第2章 随机信号分析
2.1 引 言
实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也是随机的，这种具有随机性的信号，称为随机信号。
携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染，而噪声也是随机的，称为随机噪声。
随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述，但它们都遵循一定的统计规律，我们可以用概率统计的方法进行研究 。
虽然随机信号和随机噪声都具有不可预测的波形特点，但两者的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力，而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。但随机信号和随机噪声的统计特性有许多差异，这样我们可以利用这种差异在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量从信号中恢复所携带的信息。
随机信号和随机噪声的数学模型是随机过程，本章将以此作为理论基础，对随机信号和噪声的特性进行描述，讨论它们通过线性系统的基本分析方法。
2.2 随机过程的一般描述随机变量及其统计特性随机变量的概念某随机实验可能有许多个结果，我们可以引入一变量X，它将随机地取某些数值，用这些数值来表示各个可能的结果，这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。
如，掷一硬币出现正面用数值1表示，出现反面用数值0表示，则用X={0，1}来表示掷硬币的结果，那么X为1还是为0在具体实验之前是不能确定的，所以称之为随机变量；又因为它的取值只能为1和0两个数值，是可数的，所以是离散随机变量。
又如，正弦振荡器开机起振的初始相位值，可能是0~360度的任意值，用X=[0，360]表示对其测量的结果，则X称之为连续随机变量。
如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1，X2，…，Xn）的总体称之为n维随机变量。
随机变量的概率分布函数和概率密度函数用P(X≤x)表示X的取值不大于x的概率，则定义函数
（2-1）
为随机变量X的概率分布函数。这里，X可以是离散随机变量，也可以是连续随机变量。
若X是连续随机变量，对于一非负函数f（x）有下式成立
（2-2）
则f（x）称之为X的概率密度函数（简称概率密度）。也可表示为
（2-3）
对二维随机变量（X，Y），我们把两个事件（X≤x）和（Y≤y）同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数
（2-4）
同样，
（2-5）
称之为二维概率密度。
随机变量的数字特征若要完整地描述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分布函数或概率密度函数，而在实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的特征——数字特征。我们经常用到的数字特征有数学期望：反映了随机变量取值的集中位置（均值）
设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量X的取值xi的概率，则其数学期望为
（2-6）
对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度函数，则则其数学期望为
（2-7）
方差：反映了随机变量的集中程度；
方差定义为：
（2-8）
式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标准偏差。
两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。
对两个随机变量X，Y定义
（2-9）
为X，Y的相关矩或协方差。而X，Y的归一化相关矩，称之为X，Y的相关系数，定义为
（2-10）
[例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：
随机过程及其统计特性随机过程的概念定义：设随机实验E的可能结果为ξ(t)，实验的样本空间S为{ x1(t),x2(t),…,xi(t)}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称之为实现），每次实验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当t代表时间量时，则称此ξ(t)为随机过程。
如有n台性能一样的通信机，工作条件也一样，用n部记录仪记录各部通信机的输出噪声波形（这也可以理解为对同一台通信机作了n次观测），得到的结果是不相同的，如图2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻ti这n台通信机的记录结果，可以由随机变量X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果的集合ξ(t)={ X(t1)，X(t2)，…，X(ti)，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个随机变量表述。
随机过程的概率分布函数和概率密度函数设ξ(t)为一随机过程，则ξ(t1)为一随机变量，此随机变量的分布函数为
（2-11）
称之为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果
（2-12）
存在，则称为随机过程ξ(t)的一维概率密度函数。
一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。ξ(t)的n维分布函数定义为
（2-13）
如果
（2-14）
存在，则称之为随机过程ξ(t)的n维概率密度函数。
随机过程的统计特性（数字特征）
数学期望：随机过程ξ(t)的数学期望定义为
（2-15）
它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间的函数。
方差：随机过程ξ(t)的方差定义为：
（2-16）
（2-17）
协方差函数和相关函数：
协方差函数定义为
（2-18）
相关函数定义为
（2-19）
从式（2-18）和式（2-19）可以得到B（t1，t2）和R（t1，t2）之间的关系：
（2-20）
由于B（t1，t2）和R（t1，t2）是衡量同一随机过程的相关程度的，所以，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。
