第 2章平面力系
力系
平面力系
空间力系
汇交力系
一般力系
汇交力系
平行力系
平行力系
一般力系
1.平面汇交力系
?力的合成与分解
力的合成,平行四边形公里 F=F1+F2
力的分解,公式 F=F1+F2中有六个要素，
已知其中四个才能确定其余两个。即在已
知合力的大小和方向的条件下，还必须给
出另外两个条件。工程中常会遇到要将一
个力沿已知方向分解，求两分力大小的问
题。如求力 F在坐标轴上的分力大小。
1.平面汇交力系
? 力在坐标轴上的投影
注意, 力的投影是
代数量, 有正负之
分 。 规定如下：如
由 a到 b（ 或由 a1到
b1 ） 的趋向与 x轴
（ 或 y轴 ） 的正向一
致时, 则力 F的投影
Fx（ 或 Fy） 取正值；
反之, 取负值 。
A
F
y
o x
B
a b
a1
b1
Fx
Fy
1.平面汇交力系
? 若已知力 F在直角坐标轴
上的投影, 则该力的大
小和方向为,
? 若已知力 F的大小为 F，
它和 x轴的夹角为，则
力在坐标轴上的投影
可按下式计算,
22
c o s
c o s
xy
x
y
F F F
F
F
F
F
?
?
?
?? ?
?
?
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?
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c o s
s i n
x
y
FF
FF
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?
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?
? ?
?
1.平面汇交力系
? 合力投影定理, 合力在某一轴上的投影等于各
分力在同一轴上投影的代数和。它是用解析法
求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。
??
?
?
?
?????
?????
?
?
ynyyyy
xnxxxx
FFFFF
FFFFF
?
?
21
21
1.平面汇交力系
?平面汇交力系的平衡条件, 该力系的合
力 F等于零，即力系中所有力在任选两个
坐标轴上投影的代数和均为零。
?平面汇交力系的平衡方程,
??
?
?
?
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F
1.平面汇交力系
?静力学平衡问题的一般方法和步骤,
（ 1）选择研究对象
（ 2）画受力图
（ 3）建立坐标系，根据平衡
条件列平衡方程
? 例 1.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知 F1=2000N,F2=5000N,F3=3000N。试求合力。
解 建立如图坐标系 。 分别
计算各力的投影 。
11 2000xF F N? ? ? ?
22 c o s 3 0 5 0 0 0 0, 8 6 6 4 3 3 0xF F N N? ? ? ? ? ? ? ?
03 ?xF
01 ?yF
NNFF y 25005.0500030s i n22 ????????
NFF y 3 0 0 033 ????
? ?2 0 0 0 4 3 3 0 0 6 3 3 0xxF F N N? ? ? ? ? ? ??
? ?? ?????? NNFF yy 5500300025000
? ? ? ?2222 6 3 3 0 5 5 0 0 8 3 8 6xyF F F N N? ? ? ? ? ? ?
则合力的大小为,
由合力投影定理可得,
由于 Fx,Fy都是负值，所以合力应在第三象限,
c o s / 6 3 3 0 / 8 3 8 6 0, 7 5 4 8xFF? ? ? ?
41? ??
例 2.如图所示一简易起重机装置，重量 G=2kN的重物吊在钢
丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮 A，绕在绞车 D的
鼓轮上，定滑轮用直杆 AB和 AC支承，定滑轮半径忽略不计，
定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆 AB,AC所受的力。
F G
FAB
FAC
x
y
解,取滑轮为研究对象，作出
它的受力图并建立如图直角坐
标系。由平面汇交力系平衡条
件列平衡方程,
F G
FAB
FAC
x
y
030c o s30s i n ?????? GFF N A C
030s i n30c o s ?????? FFF N A CN A B
c o s 3 0 2 2 0, 8 6 6
7, 4 6
s i n 3 0 0, 5N A C
GF
F k N k N
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c o s 3 0 s i n 3 0N A B N A CF F F? ? ? ? ?
? ?7, 4 6 0, 8 6 6 2 0, 5 5, 4 6k N k N? ? ? ? ?
FNAC为负值，表明 FNAC的实际指向与假设方向相反，其反
作用力为 AC杆所受的力，所以 AC杆为受压杆件。
2.力矩与平面力偶系
?力对点之矩
概念, 力使物体产生转动效应的物理量称为力矩。产
生转动的中心点称为力矩中心（简称矩心），力的作用
线到力矩中心的距离 d称为力臂，力使物体绕矩心转动
的效应取决于力 F的大小与力臂 d的乘积及力矩的转动方
向。力对点之矩用 MO（ F） 来表示，即,
? ? FdFM O ??
力矩是代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
规定力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；
反之，取负号。力矩的单位 是或 mkN ?mN ?
2.力矩与平面力偶系
?合力矩定理,平面汇交力系的合力对平面
内任意一点之矩, 等于其所有分力对同一
点的力矩的代数和 。 即,
? ? ? ?
1
n
O O i
i
M F M F
?
? ?
