2009/8/21 海南大学 信息学院 Return Next
1、循环码的特性
（ 1）循环码是一种重要的线性分组码，易于实现，性能较好。
（ 2）循环码除具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即循环码中任一码组循环一位以后，
仍为该码中的一个码组。
9.5 循环码
012211)( axaxaxaxT nnnn
2、码多项式的按模运算一长为 n的码组可表示成码多项式只关心其系数，而不关心 x 的取值。
一、循环码的原理
2009/8/21 海南大学 信息学院则 F(x) ≡ R(x) ( 模 N(x) )
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9.5 循环码若 F(x) = N(x) Q(x) + R(x)
例 )1(11 3224 xxxxx 模x
xxx 11 243
xx?4
12 xx码多项式系数仍按模 2运算；其减法以加法代替。
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在循环码中，若 T(x)是一个长为 n 的许用码组，则 xi T(x) 在按模 xn +1 运算下，也是一个许用码组。
9.5 循环码即若则 T’(x)也是一个许用码组。
)1()()( ni xxTxTx 模在循环码中，一个（ n,k）码有 2k个不同码组
012211)( axaxaxaxT nnnn
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9.5 循环码
3、循环码的生成矩阵有了生成矩阵 G，就可以由 k个信息位得出整个码组；若能找到 k 个线性无关的已知码组，就能构成生成矩阵。
3456 aaaaA? G
在循环码中，一个（ n,k）码有 2k 个不同码组。若 g(x) 表示其中前 k-1 位皆为,0” 的码组，
则 g(x),xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x) 都是线性无关的码组，由此可以构成循环码的生成矩阵。
2009/8/21 海南大学 信息学院在循环码中，除全 0码外，再没有连续 k 位均为,0”的码组，即连,0”的长度最多只能 k-1
位。因此 g(x) 必须是一个常数项不为,0”的 n-k
次多项式。
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9.5 循环码
011)( axaxaxg knknknkn
生成多项式?
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
xg
xxg
xgx
xgx
xG
k
k
2009/8/21 海南大学 信息学院
)()( 02211 xgmxmxm kkkk
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假如输入信息码元 mk-1 mk-2 … m0,则循环码组：
9.5 循环码
)()()( 021 xGmmmxT kk
所有码多项式 T(x) 都可被 g(x) 整除，且任一次数不大于 k-1 的多项式乘 g(x)都是码多项式。
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9.5 循环码
1
)()(
1
)(
nn
k
x
xTxQ
x
xgx =1
又 g(x)为一个码组,故 xkg(x) 在模 xn+1 运算下也为一码组，故可写成
∵ T(x) = h(x) g(x)
4、任一（ n,k）循环码的生成多项式的寻找
)(1)( xTxxgx nk
)]()[()()()(1 xhxxgxgxhxgxx kkn
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故 g(x) 是 xn+1 的一个 n – k 次因式，此即寻找 g(x) 的方法。
9.5 循环码
)1)(1)(1(1 3237 xxxxxx
都可作为 (7,3)循环码的生成多项式例：
2009/8/21 海南大学 信息学院二、循环码的编、解码方法编码步骤
（ 1）根据给定的（ n,k）的值选定生成多项式 g(x)，即从 xn+1 的因子中选一 n-k 次多项式作为 g(x)。
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9.5 循环码
1、循环码的编码方法
（ 2）所有码多项式 T(x)都可被 g(x) 整除，据此对给定的信息码 m(x) 进行编码,
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9.5 循环码
)(
)()(
)(
)()2(
xg
xrxQ
xg
xmx kn
)()()()3( xrxmxxT kn
)()1( xmx kn? 相当于信息码后附加 n-k个 0
步骤：
例：给定（ 7,3）循环码的某一信息位为 110，
试构造其码组 T(x)。
解：因为 m=110，则 m(x)=x2+x
g(x)= x4 +x2+ x+1
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9.5 循环码监督位信息位
5637 )( xxxmx
1)(
)(
24
56
xxx
xx
xg
xmx kn
1
11
24
2
2
xxx
xxx r(x)
01011101)( 256 xxxxT
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9.5 循环码
a + b + c d +
输入 m
输出 f
e
S
（ 7,3）码编码器移存器模 2加法器
（ 7,3）循环码编码的硬件实现
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9.5 循环码
m a b c d e f
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1
f=m
f=e
上例中给定（ 7,3）循环码的某一信息位为
110，设初态为 0，则上述编码过程为：
)( xmx kn?