若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t)表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为
（2-21）
（2-22）
可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t有关，是时间的函数。而对于相关函数R（t1，t2），若取t2= t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+τ），而t1是任意的，R（t1，t1+τ）可以表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时刻t和时间间隔τ的函数。
2.3 平稳随机过程在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程，因为在通信系统中所遇到的信号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。
平稳随机过程的概念平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足
（2-23）
则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为，所以它的一维分布与t无关；又，，所以它的二维分布只与时间间隔τ有关。
平稳随机过程的数学期望为
（2-24）
平稳随机过程的方差为
（2-25）
由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即
（2-26）
满足式（2-24）~（2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
而从本质上说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以认为此随机过程是平稳的。如，在稳定的环境工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一旦我们确定某一随机过程是平稳的，我们就可以在任意时刻测定它的统计特性。
平稳随机过程的各态历经性对平稳随机过程ξ(t)，如果它的数字特征与某一样本x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：
（2-27）
则称平稳随机过程ξ(t)具有各态历经性。“各态历经”的意思是说，从随机过程得到的任一实现，它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式（2-27）可知，各台历经的随机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平均”化为“时间平均”，简化了计算。
只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，所以具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程；但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。
[例2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程。其中，是常数，相位是在上均匀分布的随机变量。
2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以由相关函数描述；另一方面，相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。
平稳随机过程的相关函数及其性质设ξ(t) 实平稳随机过程，其自相关函数具有如下性质：（P16~17）
（1）R(0)为ξ(t)的平均功率, （2-28）
（2）R(τ)为偶函数, （2-29）
（3）R(0)为R(τ)的上界, （2-30）
（4）为ξ(t)的直流功率, （2-31）
（5）为ξ(t)的交流功率（方差）, （2-32）
平稳随机过程的频谱特性——功率谱密度和相关函数之间的关系确定信号的自相关函数与其功率谱之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程ξ(t)的自相关函数与其功率谱之间也互为傅立叶变换关系，即
（2-27）
上式也称之为维纳-辛钦定理（具体推倒过程详见P17~18）。
2.5 高斯过程高斯过程的定义若随机过程ξ(t)的任意n维概率密度函数满足：
（2-28）
则ξ(t)为高斯过程（正态随机过程）。
式中；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数：
（2-29）
高斯过程的特性若高斯过程是宽平稳的，则它也是严平稳的。
因为正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定，所以，如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则它们也是统计独立的。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则式（2-29）中，对于所有故式（2-28）变为
（2-30）
即，高斯过程中的随机变量也是统计独立的。
高斯过程的一维概率分布及其特性一维正态分布
若随机变量ξ的概率密度函数可以表示为
（2-31）
则ξ称之为一维正态分布的随机变量。
一维正态分布的特性
一维正态分布的f(x)可以由图2-1表示
可以看出f(x)有如下特性：（P20）
若式（2-31）中，则称这种正态分布为标准化的，此时
（2-32）
正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系
根据定义，正态分布函数可表示为
（2-33）
式中，称为概率积分函数，简称概率积分，定义为
（2-33）
误差函数定义为
（2-34）
称1-erf（x）为补误差函数，记为erfc（x），即
（2-35）
正态分布函数与误差函数和补误差函数的关系为：
（2-36）
（推导过程见P21）。
2.6 窄带随机过程窄带随机过程过程的定义窄带系统是指通带宽度，且通带的中心频率系统。窄带随机过程可以表示为：
（2-39）
（2-40）
式中
（2-41）
分别称为的同相分量和正交分量。
零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性数学期望
因为是平稳的，且已假设是零均值的，故
（2-42）
则
（2-43）
自相关函数
（2-44）
（2-45）
（2-46）
综上所述，一个均值为零的窄带高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻和是不相关的或统计独立的。