2.力矩与平面力偶系
?力对点之矩的求法
方法 1,用力矩的 定义式, 即力和力臂的乘积
求力矩 。 这种方法的关键在于确定力臂 d。
需要注意的是, 力臂 d是矩心到力作用线的距
离, 即力臂必须垂直于力的作用线 。
方法 2,运用 合力矩定理 求力矩。在工程实际
中，有时力臂的几何关系较复杂，不易确定
时，可将作用力正交分解为两个分力，然后
应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。
例：如图所示，构件 OBC的 O端为铰链支座约束，力 F作用于 C
点，其方向角为,又知 OB=, BC=,求力 F对 O点的力矩。 h? l
解,用力矩的定义
进行求解 。 过点 O作
出力 F作用线的垂线
与其交于点 a,则力
臂 d即为线段 oa。 再
过 B点作力作用线的
平行线, 与力臂的
延长线交于 b点, 则,
? ? ? ? ? ?s i n c o sOM F F d F o b a b F l h??? ? ? ? ? ? ? ?
2.力矩与平面力偶系
?力偶及其性质
它既不平衡, 也不能合成为一个合力, 只能 使
物体产生转动效应 。 力偶两个力所在的平面, 称为 力
偶作用面 。 两力作用线之间的垂直距离, 叫作 力偶臂
（ 以 d来表示 ） 。 力偶使物体转动的方向称为 力偶的转向 。
力偶对物体的转动效应, 取决于力偶中的力与力偶臂的
乘积, 称为 力偶矩 。 记作,或 M,
定义,作用在物体上的一对大小相等、方向相反、
作用线相互平行的两个力称为 力偶,记作 ? ?
FF ?，
? ?FFM ?，
? ? FdFFM ???，
2.力矩与平面力偶系
力偶同力矩一样，是一代数量。
其 正负号 只表示力偶的转动方向，规
定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，
反之为负。
力偶矩的 单位 是,
或
力偶矩的大小、转向和作用平面
称为 力偶的三要素 。
mN ? mkN ?
2.力矩与平面力偶系
?力偶的性质
1.力偶无合力, 力偶不能用一个力来等效, 也不能用一个
力来平衡, 力偶只能用力偶来平衡 。
力和力偶是组成力系的两个基本物理量 。
2.力偶对其作用平面内
任一点的力矩，恒等
于其力偶矩，而与矩
心的位置无关。
如图所示,
2.力矩与平面力偶系
?力偶的性质
3.力偶的等效性,作用在同一平面内的两个力偶，如
果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个
力偶是等效的。
推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它
对物体的转动效应 。 即力偶对物体的转动效应与它在
作用面内的位置无关 。
推论 2 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下
,可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短, 而不
会改变力偶对物体的转动效应 。
3平面力偶系的合成与平衡
? 平面力偶系的合成
力偶对物体只产生转动效应，转动效应的
大小取决于力偶矩的大小及转向。所以，物体
内某一平面内受力偶系作用时，也只能使物体
产生转动效应。力偶系对物体转动效应的大小
等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系可
以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶
矩的代数和。合力偶矩用 M表示,
?????? MMMMM n?21
3平面力偶系的合成与平衡
?平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的必要与充分条件是,
力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。
0?? M
例 1,梁 AB 受一主动力偶作用，如
图，其力偶矩,梁长
,梁的自重不计，求两支
座的约束反力。
mNM ?? 1 0 0
5lm?
解,以梁为研究对象, 受力
图, 如图所示 。 作用于梁上的
有矩为 M的力偶和两支座的约
束反力 FA,FB。 根据力偶只能
用力偶来平衡的性质可知 FA必
须与 FB组成一个力偶, 即力 FA
必须与 FB大小相等, 方向相反,
作用线平行 。
平衡方程为,
0BF l M??
100
/ 2 0
5AB
F F M l N N? ? ? ?
例 2,电机轴通过联轴器与工件相
连接，联轴器上四个螺栓 A,B,C、
D的孔心均匀地分布在同一圆周上，
如图示。此圆周的直径
，电机轴传给联轴器的力偶矩
,求每个螺栓所
受的力。
150d m m?
2, 5M k N m??
