
)132(})(,,)(,)({
),,,;,,,(
2211
21211
nn
nn
xtxtxtP
tttxxxF
)142(),,,;,,,(
),,,;,,,(
21211
21
21211
nn
n
nn
tttxxxf
xxx
tttxxxF
1,随机过程的统计特性 （ 数字特征 ）
（ 1） 数学期望：随机过程 ξ(t)的数学期望定义为它本该在 t1时刻求得,但 t1是任意的,所以它是时间的函数 。
（ 2） 方差：随机过程 ξ(t)的方差定义为：
)152(),()}({)( 1 dxtxxftEta?
)162(),()]([}) ] }([)({{)}({)( 1222 dxtxftaxtEtEtDt
)172()]([),(
),()]([),()(2),(
),()]([),()(2),(
2
1
2
1
2
11
2
1
2
11
2
tadxtxfx
dxtxftadxtxxftadxtxfx
dxtxftadxtxftxadxtxfx
（ 3） 协方差函数和相关函数：
协方差函数定义为相关函数定义为从式 （ 2-18） 和式 （ 2-19） 可以得到 B（ t1,t2）
和 R（ t1,t2） 之间的关系：
)182(),;,()]() ] [([
) ] }()() ] [()({[),(
21212122211
221121
dxdxttxxftaxtax
tattatEttB
)192(),;,(
)]()([),(
212121221
2121
dxdxttxxfxx
ttEttR
)202()]([)]([),(),( 212121 tEtEttRttB
由于 B（ t1,t2） 和 R（ t1,t2） 是衡量同一随机过程的相关程度的,所以,它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数 。
若对于两个或多个随机过程,可以有互协方差函数和互相关函数描述 。 设 ξ(t)和 η(t)表示两个随机过程,则互协方差函数和互相关函数分别定义为
)212() ] }()() ] [()({[),( 221121 tattatEttB
)222()]()([),( 2121 ttEttR
可以看出,随机过程的统计特性原则上都与时间 t有关,是时间的函数 。 而对于相关函数 R（ t1,t2）,若取
t2= t1+τ,即 τ是 t2和 t1之间的时间间隔,则 R（ t1,t2） 可表示为 R（ t1,t1+τ）,而 t1是任意的,R（ t1,t1+τ） 可以表示为 R（ t,t+τ）,这说明,相关函数是起始时刻 t和时间间隔 τ的函数 。
2.3 平稳随机过程平稳随机过程是指它的任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 。 即：对于任意的正整数 n和任意实数 t1,t2,...,tn,τ,随机过程 ξ(t)的 n维概率密度函数满足则称 ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
因为，
所以它的一维分布与 t无关；又所以它的二维分布只与时间间隔 τ有关。
)232(),,,;,,,(
),,,;,,,(
2121
2121
nnn
nnn
tttxxxf
tttxxxf
)(),(),( 11111 xftxftxf
);,(),;,(),;,( 2122121221212 xxfttxxfttxxf
平稳随机过程的数学期望为平稳随机过程的方差为由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即满足式（ 2-24） ~（ 2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
)242()(),()}({)( 11 adxxxfdxtxxftEta?
)252()(][
),()]([)}({)(
2
1
2
1
22
dxxfax
dxtxftaxtDt
)262()();,(
)]()([),(
2121221
1111
Rdxdxxxfxx
ttEttR
对平稳随机过程 ξ(t),如果它的数字特征与某一样本 x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：
)()()([
1
lim)]()([)(
)272(])([
1
lim}])({[
)(
1
lim)]([
2
2
21
22
2
222
2
2
Rdttxtx
T
ttER
dtatx
T
tE
adttx
T
tEa
T
T
T
T
T
T
T
T
T
则称平稳随机过程 ξ(t)具有各态历经性 。 由式 （ 2-27）
可知,各台历经的随机过程,就其数字特征而言,无需无限次的考察,而只需获得一次考察,从而使,统计平均,化为,时间平均,,简化了计算 。
[例 2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程 。 其中,是常数,相位 是在 上均匀分布的随机变量 。
)c o s ()( 0 tAts0,?A2~0
)c o s ()( 0 tAts
0,?A?