一维分布函数
和的二维分布密度函数为：
（2-47）
的一维分布为
（2-48）
为瑞利分布。
的一维分布为
（2-49）
为均匀分布。且和是统计独立的。
2.7 白噪声白噪声的定义功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称之为白噪声，即
（2-50）
式中，n0是一个常数，单位为“瓦/赫兹（W/Hz）。
白噪声的自相关函数为
（2-51）
如果白噪声服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的，而且还是统计独立的。
带限白噪声如果白噪声被限制在（-f0，f0）之内，则这样的白噪声称之为带限白噪声（理想低通白噪声），即
（2-51）
其自相关函数为
（2-52）
还有一种理想带通白噪声，其功率谱为
（2-53）
式中，B为通带宽度。
其自相关函数为
（2-54）
白噪声、理想低通白噪声和理想带通白噪声的功率谱及其自相关函数如图2-3所示。
2.8 正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，窄带高斯噪声是经常遇到的噪声干扰。假设发送的信号为正弦波，干扰为窄带高斯噪声，则其混合信号可表示为：
(2-55)
式中，为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的在上均匀分布，且假定振幅A和频率已知。我们关心的是接收信号r(t)的包络和相位的概率密度函数。信号r(t)的包络和相位分别为
(2-56)
(2-57)
r(t)的包络的概率密度函数为（具体推导略，见P26~28）
（2-58）
为零阶修正贝塞尔函数。此概率密度函数称之为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。
当A=0时，只有噪声，式（2-58）与式（2-58）一致，即为瑞利分布；
当A远大于n(t)时，即大信噪比时
（2-59）
为高斯分布。
r(t)的相位的概率密度函数为（具体推导略，见P26~28）
（2-60）
当信噪比很大时，相位分布集中于正弦信号本身的相位附近；在信噪比很小时，接近于均匀分布。
2.9 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析方法可以用确定信号通过线性系统的方法进行分析，因为随机过程的一个实现加到线性系统的输入端，则必将获得一个系统响应。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程时，便有输出随机过程，且有
（2-61）
对随机过程，我们关心的是它的统计特性(推导过程见P28~30)。
1．的数学期望
（2-62）
输出过程的数学期望与t无关。式中， 为常数，为h(t)的傅立叶变换。
2．的自相关函数
（2-63）
自相关函数只依赖于时间间隔，而与时间起点无关。
基于1、2两点，此时输出过程是宽平稳的。
3．的功率谱密度
（2-64）
4．的分布
在给定输入过程分布的情况下，原理上可以求得输出过程的分布。一种十分有用的结论是：高斯过程经过线性变换后的过程仍然是高斯过程。
作业：P31~33：习题2-2，2-3，2-6，2-7，2-8，2-14
参考文献
[1]钟义信，《信息科学原理》，北京邮电大学出版社，1996
2.1 引 言
实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也是随机的，这种具有随机性的信号，称为随机信号。
携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染，而噪声也是随机的，称为随机噪声。
随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述，但它们都遵循一定的统计规律，我们可以用概率统计的方法进行研究 。
虽然随机信号和随机噪声都具有不可预测的波形特点，但两者的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力，而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。但随机信号和随机噪声的统计特性有许多差异，这样我们可以利用这种差异在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量从信号中恢复所携带的信息。
随机信号和随机噪声的数学模型是随机过程，本章将以此作为理论基础，对随机信号和噪声的特性进行描述，讨论它们通过线性系统的基本分析方法。
2.2 随机过程的一般描述随机变量及其统计特性随机变量的概念某随机实验可能有许多个结果，我们可以引入一变量X，它将随机地取某些数值，用这些数值来表示各个可能的结果，这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。
如，掷一硬币出现正面用数值1表示，出现反面用数值0表示，则用X={0，1}来表示掷硬币的结果，那么X为1还是为0在具体实验之前是不能确定的，所以称之为随机变量；又因为它的取值只能为1和0两个数值，是可数的，所以是离散随机变量。
又如，正弦振荡器开机起振的初始相位值，可能是0~360度的任意值，用X=[0，360]表示对其测量的结果，则X称之为连续随机变量。
如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1，X2，…，Xn）的总体称之为n维随机变量。
随机变量的概率分布函数和概率密度函数用P(X≤x)表示X的取值不大于x的概率，则定义函数
（2-1）
为随机变量X的概率分布函数。这里，X可以是离散随机变量，也可以是连续随机变量。
若X是连续随机变量，对于一非负函数f（x）有下式成立
（2-2）
则f（x）称之为X的概率密度函数（简称概率密度）。也可表示为
（2-3）
对二维随机变量（X，Y），我们把两个事件（X≤x）和（Y≤y）同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数
（2-4）
同样，
（2-5）
称之为二维概率密度。
随机变量的数字特征若要完整地描述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分布函数或概率密度函数，而在实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的特征——数字特征。我们经常用到的数字特征有数学期望：反映了随机变量取值的集中位置（均值）
设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量X的取值xi的概率，则其数学期望为