解,以联轴器为研究对象。联轴器上的力有力偶矩 M，
四个螺栓的约束反力，假设四个螺栓的受力均匀，则
F1=F2=F3=F4=F，如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，
F1与 F3, F2与 F4组成两个力偶，与电动机传给联轴器的
力偶矩 M平衡。据平面力偶系的平衡方程,
0??? FdFdM
2, 5 8, 3 3
2 2 0, 1 5
MF k N k N
d
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一般力系
1.平面汇交力系
?力的合成与分解
力的合成,平行四边形公里 F=F1+F2
力的分解,公式 F=F1+F2中有六个要素，
已知其中四个才能确定其余两个。即在已
知合力的大小和方向的条件下，还必须给
出另外两个条件。工程中常会遇到要将一
个力沿已知方向分解，求两分力大小的问
题。如求力 F在坐标轴上的分力大小。
1.平面汇交力系
? 力在坐标轴上的投影
注意, 力的投影是
代数量, 有正负之
分 。 规定如下：如
由 a到 b（ 或由 a1到
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（ 或 y轴 ） 的正向一
致时, 则力 F的投影
Fx（ 或 Fy） 取正值；
反之, 取负值 。
A
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1.平面汇交力系
? 若已知力 F在直角坐标轴
上的投影, 则该力的大
小和方向为,
? 若已知力 F的大小为 F，
它和 x轴的夹角为，则
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力 F等于零，即力系中所有力在任选两个
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1.平面汇交力系
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（ 1）选择研究对象
（ 2）画受力图
（ 3）建立坐标系，根据平衡
条件列平衡方程
? 例 1.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知 F1=2000N,F2=5000N,F3=3000N。试求合力。
解 建立如图坐标系 。 分别
计算各力的投影 。
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丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮 A，绕在绞车 D的
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试求当重物被匀速提升时，杆 AB,AC所受的力。
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它的受力图并建立如图直角坐
标系。由平面汇交力系平衡条
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2.力矩与平面力偶系
?力对点之矩
概念, 力使物体产生转动效应的物理量称为力矩。产
生转动的中心点称为力矩中心（简称矩心），力的作用
线到力矩中心的距离 d称为力臂，力使物体绕矩心转动
的效应取决于力 F的大小与力臂 d的乘积及力矩的转动方
向。力对点之矩用 MO（ F） 来表示，即,
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力矩是代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
规定力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；
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2.力矩与平面力偶系
?合力矩定理,平面汇交力系的合力对平面
内任意一点之矩, 等于其所有分力对同一
点的力矩的代数和 。 即,
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2.力矩与平面力偶系
?力对点之矩的求法
方法 1,用力矩的 定义式, 即力和力臂的乘积
求力矩 。 这种方法的关键在于确定力臂 d。
需要注意的是, 力臂 d是矩心到力作用线的距
离, 即力臂必须垂直于力的作用线 。
方法 2,运用 合力矩定理 求力矩。在工程实际
中，有时力臂的几何关系较复杂，不易确定
时，可将作用力正交分解为两个分力，然后
应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。
例：如图所示，构件 OBC的 O端为铰链支座约束，力 F作用于 C
点，其方向角为,又知 OB=, BC=,求力 F对 O点的力矩。 h? l
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它既不平衡, 也不能合成为一个合力, 只能 使
物体产生转动效应 。 力偶两个力所在的平面, 称为 力
偶作用面 。 两力作用线之间的垂直距离, 叫作 力偶臂
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力偶对物体的转动效应, 取决于力偶中的力与力偶臂的
乘积, 称为 力偶矩 。 记作,或 M,
定义,作用在物体上的一对大小相等、方向相反、
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2.力矩与平面力偶系
力偶同力矩一样，是一代数量。
其 正负号 只表示力偶的转动方向，规
定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，
反之为负。
力偶矩的 单位 是,
或
力偶矩的大小、转向和作用平面
称为 力偶的三要素 。
mN ? mkN ?
2.力矩与平面力偶系
?力偶的性质
1.力偶无合力, 力偶不能用一个力来等效, 也不能用一个
力来平衡, 力偶只能用力偶来平衡 。
力和力偶是组成力系的两个基本物理量 。
2.力偶对其作用平面内
任一点的力矩，恒等
于其力偶矩，而与矩
心的位置无关。
如图所示,
2.力矩与平面力偶系
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3.力偶的等效性,作用在同一平面内的两个力偶，如
果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个
力偶是等效的。
推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它
对物体的转动效应 。 即力偶对物体的转动效应与它在
作用面内的位置无关 。
推论 2 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下
,可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短, 而不
会改变力偶对物体的转动效应 。
3平面力偶系的合成与平衡
? 平面力偶系的合成
力偶对物体只产生转动效应，转动效应的
大小取决于力偶矩的大小及转向。所以，物体
内某一平面内受力偶系作用时，也只能使物体
产生转动效应。力偶系对物体转动效应的大小
等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系可
以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶
矩的代数和。合力偶矩用 M表示,
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3平面力偶系的合成与平衡
?平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的必要与充分条件是,
力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。
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例 1,梁 AB 受一主动力偶作用，如
图，其力偶矩,梁长
,梁的自重不计，求两支
座的约束反力。
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解,以梁为研究对象, 受力
图, 如图所示 。 作用于梁上的
有矩为 M的力偶和两支座的约
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用力偶来平衡的性质可知 FA必
须与 FB组成一个力偶, 即力 FA
必须与 FB大小相等, 方向相反,
作用线平行 。
平衡方程为,
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例 2,电机轴通过联轴器与工件相
连接，联轴器上四个螺栓 A,B,C、
D的孔心均匀地分布在同一圆周上，
如图示。此圆周的直径
，电机轴传给联轴器的力偶矩
,求每个螺栓所
受的力。
150d m m?
2, 5M k N m??
解,以联轴器为研究对象。联轴器上的力有力偶矩 M，
四个螺栓的约束反力，假设四个螺栓的受力均匀，则
F1=F2=F3=F4=F，如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，
F1与 F3, F2与 F4组成两个力偶，与电动机传给联轴器的
力偶矩 M平衡。据平面力偶系的平衡方程,
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