2~0
2
)(2c o s1
2
)]c o s ([)]()([)(
0s i n
2
1
s i nc o s
2
1
c o s
)}{ s i ns i n}{ c o sc o s
)}s i ns i nc o s{ c o s)}c o s ({)(
2
0
2
2
0
22
2
0
0
2
0
0
00
000
A
tE
A
tAEtmtsEt
dtAdtA
tEAtEA
ttAEtAEtm
证明：
是广义平稳随机过程。
以，仅与时间间隔有关，所而均与时间无关，和、可见，
)()(),(
),()()(
)(c o s
2
)}22{ c o s (
2
c o s
2
)}22c o s ({ c o s
2
)]})(c o s [)c o s ({),(
2
0
2
00
2
0
2
000
2
00
tsRttR
ttRttm
R
A
tE
AA
tE
A
tAtAEttR
平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以由相关函数描述；另一方面，相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。
一,平稳随机过程的相关函数及其性质设 ξ(t) 实平稳随机过程,其自相关函数具有如下性质,（ P16~17）
2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度
（ 1） R(0)为 ξ(t)的平均功率,（ 2-28）
（ 2） R(τ)为偶函数,（ 2-29）
（ 3） R(0)为 R(τ)的上界,（ 2-30）
（ 4） 为 ξ(t)的直流功率,（ 2-31）
（ 5） 为 ξ(t)的交流功率（方差）：
（ 2-32）
stER )]([)0( 2?
)()( RR
)0()( RR
)(?R )]([)( 2 tER
)()0( RR
2)()0( RR
确定信号的自相关函数 与其功率谱 之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程 ξ(t)的自相关函数与其功率谱之间也互为傅立叶变换关系，即
（ 2-27）
上式也称之为维纳 -辛钦定理 （ 具体推倒过程详见 P17~18） 。
)(?R
dePR
deRP
j
j
)(
2
1
)(
)()(
二、平稳随机过程的频谱特性 —— 功率谱密度和相关函数之间的关系
2.5 高斯过程一,高斯过程的定义若随机过程 ξ(t)的任意 n维概率密度函数满足：
则 ξ(t)为高斯过程 （ 正态随机过程 ） 。
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nn
axax
tttxxxf
1 12
1
21
2
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
B
BB?
式中 ； |B|为归一化协方差矩阵的行列式,即
22 ])([)];([ kkkkk atEtEa
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子； bjk为归一化协方差函数：
（ 2-29）
1
1
1
21
221
112
nn
n
n
bb
bb
bb
B
kj
kkjj
jk
atatE
b
])(][)({[
二,高斯过程的特性
1,若高斯过程是宽平稳的,则它也是严平稳的 。
因为正态随机过程的 n维分布仅由各随机变量的数学期望,方差和两两之间的归一化协方差函数决定,所以,如果过程是宽平稳的,即其均值与时间无关,协方差只与时间间隔有关,而与时间起点无关,则它的 n维分布也与时间起点无关,故它也是严平稳的 。
2,若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,
则它们也是统计独立的 。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,则式 （ 2-29） 中,对于所有 故式 （ 2-28
） 变为,0, jkbkj 有
);();();(
2
)(
ex p
2
1
)(
2
1
ex p
)2(
1
),,,;,,,(
2211
1
2
2
1
2
2
21
2
2121
nn
n
j j
jj
j
n
j j
jj
n
n
nn
txftxftxf
ax
ax
tttxxxf
（ 2-30）
即,高斯过程中的随机变量也是统计独立的 。
三,高斯过程的一维概率分布及其特性
1,一维正态分布若随机变量 ξ的概率密度函数可以表示为
（ 2-31）
则 ξ称之为一维正态分布的随机变量 。
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxf
2,一维正态分布的特性一维正态分布的 f(x)可以由图 2-1表示
f ( x )
x
t
2
图 2 - 2 正态分布的概率密度
2
1
可以看出 f(x)有如下特性,（ P20）
若式 （ 2-31） 中,则称这种正态分布为标准化的,此时
（ 2-32）
3,正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系根据定义,正态分布函数可表示为
1,0a
2
e x p
2
1)( 2xxf
（ 2-33）
ax
dz
az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
式中,称为概率积分函数,简称概率积分,定义为
（ 2-33）
误差函数定义为
（ 2-34）
)(x?
x dzzx 2e x p2 1)(
2
x z dzexer f 0 22)(?
