第 6章 圆轴扭转
主要内容,
2.扭转内力,扭矩和扭矩图
3.扭转切应力分析与计算
1.圆轴扭转的概念
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
1.工程中发生扭转变形的构件
圆轴扭转的概念
2.扭转变形的特点,
受力特点,在垂直于杆件轴线的平面内,作用
了一对大小相等，转向相反，作用平 面平行
的外力偶矩； 变形特点,杆件任意两横截面都
发生了绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为 扭转变形。
3.研究对象,轴 (以 扭转变形为主的杆件）
工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
扭转内力,扭矩和扭矩图
1.扭转时的内力称为 扭矩 。截面上的扭矩
与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。
扭矩求解仍然使用 截面法。
2.扭矩图, 用平行于轴线的 x 坐标表示
横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标 MT
表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩
随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。
Me=9550 P(kW) n(r/min) (N.m)
Me Me m
m
截面法求扭矩
Me
MT Me
MT
0?? eT MM
eT MM ?
扭矩正负规定,
右手法则
例 1：主动轮 A的输入功率 PA=36kW，从动轮 B,C,D输出功率
分别为 PB=PC=11kW,PD=14kW，轴的转速 n=300r/min.试求传
动轴指定截面的扭矩,
并做出扭矩图。
解,1)由外力偶矩
的计算公式求个轮
的力偶矩,
M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m
M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m
M D = 9550 PD/n = 446 N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，即为
BC,CA,AD段轴的扭矩。
M1
M3
M2
M 1 + M B = 0
M 1 = -M B =-350N.m
M B + M C + M 2 =0
M 2 =-M B -M C =-700N.m
M D -M 3 = 0
M 3 = M D = 446N.m
3)画扭矩图,x MT
350N.m
700N.m
446N.m
对于同一根轴来说，若
把主动轮 A安置在轴的
一端，例如放在右端，
则该轴的扭矩图为,
M B M C M D
M A
x MT
350N.m
700N.m
1146N.m
结论, 传动轴上主动轮和从动轮的安放位置
不同，轴所承受的最大扭矩 (内力 )也就不同。
显然，这种布局是不合理的。
圆轴扭转时横截面上的应力
1.圆轴扭转时的 变形特征,
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均
无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。
2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜
了同一角度 。
?
平面假设,圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论,
1.横截面上各点无轴向变形,故截面上 无正应力 。
2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生
了剪切变形，故横截面上 有切应力存在 。
3.各横截面半径不变，所以 切应力方向与截面半
径方向垂直 。
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪
切比例极限内，切应力与切应变总是成正比，
这就是 剪切虎克定律 。
因此，各点 切应力 的大小与该点到圆心的距离
成正比，其 分布规律 如图所示,
MT
?
??
根据横截面上切应力的分布规律可根据
静力平衡条件，推导出截面上任一点的
切应力 计算公式如下,
??
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa
M T— 横截面上的扭
矩 （ N.mm）
— 欲求应力的点
到圆心的距离 （ mm）
I p— 截面对圆心的
极惯性矩 （ mm ）。
?
4
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa max
R =
TM
W p
W p为抗扭截面系数 ( mm ) 3
极惯性矩 与 抗扭截面系数 表示了截面的几何性质，其大小
只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心
圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按
下式计算,
实心轴, 4 4
0, 1
32p
D
ID
?
??
p
p
I
W
R
?? 3
3
2.0
16
D
D
?
?
空心轴, Dd /??
4
32p
D
I
?
?? ? ? ? ?444
44
11.01
3232
??
??
???? D
Dd
p
p
I
W
R
?? ? ? ? ?434
3
12.01
16
??
?
??? D
D
例 1,如图所示,已知 M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,?BC=50mm,G=80GPa。 求此
轴的最大切应力。
求 AB,BC段扭矩 解,
根据切应力计算公式,
MAB= -5kN.m
MBC= -1.8kN.m
M P a
W
T
AB
AB
AB
83.48
802.0
105
3
6
m a x
??
?
??
???
MAB
M P a
W
T
BC
BC
BC
72
502.0
108.1
3
6
m a x
??
?
??