)(xm
相当于信息码后附加 n-k个 0
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9.5 循环码
2、循环码的解码方法（ P297-299）
将接收码组 R(x)用 g(x)去除，若未发生错误，
R(x)能被 g(x)整除，发生错误则有余项。
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1、循环码的特性
（ 1）循环码是一种重要的线性分组码，易于实现，性能较好。
（ 2）循环码除具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即循环码中任一码组循环一位以后，
仍为该码中的一个码组。
9.5 循环码
012211)( axaxaxaxT nnnn
2、码多项式的按模运算一长为 n的码组可表示成码多项式只关心其系数，而不关心 x 的取值。
一、循环码的原理
2009/8/21 海南大学 信息学院则 F(x) ≡ R(x) ( 模 N(x) )
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9.5 循环码若 F(x) = N(x) Q(x) + R(x)
例 )1(11 3224 xxxxx 模x
xxx 11 243
xx?4
12 xx码多项式系数仍按模 2运算；其减法以加法代替。
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在循环码中，若 T(x)是一个长为 n 的许用码组，则 xi T(x) 在按模 xn +1 运算下，也是一个许用码组。
9.5 循环码即若则 T’(x)也是一个许用码组。
)1()()( ni xxTxTx 模在循环码中，一个（ n,k）码有 2k个不同码组
012211)( axaxaxaxT nnnn
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9.5 循环码
3、循环码的生成矩阵有了生成矩阵 G，就可以由 k个信息位得出整个码组；若能找到 k 个线性无关的已知码组，就能构成生成矩阵。
3456 aaaaA? G
在循环码中，一个（ n,k）码有 2k 个不同码组。若 g(x) 表示其中前 k-1 位皆为,0” 的码组，
则 g(x),xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x) 都是线性无关的码组，由此可以构成循环码的生成矩阵。
2009/8/21 海南大学 信息学院在循环码中，除全 0码外，再没有连续 k 位均为,0”的码组，即连,0”的长度最多只能 k-1
位。因此 g(x) 必须是一个常数项不为,0”的 n-k
次多项式。
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9.5 循环码
011)( axaxaxg knknknkn
生成多项式?
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
xg
xxg
xgx
xgx
xG
k
k
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)()( 02211 xgmxmxm kkkk
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9.5 循环码
)()()( 021 xGmmmxT kk
所有码多项式 T(x) 都可被 g(x) 整除，且任一次数不大于 k-1 的多项式乘 g(x)都是码多项式。
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9.5 循环码
1
)()(
1
)(
nn
k
x
xTxQ
x
xgx =1
又 g(x)为一个码组,故 xkg(x) 在模 xn+1 运算下也为一码组，故可写成
∵ T(x) = h(x) g(x)
4、任一（ n,k）循环码的生成多项式的寻找
)(1)( xTxxgx nk
)]()[()()()(1 xhxxgxgxhxgxx kkn
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故 g(x) 是 xn+1 的一个 n – k 次因式，此即寻找 g(x) 的方法。
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)1)(1)(1(1 3237 xxxxxx
都可作为 (7,3)循环码的生成多项式例：
2009/8/21 海南大学 信息学院二、循环码的编、解码方法编码步骤
（ 1）根据给定的（ n,k）的值选定生成多项式 g(x)，即从 xn+1 的因子中选一 n-k 次多项式作为 g(x)。
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9.5 循环码
1、循环码的编码方法
（ 2）所有码多项式 T(x)都可被 g(x) 整除，据此对给定的信息码 m(x) 进行编码,
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9.5 循环码
)(
)()(
)(
)()2(
xg
xrxQ
xg
xmx kn
)()()()3( xrxmxxT kn
)()1( xmx kn? 相当于信息码后附加 n-k个 0
步骤：
例：给定（ 7,3）循环码的某一信息位为 110，
试构造其码组 T(x)。
解：因为 m=110，则 m(x)=x2+x
g(x)= x4 +x2+ x+1
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9.5 循环码监督位信息位
5637 )( xxxmx
1)(
)(
24
56
xxx
xx
xg
xmx kn
1
11
24
2
2
xxx
xxx r(x)
01011101)( 256 xxxxT
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9.5 循环码
a + b + c d +
输入 m
输出 f
e
S
（ 7,3）码编码器移存器模 2加法器
（ 7,3）循环码编码的硬件实现
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9.5 循环码
m a b c d e f
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1
f=m
f=e
上例中给定（ 7,3）循环码的某一信息位为
110，设初态为 0，则上述编码过程为：
)( xmx kn?
)(xm
相当于信息码后附加 n-k个 0
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9.5 循环码
2、循环码的解码方法（ P297-299）
将接收码组 R(x)用 g(x)去除，若未发生错误，
R(x)能被 g(x)整除，发生错误则有余项。
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