称 1-erf（ x） 为补误差函数,记为 erfc（ x）,即
（ 2-35）
x
z dzexe r fxe r fc 22)(1)(
正态分布函数与误差函数和补误差函数的关系为：
（ 2-36）
（ 推导过程见 P21） 。
时当时当
ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,
22
1
2
1
)(
)382(,12212
2
)372(,22222
2
时当时当
axx
axax
e r f
axx
axax
e r f c
2.6 窄带随机过程一,窄带随机过程过程的定义窄带系统是指通带宽度,且通带的中心频率 系统 。 窄带随机过程可以表示为：
（ 2-39）
（ 2-40）
式中
（ 2-41）
分别称为 的同相分量和正交分量 。
cff
0cf
0)()](co s [)()( tatttat c
)(s i n)()(c o s)(
s i n)(s i n)(c o s)(c o s)()(
tttt
tttatttat
cscc
cc
tttat
tttat
cs
cc
s i n)(s i n)()(
c o s)(c o s)()(
)(t?
一,零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性
1,数学期望因为是 平稳的,且已假设是零均值的,故
（ 2-42）
则
（ 2-43）
)(t?
0s i n)]([c o s)]([)]([ ttEttEtE cscc
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
2,自相关函数
（ 2-44）
)(),(
)(),(
)(),(
ss
cc
RttR
RttR
RttR
（ 2-45）
（ 2-46）
综上所述,一个均值为零的窄带高斯过程,它的同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程
,而且均值都为零,方差也相同；在同一时刻 和是不相关的或统计独立的 。
)0()0()0( sc RRR
222
sc
)(tc?
)(ts?
)(tc? )(ts?
3,一维分布函数和 的二维分布密度函数为：
（ 2-47）
)(tc? )(ts?
2
22
2 2ex p2
1),(
cscsf
的一维分布为
（ 2-48）
为瑞利分布 。
的一维分布为
（ 2-49）
为均匀分布 。 且 和 是统计独立的 。
a
2
2
2 2ex p)(
aa
af
202 1)(f
a
2.7 白噪声一,白噪声的定义功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声,称之为白噪声,即
（ 2-50）
式中,n0是一个常数,单位为,瓦 /赫兹,（ W/Hz）
。
白噪声的自相关函数为
（ 2-51）
如果白噪声服从高斯分布,则称之为高斯白噪声 。
高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的,而且还是统计独立的 。
2)(
0nP
)(2)]([)( 0 nPFR
二,带限白噪声如果白噪声被限制在 （ -f0,f0） 之内,则这样的白噪声称之为带限白噪声 （ 理想低通白噪声 ）,即
（ 2-51）
其自相关函数为
（ 2-52）
f
ff
n
P
其余0
2)( 0
0
)(
2
s i n
2
)]([)(
0
00
0
0
00
200
0
Sa
n
nf
dfe
n
PFR
f
f
fj
还有一种理想带通白噪声,其功率谱为
（ 2-53）
式中,B为通带宽度 。
其自相关函数为
（ 2-54）
其余0
222)( 00
0 BBn
P
)co s)
2
(
2
2222
)]([)(
0
0
2
2
02
2
0
0
0
0
0
B
Sa
Bn
d
e
nd
e
n
PFR
B
B
j
B
B
j
白噪声,理想低通白噪声和理想带通白噪声的功率谱及其自相关函数如图 2-3所示 。
f
0
2
0
n
)(?
P
0
)(
2
0
n
)(?R
f
0
2
0
n
)(?
P
0
f?
0
f
0
0
2
1
f
)(?R
0
2
1
f
f 0
2
0
n
)(?
P
0
f? 0
f
( c )
2
0
Bn
)(?R
B
2
B
B
B
2
( b)
( a )
图 2-3 白噪声、理想低通白噪声与理想带通白噪声的功率谱密度和自相关函数
2.8 正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰,窄带高斯噪声是经常遇到的噪声干扰 。 假设发送的信号为正弦波,干扰为窄带高斯噪声,则其混合信号可表示为：
(2-55)
式中,为窄带高斯过程,其均值为零；正弦波的 在 上均匀分布,且假定振幅 A和频率 已知 。 我们关心的是接收信号 r(t)的包络和相位的概率密度函数 。
ttzttz
ttyAttxA
ttyttxtA
tntAtr
cscc
cc
ccc
c
s i n)(c o s)(
s i n)](s i n[c o s)](c o s[
]s i n)(c o s)([)c o s (
)()c o s ()(
ttyttxtn cc s i n)(c o s)()(
)2,0(?
c?
