2009/8/21 海南大学 信息学院
9.4 线性分组码
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1、线性分组码
（ 1）任意两许用码组之和（模 2和）仍为一许用码组。（封闭性）
（ 2）码的最小距离等于非零码的最小重量。
线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方程联系起来的。线性码建立在代数学群论基础上，
线性码各许用码组的集合构成代数学中的群，因此，
又称群码。
2、主要性质
2009/8/21 海南大学 信息学院一般，由 r 个监督方程式计算得 r 个校正子，
可以用来指示 2r-1 种错误，对于一位误码来说，
就可以指示 2r-1 个误码位置。对于 (n,k)码，如果满足 2r-1≥n 则可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
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9.4 线性分组码
3、奇偶监督码 —— 最简单的线性码
S 称为 校正子,又称 伴随式 。 S = 0 无错，
S=1 有错。
021 aaaS nn偶校验时,
2009/8/21 海南大学 信息学院例：设分组码 （ n,k）中 k=4，为纠正一位错码，要求 r≥3,则 n=k+r=7。
S1S2S3 错码位置 S1S2S3 错码位置
0 0 1 a0 1 0 1 a4
0 1 0 a1 1 1 0 a5
1 0 0 a2 1 1 1 a6
0 1 1 a3 0 0 0 无错
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9.4 线性分组码校正子 S1S2S3的值与错码位置的对应关系表
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9.4 线性分组码
24561 aaaaS
13562 aaaaS
03463 aaaaS
4562 aaaa
3561 aaaa
3460 aaaa
计算监督位模 2加
判断错码位置
计算监督位（无错码时，校正子为 0）
4、线性分组码的构造
2009/8/21 海南大学 信息学院 Return Back Next
9.4 线性分组码按上述方法构造的纠正单个错误的线性分组码称为 汉明码 。
码长 n=2r – 1 信息位 k= 2r – 1 – r 监督位 r
编码效率 =
n
rrr
n
k
rr
r
112112 12
从而给定信息位后，可直接按上式算出监督位，构造出线性分组码（见 P289 表 9-5）。
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9.4 线性分组码计算监督位的方程租改写为,00010111
0123456 aaaaaaa 00101011
0123456 aaaaaaa 01001101
0123456 aaaaaaa
表示成矩阵形式
1001101
0101011
0010111
0
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
a
=?
0
0
P Ir
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9.4 线性分组码简记为 或
H称为 监督矩阵,H确定，则编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。
TTHA 0? 0?TAH
0
1
2
a
a
a
=?
1101
1011
0111
3
4
5
6
a
a
a
a
P为 r × k 阶,Ir 为 r × r 阶单位方阵，具有 [ P Ir ]形式的 H矩阵称为 典型阵 。
还可以写成：
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9.4 线性分组码或
012 aaa3456 aaaa
110
101
011
111
3456 aaaa? Q
阶rkPQ T
给定信息位后，用信息位的行矩阵乘矩阵 Q
就产生出监督位。
2009/8/21 海南大学 信息学院由典型生成矩阵得出的码组 A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为 系统码 。
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9.4 线性分组码具有 形式的生成矩阵称为 典型生成矩阵 。?QIG k?
QIG k? — 生成矩阵
0123456 aaaaaaa3456 aaa? G
3456 aaaaA? G
将 Q的左边加上一 k?k 阶单位方阵就构成矩阵
G：
2009/8/21 海南大学 信息学院发送码组 A在传输过程中可能发生误码，设接收到的码组为 B =[ bn-1 bn-2 … b0]
E= [ en-1 en-2 … e0] 错码行矩阵 — 错误图样
ii
ii
i ab
ab
e
当当
1
0
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9.4 线性分组码
5、错误图样与校正子之间的关系则 B – A = E
也可写作 B = A+E
2009/8/21 海南大学 信息学院接收端计算校正子为：
TTT
TT
EHEHAH
HEABHS
）（
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9.4 线性分组码错误图样与校正子之间有确定的关系，式中，
S 只与 E 有关，而与 A 无关，若 S 和 E 之间一一对应，则 S 将代表错码的位置 。
2009/8/21 海南大学 信息学院例,设 且有 3
个接收码组
（ 1）验证 3个接收码组是否发生差错？
（ 2）若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？
100101
010110
001011
H
1011101?B
1101012?B110000
3?B
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9.4 线性分组码
2009/8/21 海南大学 信息学院解：（ 1）若无错，则错误图样为 0,S 为 0000
11 THBS B1无错
10122 THBS B2错
11033 THBS B3错
（ 2） ∵ S2为 H 的第 1列
∴ E = [1 0 0 0 0 0] 第 1位错同理 S3 为 H 的第 3列
∴ E=[0 0 1 0 0 0] 第 3位错
TEHS?
