第 3章 空间力系
1.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法,力 F与三个
坐标轴所夹的锐角分别
为 ?,β, ?,则力 F在三
个轴上的投影等于力的
大小乘以该夹角的余弦
o y
x
z
F
?
β
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c o sFF
FF
FF
z
y
x
c o s
c o s
Fx
Fy
Fz
二次投影法,若已知力 F与 z轴的夹角为 ?,力 F 和 z轴所确
定的平面与 x轴的夹角为 ?,可先将力 F 在 oxy平面上投影,
然后再向 x,y 轴进行投影 。
o y
z
F
?
Fx
Fy
Fz
Fxy
?
则力在三个坐标轴
上的投影分别为,
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o sFF
si nsi nFF
c o ssi nFF
z
y
x
x
若已知力在三个坐标
轴上的投影 Fx,Fy,Fz，
也可求出力的大小和方向，
即,
?
?
?
?
?
???
???
F
F
,
F
F
,
F
F
FFFF
zyx
zyx
??? c o sc o sc o s
222
2.力对轴之矩
门上作用一力 F，使其绕
固定轴 z转动。 Fxy对 z轴之矩
就是力 F对 z轴之矩,用 Mz（ F）
表示。则,
O
Fxy
dFFMFM xyxyoZ ??? )()(
规定, 从 z轴正端来看,
若力矩逆时针，规定为正，
反之为负。
A
x
y
Fx
Fy
a
b
= Fx ? b + Fy ? a
2.力对轴之矩
? 合力矩定理, 如一空间力系由 F1,F2,…, Fn组
成，其合力为 FR，则合力 FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
?? )()( FMFM zRz
例 1,图示力 F=1000N，求 F对 z轴的矩 Ｍ z。
x
z
FZ
Fxy x
y
Fxy
Fy
Fx
10
5
Fx Fy
3.空间力系的平衡
? 空间力系的简化,与平面任意力系的简化方法一样,
空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩 。
2 2 2' ( ) ( ) ( )
R x y zF F F F? ? ?? ? ?
2 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
o x y zM M F M F M F? ? ?? ? ?
? 空间力系的平衡方程
平衡的必要与充分条件,
＝０, ＝０
RF?oM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
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0)(
0)(
0)(
0
0
0
FM
FM
FM
F
F
F
z
y
x
z
y
x
平衡方程,
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到
三个坐标平面上，画出构件受力图的
主视、俯视、侧视等三视图，分别列
出它们的平衡方程，同样可解出所求
的未知量。这种将空间问题转化为平
面问题的研究方法，称为 空间问题的
平面解法 。
例 3：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿
轮的分度圆直径 d=282.5mm,L=105mm,L1=110.5mm，圆
周力 Ft=1284.8N，径向力 Fr=467.7N，不计自重。求轴承 A、
B的约束反力和联轴器所受转矩 MT。
A D B FAV
FAH FBH
FBV
y
x
z
FT
Fr
L/2 L/2 L1
MT
xz面,
x
z
MT FAH
FBH
FAV FBV
FT
Fr
( ) 0AMF ??
0
2
Tt
d
MF??
2 8 2, 5
1 2 8 4, 8
22
Tt
d
M F N m m? ? ? ?
181481 N m m??
yz面, z
y
FAV FBV
Fr
0
2 r B V
L
F L R??
4 6 7, 7
2 3 3, 8 5
22
r
BV
F
R N N? ? ?
0A V r B VR F R? ? ? ?
4 6 7, 7 2 3 3, 8 5 2 3 3, 8 5A V r B VR F R N N? ? ? ? ?
xy面,
x
y
FAH FBH FT
0
2
t B H
L
F L R? ? ?
1 2 8 4, 8
6 4 2, 4
22
t
BH
F
R N N? ? ?
0A H t B HR F R? ? ? ?
1 2 8 4, 8 6 4 2, 4 6 4 2, 4A H t B HR F R N N? ? ? ? ?
1.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法,力 F与三个
坐标轴所夹的锐角分别
为 ?,β, ?,则力 F在三
个轴上的投影等于力的
大小乘以该夹角的余弦
o y
x
z
F
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二次投影法,若已知力 F与 z轴的夹角为 ?,力 F 和 z轴所确
定的平面与 x轴的夹角为 ?,可先将力 F 在 oxy平面上投影,
然后再向 x,y 轴进行投影 。
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轴上的投影 Fx,Fy,Fz，
也可求出力的大小和方向，
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222
2.力对轴之矩
门上作用一力 F，使其绕
固定轴 z转动。 Fxy对 z轴之矩
就是力 F对 z轴之矩,用 Mz（ F）
表示。则,
O
Fxy
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规定, 从 z轴正端来看,
若力矩逆时针，规定为正，
反之为负。
A
x
y
Fx
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a
b
= Fx ? b + Fy ? a
2.力对轴之矩
? 合力矩定理, 如一空间力系由 F1,F2,…, Fn组
成，其合力为 FR，则合力 FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
?? )()( FMFM zRz
例 1,图示力 F=1000N，求 F对 z轴的矩 Ｍ z。
x
z
FZ
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y
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10
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3.空间力系的平衡
? 空间力系的简化,与平面任意力系的简化方法一样,
空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩 。
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2 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
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? 空间力系的平衡方程
平衡的必要与充分条件,
＝０, ＝０
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3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到
三个坐标平面上，画出构件受力图的
主视、俯视、侧视等三视图，分别列
出它们的平衡方程，同样可解出所求
的未知量。这种将空间问题转化为平
面问题的研究方法，称为 空间问题的
平面解法 。
例 3：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿
轮的分度圆直径 d=282.5mm,L=105mm,L1=110.5mm，圆
周力 Ft=1284.8N，径向力 Fr=467.7N，不计自重。求轴承 A、
B的约束反力和联轴器所受转矩 MT。
A D B FAV
FAH FBH
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y
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2 3 3, 8 5
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0A H t B HR F R? ? ? ?
1 2 8 4, 8 6 4 2, 4 6 4 2, 4A H t B HR F R N N? ? ? ? ?