信号 r(t)的包络和相位分别为
(2-56)
(2-57)
r(t)的包络的概率密度函数为 （ 具体推导略,见
P26~28）
（ 2-58）
为零阶修正贝塞尔函数。此概率密度函数称之为广义瑞利分布，也称莱斯（ Rice）密度函数。
)()(
)](s i n[)](c o s[)(
22
22
tztz
tyAtxAtz
sc
)(
)(a r c t a n)(
tz
tzt
c
s
0)(2 1ex p)( 202222 zAzIAzzzf
)(0 xI
（ 1） 当 A=0时,只有噪声 n(t),式 （ 2-58） 与式 （ 2-
58） 一致,即为瑞利分布；
（ 2） 当 A远大于 n(t)时,即大信噪比时
（ 2-59）
为高斯分布 。
r(t)的相位的概率密度函数为 （ 具体推导略,见
P26~28）
（ 2-60）
当信噪比很大时,相位分布集中于正弦信号本身的相位附近；在信噪比很小时,接近于均匀分布 。
02 )(e x p
2
1)(
2
2
zAzzf
2020 )()/(),()( dffdff
2.9 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析方法可以用确定信号通过线性系统的方法进行分析,因为随机过程的一个实现加到线性系统的输入端,则必将获得一个系统响应 。
因此,只要输入有界且系统是物理可实现的,则当输入是随机过程 时,便有输出随机过程,且有对随机过程,我们关心的是它的统计特性 。
1,的数学期望输出过程的数学期望与 t无关。 为常数,为 h(t)的傅立叶变换。
)(ti? )(to?
)612()()()()()()()( 0 t iiio dthdththtt
)(to?
)622()0()]([ HtE io
)]([)]([ tEtE iii
0 )()( dtethH tj
2,的自相关函数
（ 2-63）
自相关函数只依赖于时间间隔,而与时间起点无关 。
基于 1,2两点,此时输出过程是宽平稳的 。
3,的功率谱密度
（ 2-64）
4,的分布在给定输入过程分布的情况下,原理上可以求得输出过程的分布 。 一种十分有用的结论是：高斯过程经过线性变换后的过程仍然是高斯过程 。
)(to?
)()()()(
)]()([),( 1111
oi
ooo
RddRhh
ttEttR
)(to?
)()()()( 20 iPHdeRP jo
)(to?
作业,P31~33：习题 2-2,2-3,2-6，
2-7,2-8,2-14
2.1 引 言
l 随机信号和随机噪声的基本概念随机信号,实际通信系统中由信源发出的信息是随机的,或者说是不可预知的,因而携带信息的信号也是随机的,这种具有随机性的信号,称为 随机信号 。
随机噪声,携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染,而噪声也是随机的,称为 随机噪声 。
随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述,但它们都遵循一定的统计规律,我们可以用概率统计的方法进行研究 。
一,随机变量及其统计特性
1,随机变量的概念某随机实验可能有许多个结果,我们可以引入一变量 X,它将随机地取某些数值,用这些数值来表示各个可能的结果,这一变量 X就称之为随机变量 。
当随机变量 X的取值个数是有限的或可数无穷个时,则称它为 离散随机变量 ；否则,就称它为 连续随机变量,即可能的取值充满某一有限或无限区间 。
如果一个随机实验需要用多个随机变量 （ X1
,X2,…,Xn） 表示,则多个随机变量 （ X1,X2
,…,Xn） 的总体称之为 n维随机变量 。
2.2 随机过程的一般描述
2．随机变量的概率分布函数和概率密度函数用 P(X≤x)表示 X的取值不大于 x的概率,则定义函数为随机变量 X的 概率分布函数 。 这里,X可以是离散随机变量,也可以是连续随机变量 。
)12()()( xXPxF
若 X是连续随机变量,对于一非负函数 f（ x）
有下式成立则 f（ x） 称之为 X的 概率密度函数 （ 简称 概率密度 ） 。
)22()()( duufxF x
也可表示为对二维随机变量 （ X,Y）,我们把两个事件 （ X≤x） 和 （ Y≤y） 同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数同样，
称之为 二维概率密度 。
)32()()( xFdxdxf
)42(),(),( yYxXPyxF
)52(),(),(
2
yxF
yx
yxf
1,随机变量的数字特征
（ 1） 数学期望,反映了随机变量取值的集中位置 （ 均值 ）
设 P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量 X的取值
xi的概率,则其数学期望为对于连续随机变量 X,设 f(x)为其概率密度函数,则则其数学期望为
)62()(}{
1
K
i
ii xPxXE
)72()(}{
dxxxfXE
（ 2） 方差,反映了随机变量的集中程度；
方差定义为：
式中 m=E{X}。 而方差的平方根又称为均方差或标准偏差 。
（ 3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。
对两个随机变量 X,Y定义为 X,Y的 相关矩 或 协方差 。
)82()()(}){(}{ 222 dxxfmxmXEXD?