9.4 线性分组码
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1、线性分组码
（ 1）任意两许用码组之和（模 2和）仍为一许用码组。（封闭性）
（ 2）码的最小距离等于非零码的最小重量。
线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方程联系起来的。线性码建立在代数学群论基础上，
线性码各许用码组的集合构成代数学中的群，因此，
又称群码。
2、主要性质
2009/8/21 海南大学 信息学院一般，由 r 个监督方程式计算得 r 个校正子，
可以用来指示 2r-1 种错误，对于一位误码来说，
就可以指示 2r-1 个误码位置。对于 (n,k)码，如果满足 2r-1≥n 则可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
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9.4 线性分组码
3、奇偶监督码 —— 最简单的线性码
S 称为 校正子,又称 伴随式 。 S = 0 无错，
S=1 有错。
021 aaaS nn偶校验时,
2009/8/21 海南大学 信息学院例：设分组码 （ n,k）中 k=4，为纠正一位错码，要求 r≥3,则 n=k+r=7。
S1S2S3 错码位置 S1S2S3 错码位置
0 0 1 a0 1 0 1 a4
0 1 0 a1 1 1 0 a5
1 0 0 a2 1 1 1 a6
0 1 1 a3 0 0 0 无错
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9.4 线性分组码
24561 aaaaS
13562 aaaaS
03463 aaaaS
4562 aaaa
3561 aaaa
3460 aaaa
计算监督位模 2加
判断错码位置
计算监督位（无错码时，校正子为 0）
4、线性分组码的构造
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9.4 线性分组码按上述方法构造的纠正单个错误的线性分组码称为 汉明码 。
码长 n=2r – 1 信息位 k= 2r – 1 – r 监督位 r
编码效率 =
n
rrr
n
k
rr
r
112112 12
从而给定信息位后，可直接按上式算出监督位，构造出线性分组码（见 P289 表 9-5）。
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9.4 线性分组码计算监督位的方程租改写为,00010111
0123456 aaaaaaa 00101011
0123456 aaaaaaa 01001101
0123456 aaaaaaa
表示成矩阵形式
1001101
0101011
0010111
0
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
a
=?
0
0
P Ir
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9.4 线性分组码简记为 或
H称为 监督矩阵,H确定，则编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。
TTHA 0? 0?TAH
0
1
2
a
a
a
=?
1101
1011
0111
3
4
5
6
a
a
a
a
P为 r × k 阶,Ir 为 r × r 阶单位方阵，具有 [ P Ir ]形式的 H矩阵称为 典型阵 。
还可以写成：
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9.4 线性分组码或
012 aaa3456 aaaa
110
101
011
111
3456 aaaa? Q
阶rkPQ T
给定信息位后，用信息位的行矩阵乘矩阵 Q
就产生出监督位。
2009/8/21 海南大学 信息学院由典型生成矩阵得出的码组 A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为 系统码 。
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9.4 线性分组码具有 形式的生成矩阵称为 典型生成矩阵 。?QIG k?
QIG k? — 生成矩阵
0123456 aaaaaaa3456 aaa? G
3456 aaaaA? G
将 Q的左边加上一 k?k 阶单位方阵就构成矩阵
G：
2009/8/21 海南大学 信息学院发送码组 A在传输过程中可能发生误码，设接收到的码组为 B =[ bn-1 bn-2 … b0]
E= [ en-1 en-2 … e0] 错码行矩阵 — 错误图样
ii
ii
i ab
ab
e
当当
1
0
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9.4 线性分组码
5、错误图样与校正子之间的关系则 B – A = E
也可写作 B = A+E
2009/8/21 海南大学 信息学院接收端计算校正子为：
TTT
TT
EHEHAH
HEABHS
）（
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9.4 线性分组码错误图样与校正子之间有确定的关系，式中，
S 只与 E 有关，而与 A 无关，若 S 和 E 之间一一对应，则 S 将代表错码的位置 。
2009/8/21 海南大学 信息学院例,设 且有 3
个接收码组
（ 1）验证 3个接收码组是否发生差错？
（ 2）若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？
100101
010110
001011
H
1011101?B
1101012?B110000
3?B
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9.4 线性分组码
2009/8/21 海南大学 信息学院解：（ 1）若无错，则错误图样为 0,S 为 0000
11 THBS B1无错
10122 THBS B2错
11033 THBS B3错
（ 2） ∵ S2为 H 的第 1列
∴ E = [1 0 0 0 0 0] 第 1位错同理 S3 为 H 的第 3列
∴ E=[0 0 1 0 0 0] 第 3位错
TEHS?
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