???
MBC
主要内容,
2.扭转内力,扭矩和扭矩图
3.扭转切应力分析与计算
1.圆轴扭转的概念
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
1.工程中发生扭转变形的构件
圆轴扭转的概念
2.扭转变形的特点,
受力特点,在垂直于杆件轴线的平面内,作用
了一对大小相等，转向相反，作用平 面平行
的外力偶矩； 变形特点,杆件任意两横截面都
发生了绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为 扭转变形。
3.研究对象,轴 (以 扭转变形为主的杆件）
工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
扭转内力,扭矩和扭矩图
1.扭转时的内力称为 扭矩 。截面上的扭矩
与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。
扭矩求解仍然使用 截面法。
2.扭矩图, 用平行于轴线的 x 坐标表示
横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标 MT
表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩
随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。
Me=9550 P(kW) n(r/min) (N.m)
Me Me m
m
截面法求扭矩
Me
MT Me
MT
0?? eT MM
eT MM ?
扭矩正负规定,
右手法则
例 1：主动轮 A的输入功率 PA=36kW，从动轮 B,C,D输出功率
分别为 PB=PC=11kW,PD=14kW，轴的转速 n=300r/min.试求传
动轴指定截面的扭矩,
并做出扭矩图。
解,1)由外力偶矩
的计算公式求个轮
的力偶矩,
M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m
M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m
M D = 9550 PD/n = 446 N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，即为
BC,CA,AD段轴的扭矩。
M1
M3
M2
M 1 + M B = 0
M 1 = -M B =-350N.m
M B + M C + M 2 =0
M 2 =-M B -M C =-700N.m
M D -M 3 = 0
M 3 = M D = 446N.m
3)画扭矩图,x MT
350N.m
700N.m
446N.m
对于同一根轴来说，若
把主动轮 A安置在轴的
一端，例如放在右端，
则该轴的扭矩图为,
M B M C M D
M A
x MT
350N.m
700N.m
1146N.m
结论, 传动轴上主动轮和从动轮的安放位置
不同，轴所承受的最大扭矩 (内力 )也就不同。
显然，这种布局是不合理的。
圆轴扭转时横截面上的应力
1.圆轴扭转时的 变形特征,
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均
无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。
2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜
了同一角度 。
?
平面假设,圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论,
1.横截面上各点无轴向变形,故截面上 无正应力 。
2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生
了剪切变形，故横截面上 有切应力存在 。
3.各横截面半径不变，所以 切应力方向与截面半
径方向垂直 。
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪
切比例极限内，切应力与切应变总是成正比，
这就是 剪切虎克定律 。
因此，各点 切应力 的大小与该点到圆心的距离
成正比，其 分布规律 如图所示,
MT
?
??
根据横截面上切应力的分布规律可根据
静力平衡条件，推导出截面上任一点的
切应力 计算公式如下,
??
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa
M T— 横截面上的扭
矩 （ N.mm）
— 欲求应力的点
到圆心的距离 （ mm）
I p— 截面对圆心的
极惯性矩 （ mm ）。
?
4
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa max
R =
TM
W p
W p为抗扭截面系数 ( mm ) 3
极惯性矩 与 抗扭截面系数 表示了截面的几何性质，其大小
只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心
圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按
下式计算,
实心轴, 4 4
0, 1
32p
D
ID
?
??
p
p
I
W
R
?? 3
3
2.0
16
D
D
?
?
空心轴, Dd /??
4
32p
D
I
?
?? ? ? ? ?444
44
11.01
3232
??
??
???? D
Dd
p
p
I
W
R
?? ? ? ? ?434
3
12.01
16
??
?
??? D
D
例 1,如图所示,已知 M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,?BC=50mm,G=80GPa。 求此
轴的最大切应力。
求 AB,BC段扭矩 解,
根据切应力计算公式,
MAB= -5kN.m
MBC= -1.8kN.m
M P a
W
T
AB
AB
AB
83.48
802.0
105
3
6
m a x
??
?
??
???
MAB
M P a
W
T
BC
BC
BC
72
502.0
108.1
3
6
m a x
??
?
??
???
MBC