)92(),())(()})({( d x d yyxfmYmxmYmXE YXYX
[例 2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：
362
)()()(
0
42
)()(
0
2
1
)(
232
2
2
a
a
x
dx
a
x
dxxfmxxD
a
x
dx
a
x
dxxxfxE
x
axa
axf
a
a
a
a
a
a
a
a
解：
其它而 X,Y的归一化相关矩,称之为 X,Y的 相关系数,
定义为二,随机过程及其统计特性
1,随机过程的概念定义：设随机实验 E的可能结果为 ξ(t),实验的样本空间 S为 { x1(t),x2(t),…,xi(t)},i为正整数,xi(t)为第 i个样本函数 （ 又称之为实现 ）,每次实验之后,ξ(t)取空间 S
中的某一样本函数,于是称此 ξ(t)为随机函数 。 当 t代表时间量时,则称此 ξ(t)为 随机过程 。
)102(
}){(}){(
)})({( 11
22
YXYX
YX u
mYEmXE
mYmXE
如对同一台通信机作了 n次观测，得到的结果是不相同的，如图 2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻 ti这 n次观测的记录结果，可以由随机变量
X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果的集合 ξ(t)={ X(t1),X(t2),…,X(ti)，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个随机变量表述。
x
1
( t )
t
x
2
( t )
t
x
n
( t )
t
t
1 t 2
图 2 - 1 通信机的输出噪声波形
2,随机过程的概率分布函数和概率密度函数设 ξ(t)为一随机过程,则 ξ(t1)为一随机变量,此随机变量的分布函数为称之为随机过程 ξ(t)的一维分布函数 。 如果存在,则称为随机过程 ξ(t)的一维概率密度函数
。
)112(})({),( 11111 xtPtxF?
)122(),(),( 111
1
111
txf
x
txF
一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的,通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数 。
ξ(t)的 n维分布函数定义为如果存在,则称之为随机过程 ξ(t)的 n维概率密度函数 。
)132(})(,,)(,)({
),,,;,,,(
2211
21211
nn
nn
xtxtxtP
tttxxxF
)142(),,,;,,,(
),,,;,,,(
21211
21
21211
nn
n
nn
tttxxxf
xxx
tttxxxF
1,随机过程的统计特性 （ 数字特征 ）
（ 1） 数学期望：随机过程 ξ(t)的数学期望定义为它本该在 t1时刻求得,但 t1是任意的,所以它是时间的函数 。
（ 2） 方差：随机过程 ξ(t)的方差定义为：
)152(),()}({)( 1 dxtxxftEta?
)162(),()]([}) ] }([)({{)}({)( 1222 dxtxftaxtEtEtDt
)172()]([),(
),()]([),()(2),(
),()]([),()(2),(
2
1
2
1
2
11
2
1
2
11
2
tadxtxfx
dxtxftadxtxxftadxtxfx
dxtxftadxtxftxadxtxfx
（ 3） 协方差函数和相关函数：
协方差函数定义为相关函数定义为从式 （ 2-18） 和式 （ 2-19） 可以得到 B（ t1,t2）
和 R（ t1,t2） 之间的关系：
)182(),;,()]() ] [([
) ] }()() ] [()({[),(
21212122211
221121
dxdxttxxftaxtax
tattatEttB
)192(),;,(
)]()([),(
212121221
2121
dxdxttxxfxx
ttEttR
)202()]([)]([),(),( 212121 tEtEttRttB
由于 B（ t1,t2） 和 R（ t1,t2） 是衡量同一随机过程的相关程度的,所以,它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数 。
若对于两个或多个随机过程,可以有互协方差函数和互相关函数描述 。 设 ξ(t)和 η(t)表示两个随机过程,则互协方差函数和互相关函数分别定义为
)212() ] }()() ] [()({[),( 221121 tattatEttB
)222()]()([),( 2121 ttEttR
可以看出,随机过程的统计特性原则上都与时间 t有关,是时间的函数 。 而对于相关函数 R（ t1,t2）,若取
t2= t1+τ,即 τ是 t2和 t1之间的时间间隔,则 R（ t1,t2） 可表示为 R（ t1,t1+τ）,而 t1是任意的,R（ t1,t1+τ） 可以表示为 R（ t,t+τ）,这说明,相关函数是起始时刻 t和时间间隔 τ的函数 。
2.3 平稳随机过程平稳随机过程是指它的任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 。 即：对于任意的正整数 n和任意实数 t1,t2,...,tn,τ,随机过程 ξ(t)的 n维概率密度函数满足则称 ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
因为，
所以它的一维分布与 t无关；又所以它的二维分布只与时间间隔 τ有关。
)232(),,,;,,,(
),,,;,,,(
2121
2121
nnn
nnn
tttxxxf
tttxxxf
)(),(),( 11111 xftxftxf
);,(),;,(),;,( 2122121221212 xxfttxxfttxxf
平稳随机过程的数学期望为平稳随机过程的方差为由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即满足式（ 2-24） ~（ 2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
)242()(),()}({)( 11 adxxxfdxtxxftEta?