（2-6）
对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度函数，则则其数学期望为
（2-7）
方差：反映了随机变量的集中程度；
方差定义为：
（2-8）
式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标准偏差。
两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。
对两个随机变量X，Y定义
（2-9）
为X，Y的相关矩或协方差。而X，Y的归一化相关矩，称之为X，Y的相关系数，定义为
（2-10）
[例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：
随机过程及其统计特性随机过程的概念定义：设随机实验E的可能结果为ξ(t)，实验的样本空间S为{ x1(t),x2(t),…,xi(t)}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称之为实现），每次实验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当t代表时间量时，则称此ξ(t)为随机过程。
如有n台性能一样的通信机，工作条件也一样，用n部记录仪记录各部通信机的输出噪声波形（这也可以理解为对同一台通信机作了n次观测），得到的结果是不相同的，如图2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻ti这n台通信机的记录结果，可以由随机变量X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果的集合ξ(t)={ X(t1)，X(t2)，…，X(ti)，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个随机变量表述。
随机过程的概率分布函数和概率密度函数设ξ(t)为一随机过程，则ξ(t1)为一随机变量，此随机变量的分布函数为
（2-11）
称之为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果
（2-12）
存在，则称为随机过程ξ(t)的一维概率密度函数。
一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。ξ(t)的n维分布函数定义为
（2-13）
如果
（2-14）
存在，则称之为随机过程ξ(t)的n维概率密度函数。
随机过程的统计特性（数字特征）
数学期望：随机过程ξ(t)的数学期望定义为
（2-15）
它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间的函数。
方差：随机过程ξ(t)的方差定义为：
（2-16）
（2-17）
协方差函数和相关函数：
协方差函数定义为
（2-18）
相关函数定义为
（2-19）
从式（2-18）和式（2-19）可以得到B（t1，t2）和R（t1，t2）之间的关系：
（2-20）
由于B（t1，t2）和R（t1，t2）是衡量同一随机过程的相关程度的，所以，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。
若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t)表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为
（2-21）
（2-22）
可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t有关，是时间的函数。而对于相关函数R（t1，t2），若取t2= t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+τ），而t1是任意的，R（t1，t1+τ）可以表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时刻t和时间间隔τ的函数。
2.3 平稳随机过程在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程，因为在通信系统中所遇到的信号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。
平稳随机过程的概念平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足
（2-23）
则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为，所以它的一维分布与t无关；又，，所以它的二维分布只与时间间隔τ有关。
平稳随机过程的数学期望为
（2-24）
平稳随机过程的方差为
（2-25）
由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即
（2-26）
满足式（2-24）~（2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
而从本质上说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以认为此随机过程是平稳的。如，在稳定的环境工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一旦我们确定某一随机过程是平稳的，我们就可以在任意时刻测定它的统计特性。
平稳随机过程的各态历经性对平稳随机过程ξ(t)，如果它的数字特征与某一样本x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：
（2-27）
则称平稳随机过程ξ(t)具有各态历经性。“各态历经”的意思是说，从随机过程得到的任一实现，它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式（2-27）可知，各台历经的随机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平均”化为“时间平均”，简化了计算。
只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，所以具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程；但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。
[例2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程。其中，是常数，相位是在上均匀分布的随机变量。