)252()(][
),()]([)}({)(
2
1
2
1
22
dxxfax
dxtxftaxtDt
)262()();,(
)]()([),(
2121221
1111
Rdxdxxxfxx
ttEttR
对平稳随机过程 ξ(t),如果它的数字特征与某一样本 x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：
)()()([
1
lim)]()([)(
)272(])([
1
lim}])({[
)(
1
lim)]([
2
2
21
22
2
222
2
2
Rdttxtx
T
ttER
dtatx
T
tE
adttx
T
tEa
T
T
T
T
T
T
T
T
T
则称平稳随机过程 ξ(t)具有各态历经性 。 由式 （ 2-27）
可知,各台历经的随机过程,就其数字特征而言,无需无限次的考察,而只需获得一次考察,从而使,统计平均,化为,时间平均,,简化了计算 。
[例 2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程 。 其中,是常数,相位 是在 上均匀分布的随机变量 。
)c o s ()( 0 tAts0,?A2~0
)c o s ()( 0 tAts
0,?A?
2~0
2
)(2c o s1
2
)]c o s ([)]()([)(
0s i n
2
1
s i nc o s
2
1
c o s
)}{ s i ns i n}{ c o sc o s
)}s i ns i nc o s{ c o s)}c o s ({)(
2
0
2
2
0
22
2
0
0
2
0
0
00
000
A
tE
A
tAEtmtsEt
dtAdtA
tEAtEA
ttAEtAEtm
证明：
是广义平稳随机过程。
以，仅与时间间隔有关，所而均与时间无关，和、可见，
)()(),(
),()()(
)(c o s
2
)}22{ c o s (
2
c o s
2
)}22c o s ({ c o s
2
)]})(c o s [)c o s ({),(
2
0
2
00
2
0
2
000
2
00
tsRttR
ttRttm
R
A
tE
AA
tE
A
tAtAEttR
平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以由相关函数描述；另一方面，相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。
一,平稳随机过程的相关函数及其性质设 ξ(t) 实平稳随机过程,其自相关函数具有如下性质,（ P16~17）
2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度
（ 1） R(0)为 ξ(t)的平均功率,（ 2-28）
（ 2） R(τ)为偶函数,（ 2-29）
（ 3） R(0)为 R(τ)的上界,（ 2-30）
（ 4） 为 ξ(t)的直流功率,（ 2-31）
（ 5） 为 ξ(t)的交流功率（方差）：
（ 2-32）
stER )]([)0( 2?
)()( RR
)0()( RR
)(?R )]([)( 2 tER
)()0( RR
2)()0( RR
确定信号的自相关函数 与其功率谱 之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程 ξ(t)的自相关函数与其功率谱之间也互为傅立叶变换关系，即
（ 2-27）
上式也称之为维纳 -辛钦定理 （ 具体推倒过程详见 P17~18） 。
)(?R
dePR
deRP
j
j
)(
2
1
)(
)()(
二、平稳随机过程的频谱特性 —— 功率谱密度和相关函数之间的关系
2.5 高斯过程一,高斯过程的定义若随机过程 ξ(t)的任意 n维概率密度函数满足：
则 ξ(t)为高斯过程 （ 正态随机过程 ） 。
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nn
axax
tttxxxf
1 12
1
21
2
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
B
BB?