2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以由相关函数描述；另一方面，相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。
平稳随机过程的相关函数及其性质设ξ(t) 实平稳随机过程，其自相关函数具有如下性质：（P16~17）
（1）R(0)为ξ(t)的平均功率, （2-28）
（2）R(τ)为偶函数, （2-29）
（3）R(0)为R(τ)的上界, （2-30）
（4）为ξ(t)的直流功率, （2-31）
（5）为ξ(t)的交流功率（方差）, （2-32）
平稳随机过程的频谱特性——功率谱密度和相关函数之间的关系确定信号的自相关函数与其功率谱之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程ξ(t)的自相关函数与其功率谱之间也互为傅立叶变换关系，即
（2-27）
上式也称之为维纳-辛钦定理（具体推倒过程详见P17~18）。
2.5 高斯过程高斯过程的定义若随机过程ξ(t)的任意n维概率密度函数满足：
（2-28）
则ξ(t)为高斯过程（正态随机过程）。
式中；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数：
（2-29）
高斯过程的特性若高斯过程是宽平稳的，则它也是严平稳的。
因为正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定，所以，如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则它们也是统计独立的。
若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则式（2-29）中，对于所有故式（2-28）变为
（2-30）
即，高斯过程中的随机变量也是统计独立的。
高斯过程的一维概率分布及其特性一维正态分布
若随机变量ξ的概率密度函数可以表示为
（2-31）
则ξ称之为一维正态分布的随机变量。
一维正态分布的特性
一维正态分布的f(x)可以由图2-1表示
可以看出f(x)有如下特性：（P20）
若式（2-31）中，则称这种正态分布为标准化的，此时
（2-32）
正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系
根据定义，正态分布函数可表示为
（2-33）
式中，称为概率积分函数，简称概率积分，定义为
（2-33）
误差函数定义为
（2-34）
称1-erf（x）为补误差函数，记为erfc（x），即
（2-35）
正态分布函数与误差函数和补误差函数的关系为：
（2-36）
（推导过程见P21）。
2.6 窄带随机过程窄带随机过程过程的定义窄带系统是指通带宽度，且通带的中心频率系统。窄带随机过程可以表示为：
（2-39）
（2-40）
式中
（2-41）
分别称为的同相分量和正交分量。
零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性数学期望
因为是平稳的，且已假设是零均值的，故
（2-42）
则
（2-43）
自相关函数
（2-44）
（2-45）
（2-46）
综上所述，一个均值为零的窄带高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻和是不相关的或统计独立的。
一维分布函数
和的二维分布密度函数为：
（2-47）
的一维分布为
（2-48）
为瑞利分布。
的一维分布为
（2-49）
为均匀分布。且和是统计独立的。
2.7 白噪声白噪声的定义功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称之为白噪声，即
（2-50）
式中，n0是一个常数，单位为“瓦/赫兹（W/Hz）。
白噪声的自相关函数为
（2-51）
如果白噪声服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的，而且还是统计独立的。
带限白噪声如果白噪声被限制在（-f0，f0）之内，则这样的白噪声称之为带限白噪声（理想低通白噪声），即
（2-51）
其自相关函数为
（2-52）
还有一种理想带通白噪声，其功率谱为
（2-53）
式中，B为通带宽度。
其自相关函数为
（2-54）
白噪声、理想低通白噪声和理想带通白噪声的功率谱及其自相关函数如图2-3所示。
2.8 正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，窄带高斯噪声是经常遇到的噪声干扰。假设发送的信号为正弦波，干扰为窄带高斯噪声，则其混合信号可表示为：
(2-55)
式中，为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的在上均匀分布，且假定振幅A和频率已知。我们关心的是接收信号r(t)的包络和相位的概率密度函数。信号r(t)的包络和相位分别为
(2-56)
(2-57)
r(t)的包络的概率密度函数为（具体推导略，见P26~28）
（2-58）
为零阶修正贝塞尔函数。此概率密度函数称之为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。
当A=0时，只有噪声，式（2-58）与式（2-58）一致，即为瑞利分布；
当A远大于n(t)时，即大信噪比时
（2-59）
为高斯分布。
r(t)的相位的概率密度函数为（具体推导略，见P26~28）
（2-60）
当信噪比很大时，相位分布集中于正弦信号本身的相位附近；在信噪比很小时，接近于均匀分布。
2.9 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析方法可以用确定信号通过线性系统的方法进行分析，因为随机过程的一个实现加到线性系统的输入端，则必将获得一个系统响应。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程时，便有输出随机过程，且有
（2-61）
对随机过程，我们关心的是它的统计特性(推导过程见P28~30)。
1．的数学期望
（2-62）
输出过程的数学期望与t无关。式中， 为常数，为h(t)的傅立叶变换。
2．的自相关函数
（2-63）
自相关函数只依赖于时间间隔，而与时间起点无关。
基于1、2两点，此时输出过程是宽平稳的。
3．的功率谱密度
（2-64）
4．的分布
在给定输入过程分布的情况下，原理上可以求得输出过程的分布。一种十分有用的结论是：高斯过程经过线性变换后的过程仍然是高斯过程。
作业：P31~33：习题2-2，2-3，2-6，2-7，2-8，2-14
参考文献
[1]钟义信，《信息科学原理》，北京邮电大学出版社，1996