式中 ； |B|为归一化协方差矩阵的行列式,即
22 ])([)];([ kkkkk atEtEa
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子； bjk为归一化协方差函数：
（ 2-29）
1
1
1
21
221
112
nn
n
n
bb
bb
bb
B
kj
kkjj
jk
atatE
b
])(][)({[
二,高斯过程的特性
1,若高斯过程是宽平稳的,则它也是严平稳的 。
因为正态随机过程的 n维分布仅由各随机变量的数学期望,方差和两两之间的归一化协方差函数决定,所以,如果过程是宽平稳的,即其均值与时间无关,协方差只与时间间隔有关,而与时间起点无关,则它的 n维分布也与时间起点无关,故它也是严平稳的 。
2,若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,
则它们也是统计独立的 。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,则式 （ 2-29） 中,对于所有 故式 （ 2-28
） 变为,0, jkbkj 有
);();();(
2
)(
ex p
2
1
)(
2
1
ex p
)2(
1
),,,;,,,(
2211
1
2
2
1
2
2
21
2
2121
nn
n
j j
jj
j
n
j j
jj
n
n
nn
txftxftxf
ax
ax
tttxxxf
（ 2-30）
即,高斯过程中的随机变量也是统计独立的 。
三,高斯过程的一维概率分布及其特性
1,一维正态分布若随机变量 ξ的概率密度函数可以表示为
（ 2-31）
则 ξ称之为一维正态分布的随机变量 。
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxf
2,一维正态分布的特性一维正态分布的 f(x)可以由图 2-1表示
f ( x )
x
t
2
图 2 - 2 正态分布的概率密度
2
1
可以看出 f(x)有如下特性,（ P20）
若式 （ 2-31） 中,则称这种正态分布为标准化的,此时
（ 2-32）
3,正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系根据定义,正态分布函数可表示为
1,0a
2
e x p
2
1)( 2xxf
（ 2-33）
ax
dz
az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
式中,称为概率积分函数,简称概率积分,定义为
（ 2-33）
误差函数定义为
（ 2-34）
)(x?
x dzzx 2e x p2 1)(
2
x z dzexer f 0 22)(?
称 1-erf（ x） 为补误差函数,记为 erfc（ x）,即
（ 2-35）
x
z dzexe r fxe r fc 22)(1)(
正态分布函数与误差函数和补误差函数的关系为：
（ 2-36）
（ 推导过程见 P21） 。
时当时当
ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,
22
1
2
1
)(
)382(,12212
2
)372(,22222
2
时当时当
axx
axax
e r f
axx
axax
e r f c
2.6 窄带随机过程一,窄带随机过程过程的定义窄带系统是指通带宽度,且通带的中心频率 系统 。 窄带随机过程可以表示为：
（ 2-39）
（ 2-40）
式中
（ 2-41）
分别称为 的同相分量和正交分量 。
cff
0cf
0)()](co s [)()( tatttat c
)(s i n)()(c o s)(
s i n)(s i n)(c o s)(c o s)()(
tttt
tttatttat
cscc
cc
tttat
tttat
cs
cc
s i n)(s i n)()(
c o s)(c o s)()(
)(t?
一,零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性
1,数学期望因为是 平稳的,且已假设是零均值的,故
（ 2-42）
则
（ 2-43）
)(t?
0s i n)]([c o s)]([)]([ ttEttEtE cscc
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
2,自相关函数
（ 2-44）
)(),(
)(),(
)(),(
ss
cc
RttR
RttR
RttR
（ 2-45）
（ 2-46）
综上所述,一个均值为零的窄带高斯过程,它的同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程
,而且均值都为零,方差也相同；在同一时刻 和是不相关的或统计独立的 。
)0()0()0( sc RRR
222
sc
)(tc?
)(ts?
)(tc? )(ts?
3,一维分布函数和 的二维分布密度函数为：
（ 2-47）
)(tc? )(ts?
2
22
2 2ex p2
1),(
cscsf
的一维分布为
（ 2-48）
为瑞利分布 。
的一维分布为
（ 2-49）
为均匀分布 。 且 和 是统计独立的 。
a
2
2
2 2ex p)(
aa
af
202 1)(f
a
2.7 白噪声一,白噪声的定义功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声,称之为白噪声,即
（ 2-50）
式中,n0是一个常数,单位为,瓦 /赫兹,（ W/Hz）
。
白噪声的自相关函数为
（ 2-51）
如果白噪声服从高斯分布,则称之为高斯白噪声 。
高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的,而且还是统计独立的 。
2)(
0nP
)(2)]([)( 0 nPFR
二,带限白噪声如果白噪声被限制在 （ -f0,f0） 之内,则这样的白噪声称之为带限白噪声 （ 理想低通白噪声 ）,即
（ 2-51）
其自相关函数为
（ 2-52）
f
ff
n
P
其余0
2)( 0
0
)(
2
s i n
2
)]([)(
0
00
0
0
00
200
0
Sa
n
nf
dfe
n
PFR
f
f
fj
还有一种理想带通白噪声,其功率谱为
（ 2-53）
式中,B为通带宽度 。
其自相关函数为
（ 2-54）
其余0
222)( 00
0 BBn
P
)co s)
2
(
2
2222
)]([)(
0
0
2
2
02
2
0
0
0
0
0
B
Sa
Bn
d
e
nd
e
n
PFR
B
B
j
B
B
j
白噪声,理想低通白噪声和理想带通白噪声的功率谱及其自相关函数如图 2-3所示 。
f
0
2
0
n
)(?
P
0
)(
2
0
n
)(?R
f
0
2
0
n
)(?
P
0
f?
0
f
0
0
2
1
f
)(?R
0
2
1
f
f 0
2
0
n
)(?
P
0
f? 0
f
( c )
2
0
Bn
)(?R
B
2
B
B
B
2
( b)
( a )
图 2-3 白噪声、理想低通白噪声与理想带通白噪声的功率谱密度和自相关函数
2.8 正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰,窄带高斯噪声是经常遇到的噪声干扰 。 假设发送的信号为正弦波,干扰为窄带高斯噪声,则其混合信号可表示为：
(2-55)
式中,为窄带高斯过程,其均值为零；正弦波的 在 上均匀分布,且假定振幅 A和频率 已知 。 我们关心的是接收信号 r(t)的包络和相位的概率密度函数 。
ttzttz
ttyAttxA
ttyttxtA
tntAtr
cscc
cc
ccc
c
s i n)(c o s)(
s i n)](s i n[c o s)](c o s[
]s i n)(c o s)([)c o s (
)()c o s ()(
ttyttxtn cc s i n)(c o s)()(
)2,0(?
c?
信号 r(t)的包络和相位分别为
(2-56)
(2-57)
r(t)的包络的概率密度函数为 （ 具体推导略,见
P26~28）
（ 2-58）
为零阶修正贝塞尔函数。此概率密度函数称之为广义瑞利分布，也称莱斯（ Rice）密度函数。
)()(
)](s i n[)](c o s[)(
22
22
tztz
tyAtxAtz
sc
)(
)(a r c t a n)(
tz
tzt
c
s
0)(2 1ex p)( 202222 zAzIAzzzf
)(0 xI
（ 1） 当 A=0时,只有噪声 n(t),式 （ 2-58） 与式 （ 2-
58） 一致,即为瑞利分布；
（ 2） 当 A远大于 n(t)时,即大信噪比时
（ 2-59）
为高斯分布 。
r(t)的相位的概率密度函数为 （ 具体推导略,见
P26~28）
（ 2-60）
当信噪比很大时,相位分布集中于正弦信号本身的相位附近；在信噪比很小时,接近于均匀分布 。
02 )(e x p
2
1)(
2
2
zAzzf
2020 )()/(),()( dffdff
2.9 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析方法可以用确定信号通过线性系统的方法进行分析,因为随机过程的一个实现加到线性系统的输入端,则必将获得一个系统响应 。
因此,只要输入有界且系统是物理可实现的,则当输入是随机过程 时,便有输出随机过程,且有对随机过程,我们关心的是它的统计特性 。
1,的数学期望输出过程的数学期望与 t无关。 为常数,为 h(t)的傅立叶变换。
)(ti? )(to?
)612()()()()()()()( 0 t iiio dthdththtt
)(to?
)622()0()]([ HtE io
)]([)]([ tEtE iii
0 )()( dtethH tj
2,的自相关函数
（ 2-63）
自相关函数只依赖于时间间隔,而与时间起点无关 。
基于 1,2两点,此时输出过程是宽平稳的 。
3,的功率谱密度
（ 2-64）
4,的分布在给定输入过程分布的情况下,原理上可以求得输出过程的分布 。 一种十分有用的结论是：高斯过程经过线性变换后的过程仍然是高斯过程 。
)(to?
)()()()(
)]()([),( 1111
oi
ooo
RddRhh
ttEttR
)(to?
)()()()( 20 iPHdeRP jo
)(to?
作业,P31~33：习题 2-2,2-3,2-6，
2-7,2-8,2-14
